垂直方向の圧力変化

垂直方向の圧力変化とは、高度に応じて変化する圧力のことです。対象となる流体や状況によっては、高度に垂直な方向の圧力も大きく変化する可能性があり、これらの変化は圧力勾配力とその影響を考える上で重要となります。しかし、垂直方向の圧力変化は、流体に働く重力によって生じるため、特に重要です。つまり、同じ流体であっても、その流体内の高度が低下すると、その地点に作用する流体の柱が高くなるということです。

垂直方向の流体圧力変化の比較的単純なバージョン^{[ 1 ]}は、2つの高さ間の圧力差が、高さの変化、重力、および密度の積であるというものです。その式は次のとおりです。 $${\displaystyle {\frac {dP}{dh}}=-\rho g,}$$ どこ

• Pは圧力です。
• ρは密度です。
• gは重力加速度であり、
• hは高さです。

デルタ記号は、特定の変数の変化を示します。gは負の値であるため、高さが増加すると圧力は減少します。これは、先に述べた流体柱の重さに関する推論と一致します。

密度と重力がほぼ一定の場合（つまり、高さの変化が比較的小さい場合）、高さの差、重力、密度を掛け合わせるだけで、圧力差の良い近似値が得られます。均一な密度ρを持つ液体のある点での圧力がP₀であることがわかっている場合_、別の点での圧力はP₁となり_ます。

${\displaystyle P_{1}=P_{0}-\rho g(h_{1}-h_{0})}$

ここで、h ₁ - h ₀は 2 点間の垂直距離です。^{[ 2 ]}

異なる流体が層状に重なっている場合、全体の圧力差は、2つの圧力差（1つ目は点1から境界まで、2つ目は境界から点2まで）を足し合わせることで求められます。これは、各流体のρとΔhの値を代入し、結果を合計するだけで済みます。流体の密度が高さによって変化する場合は、数学的な積分が必要になります。

密度と重力を一定値として近似できるかどうかは、必要な精度レベルだけでなく、高度差の長さスケールにも左右されます。なぜなら、重力と密度は高度が高くなるにつれて減少するからです。特に密度に関しては、対象となる流体も関係します。例えば、海水は非圧縮性流体とみなされます。その密度は高度によって変化しますが、空気ほど顕著ではありません。したがって、水の密度は空気の密度よりも一定値として近似しやすく、同じ高度差であれば、水中の圧力差はどの高度でもほぼ等しくなります。

気圧の公式は流体室の高さのみに依存し、その幅や長さには依存しません。十分な高さがあれば、どんな圧力でも達成できます。この静水力学の特徴は、静水力パラドックスと呼ばれています。WH Besantによって表現されたように、^{[ 3 ]}

どんなに少量の液体でも、どんなに重い重量でも支えることができる。

フランドルの科学者シモン・ステヴィンは、このパラドックスを数学的に説明した最初の人物である。^{[ 4 ]} 1916年、リチャード・グレーズブルックは、パスカルに帰属する装置を説明する際に、静水圧のパラドックスに言及した。その装置とは、断面積αの垂直管に接続された流体ブラダーの上に面積Aの板が置かれた重りWが、その板の上に載っているというものである。管に重さwの水を注ぐと、最終的に重りが持ち上がる。力の釣り合いから、次の式が得られる。

${\displaystyle W={\frac {wA}{\alpha }}.}$

グレーズブルックは、「板の面積を大きくし、管の面積を小さくすることで、大きな重量Wを小さな重量wの水で支えることができる。この事実は、静水圧のパラドックスと呼ばれることもある」と述べている。^{[ 5 ]}

油圧機械はこの現象を利用して力やトルクを増幅します。静水圧のパラドックスの実演は、この現象を教えるために用いられます。^{[ 6 ] [ 7 ]}

地球の大気の垂直方向の圧力変化を分析する場合、長さスケールは非常に重要であり（対流圏だけでも数キロメートル、熱圏は数百キロメートル）、関係する流体（空気）は圧縮性である。しかし、長さスケールがキロメートル程度であることは地球の半径（平均約6371  km）に比べて小さいため、重力は依然として一定と合理的に近似できる。 ^{[ 8 ]}また、重力は地球の核からの距離の関数である。^{[ 9 ]}

一方、密度は高さによって大きく変化する。理想気体の法則から、 $${\displaystyle \rho ={\frac {mP}{kT}},}$$ どこ

• mは空気分子あたりの平均質量です。
• Pは特定の地点における圧力であり、
• kはボルツマン定数である。
• Tはケルビン単位の温度です。

より簡単に言うと、空気密度は気圧に依存します。気圧も空気密度に依存するため、これは循環定義のように思えるかもしれませんが、単に異なる変数間の相互依存関係です。これにより、より正確な式が得られます。 $${\displaystyle P_{h}=P_{0}e^{-{\frac {mgh}{kT}}},}$$ どこ

• P _hは高さhでの圧力です。
• P ₀は基準点 0 (通常は海面を指す) における圧力です。
• mは空気分子1個あたりの質量であり、
• gは重力による加速度です。
• hは基準点0からの高さです。
• kはボルツマン定数である。
• Tはケルビン単位の温度です。

したがって、 「基本式」のセクションで示されているより単純な式から予想されるように圧力が高さの線形関数であるのではなく、より正確には高さの指数関数として表される。

この簡略化では、気温は高さによって変化するにもかかわらず、一定として扱われていることに注意してください。ただし、大気の下層（対流圏、成層圏）における気温の変化は、熱力学的温度が数百度であるのに対し、数十度程度であるため、気温の変化は十分に小さく、無視できます。CNタワーのような最も高い建物の最上部から最下部まで、あるいは同程度の規模の山々など、高さの差が小さい場合、気温の変化は容易に一桁台になります。（気温減率も参照してください。）

^{ポートランド州立航空宇宙協会[ 10 ]}が示した別の導出法では、圧力の関数として高さを表す。圧力は高さから生じるものであり、その逆ではないため、これは直感に反するように思えるかもしれないが、圧力差に基づいて高さを求める場合、圧力差が分かっていても圧力差が分からない場合には、このような式が役立つ。異なる種類の近似に対して異なる式が提示されている。前の式と比較するために、記事から最初に参照される式は、同じ定温近似を適用する式となる。この場合、次のようになる。 $${\displaystyle z=-{\frac {RT}{g}}\ln {\frac {P}{P_{0}}}}$$ （記事で使用されている値を用いて）

• zはメートル単位の標高です。
• Rは比気体定数です287.053  J/(kg K)
• Tは絶対温度（ケルビン）です。 海面高度で288.15K 、
• gは重力による加速度です。 海面高度で9.806 65 m/s² ^、
• Pは高さzの特定の地点における圧力（パスカル単位）であり、
• P ₀は基準点における圧力です = 海面高度では101,325Pa 。

同じ論文で導出されたより一般的な式は、高度の関数としての温度の線形変化（気温減率）を考慮しており、温度が一定の場合には上記の式に簡略化されます。 $${\displaystyle z={\frac {T_{0}}{L}}\left(\left({\frac {P}{P_{0}}}\right)^{-{\frac {LR}{g}}}-1\right)}$$ どこ

• Lは大気減率（温度変化÷距離）=−6.5 × 10 ⁻³  K/m、
• T _{0 は、} P = P ₀となる同じ基準点における温度です。

その他の数量は上記と同じです。これが推奨される計算式です。

• バロメーター
• 高度計の式
• パスカルの樽
• ルイナ・モンティウム
• 圧力勾配
• サイフォン

• Merlino, Robert L. (2003). 「静力学 – 静止流体」 。 2014年11月20日取得。

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