ポリアの骨壺モデル

確率論と統計学において、ジョージ・ポーヤにちなんで名付けられたポーヤの壺モデル（ポーヤの壺スキーム、または単にポーヤの壺とも呼ばれる）は、一般的に使用される多くの統計モデルを解釈するために使用できる壺モデルのファミリーです。

このモデルでは、対象となる物体（原子、人、車など）を壺の中の色付きのボールとして表現します。基本的なポリアの壺モデルでは、実験者は壺の中にx個の白いボールとy個の黒いボールを入れます。各ステップで、壺から1つのボールが均等にランダムに取り出され、その色が観察されます。その後、そのボールは壺に戻され、同じ色のボールがもう1つ壺に追加されます。

偶然にも最初の数回の抽選で白玉よりも黒玉が多く出た場合、その後黒玉が多く出やすくなり、白玉についても同様です。したがって、この壺には自己強化特性（「金持ちはますます金持ちになる」）があります。これは、特定の値が観測されるたびに、再び観測される可能性が低くなる非復元抽出とは正反対です。一方、ポーヤの壺モデルでは、観測された値は再び観測される可能性が高くなります。ポーヤの壺モデルでは、時間の経過に伴う連続した測定行為は、将来の測定にますます影響を与えなくなりますが、非復元抽出ではその逆が真です。特定の値を一定回数測定すると、その値は二度と見られなくなります。

これは、ボールを壺に戻すだけで新しいボールを追加しない復元抽出とも異なります。この場合、自己強化も反自己強化も起こりません。

興味深いのは、壺の中のボールの個体数の推移と、そこから取り出されたボールの色の順番である。

後${\displaystyle n}$抽選、壺の中に${\displaystyle (x+n_{1})}$白いボールと${\displaystyle (y+n_{2})}$黒いボール（${\displaystyle 0\leq n_{1},n_{2}\leq n\,\,,n_{1}+n_{2}=n}$） は $${\displaystyle {\binom {n}{n_{1}}}{\frac {x^{{\bar {n}}_{1}}y^{{\bar {n}}_{2}}}{(x+y)^{\bar {n}}}}}$$ ここで、上付きバーは上昇階乗を表します。これは、考えられるすべての構成のパスカルの三角形を描くことで証明できます。

特に、白のボール1個と黒のボール1個（つまり、${\displaystyle x=y=1}$) 任意の数になる確率${\displaystyle 1\leq n_{1}+1\leq n+1}$壺の中の白いボール${\displaystyle n}$引き分けは同じです。 ${\displaystyle {\frac {1}{n+1}}}$。

より一般的には、壺が${\displaystyle a_{i}}$色とりどりのボール${\displaystyle i}$、 と${\displaystyle i=1,2,...,k}$、その後${\displaystyle n}$抽選、壺の中に${\displaystyle (a_{i}+n_{i})}$色とりどりのボール${\displaystyle i}$は$${\displaystyle {\binom {n}{n_{1},\cdots ,n_{k}}}{\frac {\prod _{i=1}^{k}a_{i}^{{\bar {n}}_{i}}}{(\sum _{i}a_{i})^{\bar {n}}}}}$$ここで多項係数を使用します。

壺が最終的に${\displaystyle (a_{i}+n_{i})}$色とりどりのボール${\displaystyle i}$後${\displaystyle n}$引き分け、${\displaystyle {\binom {n}{n_{1},\cdots ,n_{k}}}}$このような最終状態に至る可能性のある、さまざまな経路が存在する。それぞれの経路の条件付き確率は同じである。${\displaystyle {\binom {n}{n_{1},\cdots ,n_{k}}}^{-1}}$。

• ベータ二項分布：成功した抽選（試行）の回数の分布。例えば、白球の抽出回数など。${\displaystyle n}$ポーヤの壺から水を引く。
• ベータ負二項分布：一定数の黒玉が観察されるまでの間に観察される白玉の数の分布。
• ディリクレ多項分布（多変量ポリア分布とも呼ばれる）：各色のボールの数に関する分布。${\displaystyle n}$ポーヤの壺から引くと、${\displaystyle k}$2色だけでなく、様々な色を使う。
• ディリクレ負多項分布：停止する色のボールの数が一定数に達するまでの各色のボールの数に関する分布。
• マルチンゲール、ベータ二項分布、ベータ分布：壺の中に最初に入っている白玉と黒玉の数をそれぞれwとbとし、${\displaystyle w+n_{w}}$n回の抽選後、壺の中にある白いボールの数。次に、値のシーケンス。${\displaystyle {\frac {w+n_{w}}{w+b+n}}}$のために${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$これはベータ二項分布の正規化バージョンです。マルチンゲールであり、 n → ∞のときにベータ分布に収束します。  
• ディリクレ過程、中華料理店過程、ホッペの壺：修正されたポリアの壺の図を次のように想像してください。まず、壺から始めます。${\displaystyle \alpha }$黒いボール。壺からボールを​​取り出すとき、黒いボールが出た場合は、そのボールを、利用可能な無限の色セットに対する一様分布からランダムに生成された新しい黒以外の色のボールと一緒に戻し、新しく生成された色をそのボールの「値」とみなします。そうでない場合は、標準的な Pólya 壺方式と同様に、同じ色の別のボールと一緒にボールを戻します。この修正された Pólya 壺方式からの無限の連続するボールの色の並びは、中華料理店のプロセスに従います。新しい色を生成する代わりに、与えられた基本分布からランダムな値を抽出し、その値を使用してボールにラベルを付ける場合、無限の連続するボールのラベルはディリクレ過程に従います。^{[ 1 ]}
• モランモデル：理論集団遺伝学における遺伝的浮動をモデル化するために使用される壺モデル。これは、同じ色の新しいボールを追加することに加えて、壺からランダムにボールが取り除かれる点を除いて、ポリア壺モデルと非常によく似ています。したがって、壺の中のボールの数は一定に保たれます。その後、サンプリングを続けると、最終的にはすべてのボールが同じ色の壺になり、各色の確率は、元の壺の中のその色の割合になります。モランモデルには、壺から取り除かれるボールがそのステップで最初にサンプリングされたボールとは異なるボールでなければならないと主張する変種と、新しいボールが壺に入れられた直後にボールを取り除くことで、新しいボールが取り除くことができるボールの1つになる変種があります。これにより、すべてのボールが同じ色になる状態に達するまでの時間にわずかな違いが生じます。モランプロセスは、世代が重複する集団における遺伝的浮動をモデル化します。

ポリアの『壺』は、交換可能なプロセスの典型的な例である。

壺に${\displaystyle \gamma }$白いボールと${\displaystyle \alpha }$黒いボール。壺からボールを​​ランダムに引きます。${\displaystyle i}$第 1 回抽出で、確率変数を定義します。${\displaystyle X_{i}}$、 による${\displaystyle X_{i}=1}$ボールが黒で${\displaystyle X_{i}=0}$それ以外の場合は、同じ色のボールを追加して、ボールを壺に戻します。${\displaystyle i}$もしそれが${\displaystyle X_{j}=1}$多くの人にとって${\displaystyle j<i}$そうすれば、${\displaystyle X_{i}=1}$なぜなら、壺の中に黒い玉がさらに追加されたからです。したがって、これらの変数は互いに独立していません。

シーケンス${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$しかしながら、交換可能性というより弱い性質を示す。^{[ 2 ]}確率変数の（有限または無限の）シーケンスは、その同時分布がインデックスの順列の下で不変である場合、交換可能であると呼ばれることを思い出してください。

配列の交換可能性を示すために${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$と仮定すると${\displaystyle n}$壺からボールが取り出され、これらの${\displaystyle n}$ボール、${\displaystyle k}$ボールは黒色で${\displaystyle nk}$は白です。最初の抽選では、壺の中のボールの数は${\displaystyle \gamma +\alpha }$2回目の抽選では ${\displaystyle \gamma +\alpha +1}$などなど。${\displaystyle i}$第 1 回抽選では、ボールの数は${\displaystyle \gamma +\alpha +i-1}$すべてを引く確率${\displaystyle k}$最初に黒いボール、それからすべて${\displaystyle n-k}$白いボールは

${\displaystyle \mathbb {P} \left(X_{1}=1,\dots ,X_{k}=1,X_{k+1}=0,\dots ,X_{n}=0\right)}$${\displaystyle ={\frac {\alpha }{\gamma +\alpha }}\times {\frac {\alpha +1}{\gamma +\alpha +1}}\times \cdots \times {\frac {\alpha +k-1}{\gamma +\alpha +k-1}}\times {\frac {\gamma }{\gamma +\alpha +k}}\times {\frac {\gamma +1}{\gamma +\alpha +k+1}}\times \cdots \times {\frac {\gamma +n-k-1}{\gamma +\alpha +n-1}}}$

ここで、黒と白のボールの順番を入れ替えても確率は変わらないことを示さなければなりません。上記の式と同様に、抽選の順番を入れ替えても、${\displaystyle i}$分母は常に${\displaystyle \gamma +\alpha +i-1}$これは、そのラウンドで壺に入っているボールの数だからです。

もし私たちが見るならば${\displaystyle j}$ラウンドの 番目の黒球${\displaystyle t}$確率${\displaystyle X_{t}=1}$等しくなります${\displaystyle {\frac {\alpha +j-1}{\gamma +\alpha +t-1}}}$つまり、分子は${\displaystyle \alpha +j-1}$同様の議論により、白球が出る確率を計算できます。したがって、任意のシーケンスについて${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\dots }$その中で${\displaystyle 1}$発生する${\displaystyle k}$時間と${\displaystyle 0}$発生する${\displaystyle n-k}$回（つまり、${\displaystyle k}$黒いボールと${\displaystyle n-k}$（白いボールが何らかの順序で引かれる）最終的な確率は、次の式に等しくなります。ここで、分子では乗法の交換法則を利用しています。$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} (X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},...,X_{n}=x_{n})&={\frac {\prod _{i=1}^{k}\left(\alpha +i-1\right)\times \prod _{i=1}^{n-k}\left(\gamma +i-1\right)}{\prod _{i=1}^{n}\left(\gamma +\alpha +i-1\right)}}\\&={\frac {\left(\alpha +k-1\right)!\times \left(\gamma +n-k-1\right)!\times \left(\alpha +\gamma -1\right)!}{\left(\alpha -1\right)!\times \left(\gamma -1\right)!\left(\alpha +\gamma +n-1\right)!}}\end{aligned}}}$$この確率は黒玉と白玉を見る順番とは関係なく、白玉の総数と黒玉の総数のみに依存します。^{[ 2 ]}

デ・フィネッティの定理によれば、観測系列の同時分布がベルヌーイ確率のベイズ混合となるような、一意の事前分布が存在しなければならない。この事前分布は、パラメータを持つベータ分布であることが示される。${\displaystyle \beta \left(\cdot$ ;\,\alpha ,\,\gamma \right)} 。デ・フィネッティの定理では、${\displaystyle \pi (\cdot )}$と${\displaystyle \beta \left(\cdot$ ;\,\alpha ,\,\gamma \right)} 、すると前の式が得られます: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}p(X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},...,X_{n}=x_{n})&=\int \theta ^{\left({\sum _{i=1}^{n}x_{i}}\right)}\times \left(1-\theta \right)^{\left(n-{\sum _{i=1}^{n}x_{i}}\right)}\,\beta \left(\theta$$ ;\alpha ,\,\gamma \right)d\left(\theta \right)\\&=\int \theta ^{\left({\sum _{i=1}^{n}x_{i}}\right)}\times \left(1-\theta \right)^{\left(n-{\sum _{i=1}^{n}x_{i}}\right)}\,{\dfrac {(\alpha +\gamma -1)!}{(\alpha -1)!\,(\gamma -1)!}}\theta ^{\alpha -1}(1-\theta )^{\gamma -1}d\left(\theta \right)\\&=\int \theta ^{\left({\alpha -1+\sum _{i=1}^{n}x_{i}}\right)}\times \left(1-\theta \right)^{\left(n+\gamma -1-{\sum _{i=1}^{n}x_{i}}\right)}\,{\dfrac {(\alpha +\gamma -1)!}{(\alpha -1)!\,(\gamma -1)!}}d\left(\theta \right)\\&=\int \theta ^{\left({\alpha +k-1}\right)}\times \left(1-\theta \right)^{\left(nk-1+\gamma \right)}\,{\dfrac {(\alpha +\gamma -1)!}{(\alpha -1)!\,(\gamma -1)!}}d\left(\theta \right)\\&={\dfrac {(\alpha +\gamma -1)!}{(\alpha -1)!\,(\gamma -1)!}}\int \theta ^{\left({\alpha \left(\alpha +\gamma -1)!}{(\alpha -1)!\,(\gamma -1)!}}{\dfrac {\Gamma (\gamma +nk)\Gamma (\alpha +k)}{\Gamma (\alpha +\gamma +n)}}\\&={\dfrac {\left(\alpha +k-1\right)!\times \left(\gamma +nk-1\right)!\times \left(\alpha +\gamma -1\right)!}{\left(\alpha -1\right)!\times \left(\gamma -1\right)!\left(\alpha +\gamma +n-1\right)!}}\end{aligned}}} この式では${\displaystyle k=\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$。

• 骨壺の問題
• ピットマン・ヨール法
• モラン過程
• ユールプロセス
• デ・フィネッティの定理
• 中華料理店のプロセス

• エッゲンバーガー、F.ポリア、G. (1923)。 「Über die Statistik verketteter Vorgänge」。Z.アンジュー。数学。メカ。3 (4): 2379–289。Bibcode : 1923ZaMM....3..279E。土井：10.1002/zamm.19230030407。
• Alajaji, F.; Fuja, T. (1994). "伝染をモデルとした通信チャネル". IEEE Transactions on Information Theory . 40 (6): 2035–2041 . Bibcode : 1994ITIT...40.2035A . doi : 10.1109/18.340476 . hdl : 1903/5422 .
• Banerjee, A.; Burlina, P.; Alajaji, F. (1999). "Pólya Urnモデルを用いた画像セグメンテーションとラベリング". IEEE Transactions on Image Processing . 8 (9): 1243– 1253. Bibcode : 1999ITIP....8.1243B . doi : 10.1109/83.784436 . PMID 18267541 . 

• NLジョンソンとS.コッツ（1977）「骨壺モデルとその応用」ジョン・ワイリー。
• ホサム・マフムード（2008）「ポリアの骨壺模型」チャップマン・アンド・ホール/CRC。ISBN 978-1420059830。