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数学において、不可触数とは、正の整数のすべての真約数の合計として表すことができない正の整数のことである。つまり、これらの数は因数和関数のイメージにはない。彼らの研究は、少なくともアブ・マンスール・アル・バグダディ（西暦1000年頃）にまで遡り、彼は2と5の両方が不可触数であると観察した。[1]
例
- 4 という数字は、9 の約数の合計、つまり 1 + 3 = 4 に等しいため、不可侵ではありません。
- 5 は、いかなる正の整数の真約数の合計でもないため、触れることができません。5 = 1 + 4 は、1 を含む異なる正の整数の合計として 5 を書く唯一の方法ですが、4 で数が割り切れる場合は 2 でも割り切れるため、1 + 4 は、いかなる数の真約数の合計にもなりません (因数のリストには 4 と 2 の両方が含まれる必要があるため)。
- 6 という数字は不可侵ではありません。6 は 6 自体の真約数の合計に等しいからです (1 + 2 + 3 = 6)。
最初の数個の触れられない数字は
- 2、5、52、88、96、120、124、146、162、188、206、210、216、238、246、248、262、268、276、288、290、292、304、306、322、324、326、336、342、372、406、408、426、430、448、472、474、498 、 ... （OEISのシーケンスA005114）。
プロパティ
5 は唯一の奇数の不可算数であると信じられていますが、これは証明されていません。これは、ゴールドバッハ予想の少し強いバージョンから導かれるものであり、 pq ( p、q 個の異なる素数)の真約数の和は1 + p + qであるためです。したがって、数nが異なる 2 つの素数の和として表される場合、n + 1 は不可算数ではありません。 6 より大きいすべての偶数は 2 つの異なる素数の和であると予想されるため、おそらく 7 より大きい奇数は不可算数ではなく、 、、であるため、5 だけが奇数の不可算数となり得ます。[2]したがって、2 と 5 を除くすべての不可算数は合成数であると考えられます(2 を除くすべての偶数は合成数であるため)。完全数は不可算数ではありません。少なくとも、それ自身の真約数の和として表すことができるためです。同様に、友好数や社交数も不可触数ではありません。また、メルセンヌ数も不可触数ではありません。これは、 M n = 2 n − 1 が 2 nの真約数の合計に等しいためです。
pが素数であれば、 p 2の真約数の合計はp + 1となる ため、不可触数は素数より 1 大きい数ではありません。また、 pが奇数の素数であれば、2 pの真約数の合計はp + 3 となるため、5 を除いて、不可触数は素数より 3 大きい数ではあり ません。
無限
ポール・エルデシュによって証明された事実として、触れることのできない数は無限に存在する。[3]チェンとチャオによれば、それらの自然密度は少なくともd > 0.06である。[4]
参照
参考文献
- ^ Sesiano, J. (1991)、「イスラム時代の数論の2つの問題」、Archive for History of Exact Sciences、41 (3): 235–238、doi :10.1007/BF00348408、JSTOR 41133889、MR 1107382、S2CID 115235810
- ^ より強力なバージョンは、ゴールドバッハ予想に、2 つの素数が異なっているというさらなる要件を追加することによって得られます。Adams -Watters, Frank および Weisstein, Eric W. "Untouchable Number". MathWorld を参照してください。
- ^ P. エルドス、ユーバー ダイ ザーレン ダー フォームアンド。数学の要素。 28 (1973)、83-86
- ^ Yong-Gao Chen および Qing-Qing Zhao、Nonaliquot数値、Publ.数学。デブレツェン 78:2 (2011)、439-442 ページ。
- Richard K. Guy、「数論における未解決問題（第3版）」、Springer Verlag、2004年ISBN 0-387-20860-7、セクションB10。
外部リンク
- OEISシーケンス A070015 (m の一定部分の合計が n に等しくなる最小の m、またはそのような数が存在しない場合は 0)