非全性

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数論において、非トーティエントとは、トーティエント数ではない正の整数nのことです。つまり、オイラーのトーティエント関数φの 範囲内になく、方程式 φ( x ) = nには解xがありません。言い換えると、整数xの下に互いに素な数がちょうどn個存在しない場合、 nは非トーティエントです。 1 はx = 1 とx = 2という解を持つため、1を除いて、すべての奇数は非トーティエントです。最初のいくつかの偶数の非トーティエントは、次のシーケンスです。

14、26、34、38、50、62、68、74、76、86、90、94、98、114、118、122、124、134、142、146、152、154​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​、158、170、174、182、186、188、194、202、206、214、218、230、234、236、242、244、246、248、254、​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ 258、266​​、274、278、284、286、290、298 、 ... （OEISの配列A005277）​​​​​​​

kのトーティエントがnとなるようなkの最小値(そのようなk が存在しない場合は 0) は次のシーケンスになります。

1、3、0、5、0、7、0、15、0、11、0、13、0、0、0、17、0、19、0、25、0、23、0、35、0、 0、0、29、0、31、0、51、0、0、0、 37、0、0、0、41、0、43、0、69、0、47、0、65、0、0、0、53、0、81、0、87、0、59、0、61、 0、0、0、85、0、67、0、0、0、 71、0、73、... （OEISの配列A049283）

kのトーティエントがnとなるようなkの最大値は次のシーケンスです(そのようなk が存在しない場合は 0)。

2、6、0、12、0、18、0、30、0、22、0、42、0、0、0、60、0、54、0、66、0、46、0、90、0、 0、0、58、0、62、0、120、0、0、 0、126、0、0、0、150、0、98、0、138、0、94、0、210、0、0、0、106、0、162、0、174、0、118、0、 198、0、0、0、240、0、 134、0、0、 0、142、0、270、...（OEISの配列A057635）

φ( k ) = nとなるkの数は（ n = 0 から始まる）、次の数列となる。

0、2、3、0、4、0、4、0、5、0、2、0、6、0、0、0、6、0、4、0、5、0、2、0、10、0、0、0、2、0、2、0、7、0、0、0、8、0、0、0、9、0、4、0、3、0、2、0、11、0、0、0、2、0、2、0、3、0、2、0、9、0、0、0、8、0、2、0、0、0、2、0、17、... (OEISのシーケンスA014197 )

カーマイケルの予想によれば、この数列には 1は存在しない。

偶数非トーティエントは素数より 1 大きいことはあっても、1 小さいことは決してありません。これは、定義により、素数より小さい数はすべてその数と互いに素であるためです。代数的に言えば、p が素数の場合、φ( p ) = p  − 1 です。また、プロニック数 n ( n  − 1) は、nが素数の場合、φ( p ² ) = p ( p  − 1) であるため、非トーティエントではありません。

自然数nがトーティエントである場合、n · 2 ^{k は}すべての自然数kに対してトーティエントです。

偶数の非トーティエント数は無限に存在します。実際、 2 ^a pの形式で表されるすべての数は非トーティエントであり、すべての奇数には非トーティエントである偶数の倍数が存在するような、異なる素数 p (78557 や 271129 など、シェルピンスキー数を参照) が無限に存在します。

• ガイ、リチャード K. (2004)。数論における未解決問題。数学の問題集。ニューヨーク、NY: Springer-Verlag。p . 139。ISBN 0-387-20860-7.ZBL1058.11001  。​
• L. Havelock、 PlanetMathのトーティエント価とコトティエント価に関するいくつかの考察
• サンダー、ジョセフ。クリスティチ、ボリスラフ (2004)。整数論ハンドブック II．ドルドレヒト: クルーワー学者。 p. 230.ISBN​ 1-4020-2546-7.ZBL1079.11001  。​
• 張明志 (1993). 「非トーティエントについて」.数論ジャーナル. 43 (2): 168–172. doi : 10.1006/jnth.1993.1014 . ISSN  0022-314X. Zbl  0772.11001.