不可算集合

数学において、非公式には、不可算集合とは、数え切れないほど多くの要素を含む無限集合のことです。集合の不可算性はその基数と密接に関係しています。集合の基数がアレフゼロ（自然数の基数）よりも大きい場合、その集合は不可算です。

非可算性には同等の特徴付けが多数あります。集合X は、以下の条件のいずれかが満たされる場合にのみ非可算です。

• Xから自然数の集合への単射関数は存在しません(したがって、単射も存在しません) 。
• Xは空でなく、 Xの要素のω列ごとに、それに含まれない X の要素が少なくとも 1 つ存在します。つまり、Xは空でなく、自然数からXへの全射関数は存在しません。
• Xの基数は有限ではなく、( aleph-null ) と等しくもありません。${\displaystyle \aleph_{0}}$
• 集合X の濃度は より確実に大きいです。${\displaystyle \aleph_{0}}$

これらの特徴付けの最初の 3 つは、選択公理なしでツェルメロ-フランケル集合論で同等であることが証明できますが、3 番目と 4 番目の同等性は追加の選択原理なしでは証明できません。

• 非可算集合X が集合Yのサブセットである場合、Yは非可算です。

非可算集合の最もよく知られた例は、すべての実数からなる集合⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$です。カントールの対角線論法は、この集合が非可算であることを示しています。対角化の証明手法は、自然数のすべての無限列からなる集合⁠ ⁠や、自然数集合の部分集合からなる集合など、他のいくつかの集合が非可算であることを示すためにも使用できます。 ⁠ ⁠の濃度は、連続体の濃度と呼ばれることが多く、 、または、または( beth-one )で表されます。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$${\displaystyle \beth_{1}}$

カントール集合は、⁠ ⁠の非可算な部分集合です。カントール集合はフラクタルであり、ハウスドルフ次元は0 より大きく 1 より小さいです ( ⁠ ⁠の次元は 1)。これは、ハウスドルフ次元が 0 より大きい⁠ ⁠の任意の部分集合は非可算でなければならないという 事実の例です。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

非可算集合のもう 1 つの例は、 ⁠ ⁠から⁠ ⁠へのすべての関数の集合です。この集合の濃度が( 2 乗)であり、 よりも大きいという意味で、この集合は⁠ ⁠よりもさらに「非可算」です。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \beth_{2}}$${\displaystyle \beth_{1}}$

非可算集合のより抽象的な例は、すべての可算順序数からなる集合であり、Ω または ω ₁と表記される。^[1] Ω の濃度は(アレフワン) と表記される。選択公理 を用いて、 が最小の非可算基数であることが示される。したがって、実数の濃度 は に等しいか、または確実に大きいかのどちらかである。がに等しいかどうかという疑問を最初に提唱したのは、ゲオルク・カントールである。1900年、ダヴィド・ヒルベルトは、この問題を彼の23 の問題の最初の問題 として提起した。 この命題は現在では連続体仮説と呼ばれ、集合論のツェルメロ-フランケル公理​​ (選択公理を含む)とは独立していることが知られている。 ${\displaystyle \aleph_{1}}$${\displaystyle \aleph_{1}}$${\displaystyle \beth_{1}}$${\displaystyle \aleph_{1}}$${\displaystyle \beth_{1}}$${\displaystyle \aleph_{1}}$${\displaystyle \aleph_{1}=\beth_{1}}$

選択公理がなければ、と比較できない濃度（つまり、デデキント有限無限集合の濃度）が存在する可能性があります。これらの濃度の集合は、上記の最初の 3 つの特徴を満たしますが、4 番目の特徴は満たしません。これらの集合は濃度の意味で自然数より大きくないため、これを無数と呼びたくない人もいるかもしれません。 ${\displaystyle \aleph_{0}}$

選択公理が成り立つ場合、基数に関する次の条件は同等です。 ${\displaystyle \kappa}$

• ${\displaystyle \kappa \nleq \aleph _{0};}$
• ${\displaystyle \kappa >\aleph _{0};}$そして
• ${\displaystyle \kappa \geq \aleph _{1}}$、ここで、およびは、より大きい最小の初期順序数である。${\displaystyle \aleph _{1}=|\omega _{1}|}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega .}$

しかし、選択公理が成り立たない場合、これらはすべて異なる可能性があります。したがって、公理が成り立たない場合、どれが「非可算性」の適切な一般化であるかは明らかではありません。この場合、その単語の使用を避け、これらがどれを意味するのかを指定するのが最善かもしれません。

• アレフ数
• ベス番号
• 最初の不可算順序数
• 単射関数

• ポール・ハルモス『素朴集合論』。プリンストン、ニュージャージー州：D. ヴァン・ノストランド社、1960年。Springer-Verlag社、ニューヨーク、1974年に再版。ISBN 0-387-90092-6（Springer-Verlag版）。Martino Fine Books社、2011年に再版。ISBN 978-1-61427-131-4 （ペーパーバック版）。  
• ジェック、トーマス（2002）、集合論、シュプリンガー数学モノグラフ（第3千年紀版）、シュプリンガー、ISBN 3-540-44085-2

• Rが非可算であることの証明