ゲーゲンバウアー多項式

数学では、ゲーゲンバウアー多項式または超球面多項式 C^(α)
_n( x ) は、重み関数(1 −  x ² ) ^{α –1/2}に関する区間 [−1,1] 上の直交多項式です 。これらは、ルジャンドル多項式とチェビシェフ多項式を一般化したもので、ヤコビ多項式の特殊なケースです。これらは、レオポルド ゲーゲンバウアーにちなんで名付けられました。

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  Mathematica 13.1 関数 ComplexPlot3D で作成した色付きで、n=10、m=1 のゲーゲンバウアー多項式 C n^(m)(x) を -2-2i から 2+2i までの複素平面にプロットします。
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  α =1のゲーゲンバウアー多項式
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  α =2のゲーゲンバウアー多項式
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  α =3のゲーゲンバウアー多項式
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  nの最初の 4 つの値に対するxα平面上の多項式を示すアニメーション。

ゲーゲンバウアー多項式にはさまざまな特性評価が存在します。

• 多項式は生成関数によって定義できます(Stein & Weiss 1971、§IV.2)。

${\displaystyle {\frac {1}{(1-2xt+t^{2})^{\alpha }}}=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}^{(\alpha )}(x)t^{n}\qquad (0\leq |x|<1,|t|\leq 1,\alpha >0)}$

• 多項式は再帰関係を満たします(Suetin 2001)。

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}^{(\alpha )}(x)&=1\\C_{1}^{(\alpha )}(x)&=2\alpha x\\(n+1)C_{n+1}^{(\alpha )}(x)&=2(n+\alpha )xC_{n}^{(\alpha )}(x)-(n+2\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )}(x).\end{aligned}}}$

• ゲーゲンバウアー多項式は、ゲーゲンバウアー微分方程式の特定の解です (Suetin 2001)。

${\displaystyle (1-x^{2})y''-(2\alpha +1)xy'+n(n+2\alpha )y=0.\,}$

α = 1/2のとき 、方程式はルジャンドル方程式に簡約され、ゲーゲンバウアー多項式はルジャンドル多項式に簡約されます。

α = 1のとき 、方程式はチェビシェフの微分方程式に簡約され、ゲーゲンバウアー多項式は第二種チェビシェフ多項式に簡約される。 ^[1]

• 級数が実際に有限である特定のケースでは、それらはガウス超幾何級数として与えられます。

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,2\alpha +n;\alpha +{\frac {1}{2}};{\frac {1-z}{2}}\right).}$

(Abramowitz & Stegun p. 561) ここで (2α) _{n は}上昇階乗である。

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {\Gamma (n-k+\alpha )}{\Gamma (\alpha )k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k}.}$

これから、単位引数の値を取得することも簡単です。

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {\Gamma (2\alpha +n)}{\Gamma (2\alpha )n!}}.}$

• これらはヤコビ多項式の特殊なケースです(Suetin 2001)。

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(2\alpha )_{n}}{(\alpha +{\frac {1}{2}})_{ n}}}P_{n}^{(\alpha -1/2,\alpha -1/2)}(x).}$

は の上昇階乗を表します。${\displaystyle (\theta )_{n}}$${\displaystyle \theta}$

したがって、ロドリゲスの公式も存在する。

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}{\frac {\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}})\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (2\alpha )\Gamma (\alpha +n+{\frac {1}{2}})}}(1-x^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(1-x^{2})^{n+\alpha -1/2}\right].}$

α > -1/2 の固定値に対して、多項式は重み関数に関して [−1, 1] 上で直交する (Abramowitz & Stegun p. 774)

${\displaystyle w(z)=\left(1-z^{2}\right)^{\alpha -{\frac {1}{2}}}.}$

すなわち、n  ≠  mの場合、

${\displaystyle \int _{-1}^{1}C_{n}^{(\alpha )}(x)C_{m}^{(\alpha )}(x)(1-x^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\,dx=0.}$

これらは次のように正規化される。

${\displaystyle \int _{-1}^{1}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x)\right]^{2}(1-x^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\,dx={\frac {\pi 2^{1-2\alpha }\Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}.}$

ゲーゲンバウアー多項式は、ポテンシャル理論と調和解析の文脈では、ルジャンドル多項式の拡張として自然に現れる。R ⁿのニュートンポテンシャルは、α = ( n − 2)/2で有効な展開を持つ 。

${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{n-2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {| \mathbf {x} |^{k}}{|\mathbf {y} |^{k+n-2}}}C_{k}^{(\alpha )}({\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{|\mathbf {x} ||\mathbf {y} |}})。$

n = 3のとき、これは重力ポテンシャル のルジャンドル多項式展開を与えます。球体内の ポアソン核の展開にも同様の表現が利用できます(Stein & Weiss 1971)。

したがって、これらの量はxのみの関数として見た場合、球面調和関数になります。実際、これらの量は、正規化定数を除けば、 正確にゾーン球面調和関数です。${\displaystyle C_{k}^{((n-2)/2)}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )}$

ゲーゲンバウアー多項式は正定値関数の理論にも登場します。

アスキー・ガスパー不等式は次のようになる。

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\frac {C_{j}^{\alpha }(x)}{2\alpha +j-1 \choose j}}\geq 0\qquad (x\geq -1,\,\alpha \geq 1/4).}$

微分方程式を解くスペクトル法では、関数がチェビシェフ多項式の基底で展開され、その導関数がゲーゲンバウアー/超球面基底で表されている場合、導関数演算子は対角行列になり、大規模な問題に対する高速な帯状行列法につながります。 ^[2]

• ロジャース多項式、ゲーゲンバウアー多項式のq類似体
• チェビシェフ多項式
• ロマノフスキー多項式

• アブラモウィッツ、ミルトン、ステグン、アイリーン・アン編 (1983) [1964 年 6 月]。「第 22 章」。数式、グラフ、および数学表付き数学関数ハンドブック。応用数学シリーズ。第 55 巻 (第 10 刷の訂正を加えた第 9 刷 (1972 年 12 月)、初版)。ワシントン DC、ニューヨーク: 米国商務省、国立標準局、ドーバー出版。p. 773。ISBN 978-0-486-61272-0LCCN 64-60036。MR 0167642。LCCN  65-12253 。 ​ ​* Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010)、「直交多項式」、Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.)、NIST Handbook of Mathematical Functions、Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-19225-5、MR  2723248。
• スタイン、エリアス、ワイス、グイド（1971）、ユークリッド空間のフーリエ解析入門、プリンストン、ニュージャージー：プリンストン大学出版、ISBN 978-0-691-08078-9。
• スエティン、PK (2001) [1994]、「超球面多項式」、数学百科事典、EMS プレス。

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