チェビシェフ方程式

チェビシェフ方程式は2階線形微分方程式である。

${\displaystyle (1-x^{2}){d^{2}y \over dx^{2}}-x{dy \over dx}+p^{2}y=0,}$

ここでpは実数（または複素数）定数である。この方程式はロシアの数学者パフヌティ・チェビシェフにちなんで名付けられた。解はべき級数によって得られる。

${\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n},}$

ここで係数は漸化式に従う。

${\displaystyle a_{n+2}={(np)(n+p) \over (n+1)(n+2)}a_{n}.}$

このシリーズは収束する${\displaystyle |x|<1}$（注：xは複素数である可能性があります）これは、漸化式に比率判定法を適用することで確認できます。漸化式は、a₀とa₁の任意の値から開始することができ、 2階微分方程式から生じる2次元の解空間につながります。標準的な選択肢は次のとおり_です。

a ₀ = 1  ; a ₁ = 0 となり、解が得られる。

${\displaystyle F(x)=1-{\frac {p^{2}}{2!}}x^{2}+{\frac {(p-2)p^{2}(p+2)}{4!}}x^{4}-{\frac {(p-4)(p-2)p^{2}(p+2)(p+4)}{6!}}x^{6}+\cdots }$

そして

a ₀ = 0  ; a ₁ = 1 となり、解が得られる。

${\displaystyle G(x)=x-{\frac {(p-1)(p+1)}{3!}}x^{3}+{\frac {(p-3)(p-1)(p+1)(p+3)}{5!}}x^{5}-\cdots .}$

一般解は、これら2つの線形結合のいずれかである。

pが非負整数の場合、2つの関数のうちどちらか一方は、有限項で級数が終了します。pが偶数の場合はFが、pが奇数の場合はGがそれぞれ終了します。この場合、その関数はp次多項式であり、第1種チェビシェフ多項式に比例します。

${\displaystyle T_{p}(x)=(-1)^{p/2}\ F(x)\,}$pが偶数の場合

${\displaystyle T_{p}(x)=(-1)^{(p-1)/2}\ p\ G(x)\,}$pが奇数の場合

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