チホノフの定理

数学 において、チホノフの定理は、任意のコンパクト位相空間の集合の積は、その積位相に関してコンパクトであると述べている。この定理は、アンドレイ・ニコラエヴィチ・チホノフ（姓はチホノフと表記されることもある）にちなんで名付けられ、彼は1930年に閉単位区間のべき乗について最初に証明し、1935年に完全な定理を述べ、その証明は特殊な場合と同じであるとの注釈を添えた。最も古い既知の証明は、チホノフによる1935年の論文「関数空間について」に含まれている。^{[ 1 ]}

チホノフの定理は、一般位相幾何学における最も基礎的な結果の1つである。^{[ 2 ]}この定理は、ファジィ集合に基づく位相空間にも適用可能である。^{[ 3 ]}

この定理は、コンパクト性と積位相の正確な定義に決定的に依存している。実際、積位相は1935年のティホノフの論文で初めて定義された。逆に、この定理の重要性の一部は、これらの特定の定義が最も有用（つまり、最も扱いやすい）ものであるという確信を与えることにある。

実際、空間を開集合で覆う場合、必ず有限部分被覆が存在するというハイネ＝ボレルのコンパクト性の定義は比較的新しい。19世紀から20世紀初頭にかけてより広く用いられたのは、有界な無限列は必ず収束部分列を持つというボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの基準であり、これは現在では列コンパクト性と呼ばれている。これらの条件は距離化可能な空間においては同値であるが、位相空間全体においては、どちらか一方が他方を意味するわけではない。

2 つの連続コンパクト空間の積が連続コンパクトであることを証明するのはほとんど自明である。最初の成分の部分列、次に 2 番目の成分の部分部分列へと進む。わずかに複雑な「対角化」の議論によって、連続コンパクト空間の可算積の連続コンパクト性が確立される。しかし、閉単位区間の連続多コピー（通常の位相を持つ）の積は、チホノフの定理によってコンパクトであるにもかかわらず（例えば、 Wilansky 1970 、p. 134を参照）、積位相に関して連続コンパクトではない。 

これは重大な欠陥です。Xが完全正則ハウスドルフ空間である場合、 Xから[0,1] ^{C ( X ,[0,1])}への自然な埋め込みが存在します。ここで、C ( X ,[0,1]) はXから [0,1] への連続写像の集合です。したがって、[0,1] ^{C ( X ,[0,1])}のコンパクト性は、すべての完全正則ハウスドルフ空間がコンパクトハウスドルフ空間に埋め込まれる（または「コンパクト化」できる）ことを示しています。この構成は、ストーン・チェフのコンパクト化です。逆に、コンパクトハウスドルフ空間のすべての部分空間は完全正則ハウスドルフ空間であるため、これは完全正則ハウスドルフ空間がコンパクト化できる空間であることを特徴づけます。このような空間は現在、チコノフ空間と呼ばれています。

チホノフの定理は、他の多くの数学的定理を証明するために用いられてきました。これには、ノルム付きベクトル空間の双対空間の単位球の弱コンパクト性に関するバナッハ・アラオグル定理や、すべての部分列が一様収束する部分列を持つ関数列を特徴付けるアルツェラ・アスコリ定理など、特定の空間のコンパクト性に関する定理が含まれます。また、すべての最小k彩色グラフが有限であることを述べるデ・ブルイン・エルデシュ定理や、セルオートマトンを位相的に特徴付けるカーティス・ヘドルンド・リンドン定理など、コンパクト性とは直接関係のない定理も含まれます。

経験則として、かなり一般的な対象（多くの場合、代数的または位相代数的な性質を持つ）を入力として受け取り、コンパクト空間を出力するような構成は、おそらくチコノフ空間を使用するでしょう。例えば、可換C*-代数の極大イデアルのゲルファント空間、ブール代数の極大イデアルのストーン空間、可換バナッハ環のベルコビッチスペクトルなどです。

1) チホノフの1930年の証明は、完全集積点の概念を使用した。

2) この定理は、アレクサンダー部分基底定理の簡単な系である。

より現代的な証明は、次のような考察に基づいている。部分列の収束によるコンパクト性へのアプローチは、可算インデックス集合の場合、単純明快な証明につながる。しかし、位相空間における数列を用いた収束へのアプローチは、空間が可算性の第一公理を満たす場合（距離空間のように）には十分であるが、一般にはそうではない。しかし、少なくとも2つの点を持つ非可算個の距離空間の積は、第一可算性を満たさない。したがって、任意の空間における適切な収束の概念が、距離空間における列コンパクト性を一般化するコンパクト性基準につながり、それが積のコンパクト性を導出するのに容易に適用できることを期待するのは自然なことである。そして、これは実際にそうであることが判明した。

3)アンリ・カルタンによるフィルターによる収束理論は、 1937 年にブルバキによって発展させられ、次の基準を導きます。超フィルター補題を仮定すると、空間がコンパクトであるのは、その空間上の各超フィルターが収束する場合に限ります。これを踏まえると、証明は容易になります。任意の射影写像による積空間上の超フィルターの像によって生成されるフィルターは、因子空間上の超フィルターであり、したがって、少なくとも 1 つのx _iに収束します。次に、元の超フィルターがx  =  ( x _i )に収束することを示します。

3) 上記の証明を応用すれば、ツォルンの補題から直接証明を与えることも可能である。ツォルンの補題§ チホノフの定理の証明を参照のこと。（例えば、ムンクレスは自身の教科書でそのような証明を与えている。）

4) 同様に、ムーア・スミスのネットによる収束理論は、ケリーの普遍ネットの概念によって補完され、空間がコンパクトであるのは、その空間上の各普遍ネットが収束する場合に限るという基準を導きます。この基準は、チコノフの定理の証明（ケリー、1950）につながります。この証明は、フィルターを用いたカルタン／ブルバキの証明と、一字一句同じですが、「普遍ネット」を「超フィルター」に繰り返し置き換えている点が異なります。普遍ネットを用いないネットを用いた証明は、1992年にポール・チェルノフによって与えられました（下記参照）。

5) コンパクトハウスドルフ空間の場合、定理（コンパクトハウスドルフ空間の積はコンパクトハウスドルフである）は、ロケールに関する対応する結果、すなわちコンパクトロケールの積はコンパクトであるという結果から導き出すことができる。^{[ 4 ]}

上記の証明はすべて、何らかの形で選択公理（AC）を利用しています。例えば、3番目の証明では、すべてのフィルタが超フィルタ（すなわち最大フィルタ）に含まれることを利用しており、これはツォルンの補題を用いることで確認できます。ツォルンの補題は、すべてのネットが普遍的なサブネットを持つというケリーの定理を証明するためにも用いられています。実際、これらのACの利用は不可欠です。1950年にケリーは、チコノフの定理がZFの選択公理を導くことを証明しました。ACの定式化の一つとして、空でない集合の族の直積は空でないというものがあります。しかし、空集合はほぼ確実にコンパクトであるため、このような単純な方法で証明を進めることはできません。したがって、チコノフの定理は、他のいくつかの基本的な定理（例えば、すべてのベクトル空間が基底を持つという定理）と同様に、 ACと同等です。

一方、すべてのフィルタが超フィルタに含まれるという主張は、ACを意味するものではありません。実際、これはツェルメロ＝フレンケル集合論（ZF）の公理と選択公理（ZFC）で拡張されたZF理論の中間点としてよく知られているブール素イデアル定理（BPI）と同等であることは容易にわかります。ティクノフの2番目の証明を一目見ただけでは、証明には（BPI）しか使われていないように見え、上記の主張と矛盾するかもしれません。しかし、すべての収束フィルタが一意の極限を持つ空間は、まさにハウスドルフ空間です。一般に、インデックス集合の各要素に対して、射影された超フィルタ基底の空でない極限集合の要素を選択する必要がありますが、もちろんこれにはACが使われます。しかし、これはコンパクトなハウスドルフ空間の積のコンパクト性も（BPI）を使って証明できることを示しており、実際、その逆も成り立ちます。様々な制限された空間クラスに対するチホノフの定理の強さを研究することは、集合論的トポロジーにおける活発な研究分野である。

無点位相におけるチホノフの定理の類似物は、選択公理のいかなる形式も必要としない。

チコノフの定理の一般形が選択公理を導くことを証明するために、空でない集合の無限直積はすべて空でないことを立証します。証明で最も難しいのは、適切な位相を導入することです。適切な位相とは、少しひねりを加えた余有限位相であることがわかります。この位相が与えられたすべての集合は自動的にコンパクト空間になることがわかります。この事実がわかれば、チコノフの定理を適用できます。次に、コンパクト性の定義として有限交差性（FIP）を用います。証明自体（JL Kelleyによる）は以下のとおりです。

{ A _i } を、 Iに属するiのインデックス付き空でない集合のインデックス付き族とする( Iは任意のインデックス付き集合)。これらの集合の直積が空でないことを示す。ここで、各iについて、X _{i を}A _iにインデックスi自体を追加したものとする(必要に応じて非交和を使用してインデックスの名前を変更し、 i はA _iの要素ではないと仮定して、単純にX _i = A _i ∪ { i } とする)。

ここで、デカルト積を定義する。 $${\displaystyle X=\prod _{i\in I}X_{i}}$$Xの要素をそのi番目の項に変換する 自然射影マップπ _{iも併せて使用します。}

各X _jに、開集合が空集合、単元 { i }、集合X _iである位相を与えます。これによりX _{i は}コンパクトになり、チホノフの定理により、Xもコンパクトになります (積位相において)。射影写像は連続です。すべてのA _iは閉じており、 X _iの単元開集合 { i }の補集合です。したがって、逆像 π _i ⁻¹ ( A _i ) はXの閉部分集合です。 $${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}=\bigcap _{i\in I}\pi _{i}^{-1}(A_{i})}$$ そして、これらの逆像が FIP を持つことを証明します。i ₁ , ..., i _NをIのインデックスの有限集合とします。すると、有限積A _{i 1} × ... × A _{i N} は空ではありません (ここでは選択肢が有限個しかないため、AC は不要です)。単にNタプルから構成されます。 a = ( a ₁ , ..., a _N ) をそのようなNタプルとします。 a をインデックス集合全体に拡張します。つまり、 a を、 j = i _kの場合はf ( j ) = a _k、それ以外の場合はf ( j ) = jで定義される関数fとします。このステップでは、各空間に追加の点を加えることが非常に重要です。なぜなら、これにより、 Nタプル外のすべてに対して、選択なしで正確な方法でf を定義できるからです(構成上、すでにX _jからj を選択できます)。 π _{i k} ( f ) = a _kは明らかに各A _{i k}の要素であるため、f は各逆像に含まれています。したがって、次のようになります。 $${\displaystyle \bigcap _{k=1}^{N}\pi _{i_{k}}^{-1}(A_{i_{k}})\neq \varnothing .}$$

FIPのコンパクト性の定義によれば、 I上の共通部分全体は空でないはずであり、証明は完了する。

• アレクサンダーのサブベース定理– トポロジーを生成する部分集合のコレクション リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• コンパクト性定理– 数理論理学における定理 
• チューブ補題– 位相幾何学における補題 

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• ケリー、ジョン・L. (1950)、「チコノフ積定理は選択公理を暗示する」、Fundamenta Mathematicae、37 : 75–76、doi : 10.4064/fm-37-1-75-76。
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• ティコノフ、アンドレイ N. (1930)、「Über die topologische Erweiterung von Räumen」、Mathematische Annalen (ドイツ語)、102 (1): 544–561、doi : 10.1007/BF01782364。
• ウィランスキー、A. (1970)、『解析のための位相幾何学』、ギン・アンド・カンパニー
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• ライト、デイビッド・G. (1994)、「チコノフの定理」、アメリカ数学会紀要、120 (3): 985–987、doi : 10.1090/s0002-9939-1994-1170549-2。

• Mizar システムの証明: http://mizar.org/version/current/html/ yellow17.html# T23