2の補数

2の補数は、コンピュータ上で符号付き（正、負、ゼロ）整数を表す最も一般的な方法であり、 ^{[ 1 ]}より一般的には固定小数点バイナリ値を表します。1の補数や符号と絶対値システムと同様に、2の補数では最上位ビットを符号として使用して正（0）または負（1）の数を示し、非負の数は符号なし表現で表されます（6は0110、0は0000）。ただし、2の補数では、負の数は絶対値のビット補数を取って1を加えることで表されます（-6は1010）。表現のビット数は、負または正の数のすべての追加の上位ビットをそれぞれ1または0で埋めることで増加し、追加の先頭の1または0を削除することで減少します。

1の補数方式とは異なり、2の補数方式ではゼロの表現は1つしかなく、負の数を1つ追加で表現する余地があります（4ビット数の範囲は-8から+7です）。さらに、同じ算術実装を符号付き整数と符号なし整数の両方で使用でき^{[ 2 ]} 、正の数とその負の数の表現の合計が0（キャリービットがセットされている場合）であるため、整数オーバーフローの状況 のみが異なります。

与えられた負の数を2進数で表した2の補数表現を得る手順は以下のとおりです。

• ステップ 1: 先頭のビットを符号ビットとして、数値の絶対バイナリ表現から始めます。^{[ 3 ]}
• ステップ2：すべてのビットを反転（または反転）する – すべての0を1に、すべての1を0に変更する。
• ステップ3：オーバーフローを無視して、反転した数値全体に1を加えます。オーバーフローを考慮すると、結果の値が間違ってしまいます。

例えば、10進数の-6を6から2進数で計算するには、次のようにします。

• ステップ 1: 10 進数の+6は 2 進数では0110です。最左端のビット (最初の 0) が符号です(2 進数の 110 は 10 進数では −2 になります)。
• ステップ 2: 0110のすべてのビットを反転して1001にします。
• ステップ 3: 反転した数1001に位取り 1 を加えると、1010になります。

1010 の値が実際に−6であることを確認するには、位の値を足し合わせますが、最終的な計算から符号の値を引きます。最上位の値は符号の値であるため、正しい結果を得るにはそれを引き下げる必要があります。1010 = − ( 1 × 2 ³ ) + ( 0 × 2 ^{2 ) + (} 1 ×2 ¹ ) + ( 0 ×2 ⁰ ) = 1 ×−8 + 0 + 1 ×2 + 0 = −6。

ステップ2とステップ3を組み合わせることで、加法逆元を計算する有効な方法となる。${\displaystyle -n}$任意の（正または負の）整数${\displaystyle n}$入力と出力の両方が2の補数である。${\displaystyle -n}$引き算を使う${\displaystyle 0-n}$2の補数表現における整数の減算については、以下を参照してください。

2の補数は、基数補数の例です。名前の「2」は、2N（「2のN乗」）という数を指し、^NビットシステムではこのN乗を基準として補数が計算されます（この項で正確に「2」が生成される唯一のケースはN =1の場合、つまり1ビットシステムの場合ですが、1ビットシステムでは符号とゼロの両方を表現できません）。したがって、 Nビット数の2の補数の正確な定義は、^{その数を2N}で補ったものです。

2 ^Nに関してある数の補数であることの定義特性は、この数と元の数を足し合わせると2 ^Nになるということです。たとえば、3 ビットまでの数値でバイナリを使用する場合 ( N = 3で2 ^N = 2 ³ = 8 = 1000 ₂、ここで「₂」はバイナリ表現を示します)、数 3 ( 011 ₂ ) の 2 の補数は 5 ( 101 ₂ ) です。これは、元の数に足し合わせると2 ³ = 1000 ₂ = 011 ₂ + 101 ₂になるからです。この対応関係を負の数の表現に用いる場合、実際には、10進数の類推と、0から7までの8つの非負の数のみを許容する数空間を用いて、数空間を2つのセットに分割することを意味します。最初の4つの数0 1 2 3はそのままですが、残りの4つは負の数をエンコードし、その増加順序を維持します。つまり、4は-4、5は-3、6は-2、7は-1をエンコードします。ただし、2進数表現には、最上位ビットがグループ（および符号）も示すという追加の有用性があります。最初の非負のグループの場合は0、2番目の負のグループの場合は1です。右側の表はこの特性を示しています。

正の数のバイナリ 2 の補数を計算するということは、基本的にその数を2 ^Nから減算することを意味します。しかし、3 ビットの例と 4 ビットの1000 ₂ ( 2 ³ ) でわかるように、数2 ^{N は}Nビット空間のすぐ外側にあるため、N ビットに制限されたシステムではそれ自体は表現できません(それでもこの数は、 Nビット システムでの「2 の補数」の基準点です)。このため、最大でNビットのシステムでは、減算を 2 つの操作に分割する必要があります。まず、Nビット システムでの最大値、つまり2 ^N −1 (バイナリではこの項は実際には「すべて 1」で構成される単純な数であり、その減算は、ビットごとの NOT 演算としても知られる数のすべてのビットを反転するだけで実行できます) から減算し、次に 1 を加えます。偶然にも、1を加える前のその中間数は、コンピュータサイエンスにおいて符号付き数の表現方法として用いられており、1の補数と呼ばれています（このような数を元の数と足すと「すべて1」になることから、このように名付けられました）。

符号付き数を表現する他のシステム（例えば、1の補数）と比較すると、2の補数には、加算、減算、乗算といった基本的な算術演算が符号なし2進数の場合と同じであるという利点があります（入力が出力と同じビット数で表現され、そのビット数を超えるオーバーフローが結果から破棄される限り）。この特性により、特に高精度の算術演算において、システムの実装が容易になります。さらに、1の補数システムとは異なり、2の補数には負のゼロの表現がないため、それに伴う困難もありません。それ以外では、どちらの方式も、整数の符号を2進数表現の補数を取ることで反転できるという望ましい特性を備えていますが、2の補数には例外があります。それは、表で確認できる最小の負の数です。^{[ 4 ]}

補数法は、 10進加算機や機械式計算機で減算を行うために長年使用されてきた。ジョン・フォン・ノイマンは、電子式プログラム内蔵型デジタルコンピュータのEDVAC提案に関する1945年の報告書の第一草稿で、2の補数による2進数表現の使用を提案した。 ^{[ 5 ]}第一草稿に触発された1949年のEDSACは、負の2進整数の2の補数表現を使用した。

CDC 6600、LINC、PDP-1、UNIVAC 1107など、初期のコンピュータの多くは1の補数表記を使用しており、UNIVAC 1107の後継機種であるUNIVAC 1100/2200シリーズも引き続き使用していました。（後の18ビットDECマシンは、ADD命令による1の補数加算とTAD命令による2の補数演算の両方をサポートしていました。）IBM 700/7000シリーズの科学計算機は、インデックスレジスタを除いて符号/絶対値表記を使用しており、インデックスレジスタは2の補数です。負の値を2の補数形式で格納する初期の商用コンピュータには、English Electric DEUCE（1955年）やDigital Equipment Corporation PDP-5（1963年）およびPDP-6（1964年）などがあります。 （PDP-5 および PDP-8 ファミリーのコンピュータは、1 の補数 ADD 命令がなかったにもかかわらず、2 の補数加算のアセンブラ ニーモニック TAD を引き続き使用しました。）1964 年に、当時コンピュータ業界で支配的な地位にあったIBMが発表したSystem/360は、2 の補数をコンピュータ業界で最も広く使用されているバイナリ表現にしました。最初のミニコンピュータである 1965 年に発表されたPDP-8 は、 1969 年のData General Nova、1970 年のPDP-11、およびそれ以降のほとんどすべてのミニコンピュータとマイクロコンピュータと同様に、2 の補数演算を使用しています。

2の補数表現は、正の数と負の数を二進数で表現するシステムです。各ビットの重みは2のべき乗ですが、最上位ビットの重みは対応する2のべき乗の負の値になります。

Nビット整数の値w ${\displaystyle a_{N-1}a_{N-2}\dots a_{0}}$次の式で与えられます。

$${\displaystyle w=-a_{N-1}2^{N-1}+\sum _{i=0}^{N-2}a_{i}2^{i}}$$

最上位ビットは数値の符号を決定し、符号ビットと呼ばれることもあります。符号と絶対値表現とは異なり、符号ビットには上記のように−(2 ^{N − 1} )の重みがあります。Nビットを使用すると、 −(2 ^{N − 1} )から2 ^{N − 1} − 1までのすべての整数を表現できます。

2の補数表記では、非負の数は通常の2進数表現で表されます。この場合、最上位ビットは0です。ただし、表現できる数値の範囲は、符号なし2進数とは異なります。たとえば、8ビットの符号なし数は、0から255（11111111）までの値を表すことができます。しかし、2の補数8ビット数は、0から127（01111111）までの非負の整数しか表現できません。これは、最上位ビットが「1」である残りのビットの組み合わせが、-1から-128までの負の整数を表すためです。

2の補数演算は加法逆演算なので、負の数は絶対値の2の補数で表されます。

特定のビット数を持つ2の補数表現の数を、より多くのビットを持つ数に変換する場合（例えば、1バイト変数から2バイト変数にコピーする場合）、最上位ビットは追加されるすべてのビットに繰り返される必要があります。一部のプロセッサではこれを単一の命令で実行しますが、他のプロセッサでは、条件分岐の後に、関連するビットまたはバイトを設定するコードを実行する必要があります。

同様に、数値を右シフトする場合、符号情報を含む最上位ビットは保持されなければなりません。しかし、左シフトの場合は、1ビットがシフトアウトされます。これらの規則は、左シフトは数値を2倍し、右シフトは数値を2で割るという共通の意味を維持します。ただし、最上位ビットが0から1（またはその逆）に変化した場合、その値が符号付き整数を表す場合はオーバーフローが発生したと言われます。

乗算アルゴリズムによっては、シフトと精度倍増の両方が重要となる。加算や減算とは異なり、符号付き数と符号なし数では、幅の拡張と右シフトの処理方法が異なる。

例外は1つだけですが、2の補数表現の任意の数値から始めて、すべてのビットを反転して1を加えると、その数値の負の数の2の補数表現が得られます。正の 12は負の12に 、正の 5は負の 5に、0は0（+オーバーフロー）になります。

範囲内の最小値の2の補数（否定）を取っても、数値を否定するという望ましい効果は得られません。たとえば、8ビットシステムで-128の2の補数は、右の表に示すように-128 です。 -128を否定すると+128になるはずですが、 8ビットの2の補数システムでは+128を表す方法がないため、実際には否定を表すことはできません。2の補数が同じ数値であることは、最上位ビットへの桁上がりはあったものの、最上位ビットから桁上がりがなかったため、オーバーフロー状態として検出されます。 

ゼロ以外の数が自身の否定と等しくなるのは、ゼロが自身の否定であり、数の総数が偶数であるという事実によって必然的に起こります。証明：ゼロ以外の数は2^n − 1 個（奇数）あります。否定によってゼロ以外の数はサイズ 2 の集合に分割されますが、そうするとゼロ以外の数の集合の濃度が偶数になってしまいます。したがって、少なくとも 1 つの集合のサイズは 1 であり、つまり、ゼロ以外の数は自身の否定です。

最も負の数が存在すると、結果の符号が予期しないものになったり、予期しないオーバーフロー例外が発生したり、まったく奇妙な動作を引き起こしたりするなど、予期しないプログラミングバグが発生する可能性があります。たとえば、

• 単項否定演算子は、ゼロ以外の数の符号を変更することはできません。例: −(−128)  ⟼  −128  (ここで「⟼」は「～になる」と読みます)。
• 絶対値の実装によっては負の数を返す場合があります。^{[ 8 ]}例:  abs(−128)  ⟼  −128  。

• 同様に、−1による乗算は期待どおりに機能しない場合があります。例: (−128) × (−1) ⟼ −128 。    
• −1による除算は例外を引き起こす可能性があります ( 0による除算によって引き起こされる例外と同様)。^{[ 9 ]} −1による剰余 (または剰余) の計算でもこの例外がトリガーされる可能性があります。^{[ 10 ]}例: (−128) ÷ (−1) ⟼ [クラッシュ]、(−128) % (−1) ⟼ [クラッシュ]。        

CおよびC++プログラミング言語では、上記の動作は未定義であり、奇妙な結果を返す可能性があるだけでなく、コンパイラはプログラマが未定義の数値演算が発生しないように保証したと仮定し、その仮定から推論を行うことができます。^{[ 10 ]}これにより多くの最適化が可能になりますが、これらの未定義の計算を含むプログラムでは多くの奇妙なバグが発生します。

2の 補数におけるこの最も負の数は、唯一の例外であるため、「奇妙な数」と呼ばれることがあります。^{[ 11 ] [ 12 ]} この数は例外ではありますが、通常の2の補数システムでは有効な数です 。すべての算術演算は、オペランドとしても（オーバーフローがない限り）結果としても機能します。

すべての可能なNビット値の集合が与えられた場合、下位 (バイナリ値による) 半分を 0 から(2 ^{N − 1} − 1)までの整数に、上位半分を−2 ^{N − 1 から −1 までの整数に割り当てることができます。上位半分 (これもバイナリ値による) は、−2 N − 1}から^{−1 まで}の負の整数を表すために使用できます。なぜなら、2 ^Nを法とする加算では、これらの負の整数と同じように動作するからです。つまり、i + j mod 2 ^N = i + ( j + 2 ^N ) mod 2 ^Nであるため、集合{ j + k 2 ^N | kは整数 } の任意の 値をjの代わりに使用できます。^{[ 13 ]} 

例えば、8ビットの場合、符号なしバイトは0から255までです。上位半分（128から255）から256を引くと、符号付きバイトは-128から-1までになります。

2の補数との関係は、256 = 255 + 1であり、(255 − x )がxの1 の補数であることに注目することで理解できます。 

 1111 1111 255。 − 0101 1111 − 95。 =========== ===== 1010 0000 (1の補数) 160。 + 1 + 1 =========== ===== 1010 0001 (2の補数) 161。 

1972年にMIT AIラボが発表した古典的なHAKMEMの中で、ビル・ゴスパーは、機械の内部表現が2の補数であるかどうかは、2の連続するべき乗を合計することで判断できると指摘した。彼は空想的に、これを代数的に行った結果、「代数は2の補数である機械（宇宙）上で実行されている」ことを示していると指摘した。^{[ 18 ]}

ゴスパーの最終的な結論は必ずしも真剣に受け止められるべきものではなく、数学のジョークに似ています。重要なステップは「...110 = ...111  −  1」、つまり「2 X = X  −  1」であり、したがってX  =  ...111  = −1 です。これは、無限の 1 の列を数とみなす方法を前提としており、初等算術 の有限位取りの概念の拡張が必要です。これは、すべての整数の 2 の補数表記の一部として、典型的な2 進数として、または実数の発散系列1 + 2 + 4 + 8 + ⋯に対して定義された一般化された和の 1 つとして意味があります。^{[ 19 ]}無限 (2 の正のべき乗まで拡張) ビット列で動作するように理想化されたデジタル算術回路は、2 の補数表現と互換性のある 2 進加算と乗算を生成します。^{[ 20 ]} 2進メトリックにおけるバイナリ算術演算およびビット演算の連続性は、暗号化にもいくらか利用されている。^{[ 21 ]}

.0101 のような小数部を持つ数値を変換するには、通常の変換と同様に、右から左へ 1 を小数に変換する必要があります。この例では、0101 は 10 進数で 5 に相当します。浮動小数点以下の各桁は、分母が 2 の倍数である分数を表します。したがって、最初の桁は 1/2、2 番目の桁は 1/4 などとなります。上記のように既に小数値を計算しているため、LSB (LSB = 右から) の分母のみを使用します。この変換の最終結果は 5/16 です。

例えば、この方法を実行するために浮動小数点値 0.0110 を使用する場合、右端の 0 は考慮しない必要があります。したがって、0110 の小数値を計算する代わりに、011 を計算します。これは小数で 3 です (末尾の 0 を残しておくと、結果は 6 となり、分母 2 ⁴  =  16 とすると 3/8 になります)。分母は 8 なので、最終結果は 3/8 となります。

• 除算アルゴリズム（2の補数表現における復元除算と非復元除算を含む）
• オフセットバイナリ

• 2の補数の説明（トーマス・フィンリー、2000年）
• コレン、イスラエル (2002)。コンピュータ演算アルゴリズム。 AKピーターズ。ISBN 1-56881-160-8。
• フローレス、イヴァン（1963）。コンピュータ算術の論理。プレンティス・ホール。

• 2の補数配列乗算器JavaScriptシミュレーター