3値論理

論理学において、三値論理（さんじゅうろく、さんばんろく、さんばんろく、さんりょう、^[1] 3VLと略されることもある）は、真、偽、および第三の値を示す3つの真理値がある多値論理システムのいずれかである。 これは、真と偽のみを提供する、より一般的に知られている二価論理（古典的な文論理やブール論理など）とは対照的である。

エミール・レオン・ポストは、1921年に発表した基本命題理論において、初めて追加の論理的真理度を導入したとされている。^{[2]三値論理の概念形式と基本的な考え方は、当初}ヤン・ルカシェヴィチとクラレンス・アーヴィング・ルイスによって発表された。これらはその後、グリゴレ・コンスタンティン・モイシルによって公理的代数形式で再定式化され、 1945年にはn値論理にも拡張された。

1910 年頃、チャールズ・サンダース・パースは多値論理体系を定義した。しかし、彼はそれを公表することはなかった。実際、彼は 3 値演算子を定義した 3 ページのノートに番号すら付けていなかった。^[3]パースは、すべての命題は真か偽のどちらかでなければならないという考えを完全に否定した。境界命題は「P と非 P の間の限界にある」と彼は書いている。^[4]しかし、彼は「3 項論理は普遍的に真である」と確信していたが、^[5]「これらすべてはほぼナンセンスだ」とも書き留めている。^[6] 1966 年にマックス・フィッシュとアトウェル・ターケットが未発表の原稿で再発見したものを公表し始めて初めて、パースの 3 項の考えは広く知られるようになった。^[7]

大まかに言えば、三値論理の研究の主な動機は、真か偽かで表すことができない文の真理値を表すことである。^[8] Łukasiewicz は、不確定な未来についての文の真理値を表すために、未来の偶発事象の問題に対する三値論理を最初に開発した。 ^{[9] [10] [11]} Bruno de Finetti は、 3 番目の値を使用して、「特定の個人が、少なくとも特定の瞬間には [正しい] 応答を知らない」場合を表す。^{[12] [8]} Hilary Putnam は、物理的に決定できない値を表すためにこれを使用しました。^[13]

たとえば、自動車の速度がこれこれだと（スピードメーターを使って）検証した場合、その世界では、その瞬間の自動車の位置に関する特定の記述を検証したり偽ったりすることは不可能かもしれません。物理法則と特定の観測データを参照して、自動車の位置に関する記述が偽りまたは検証されることは決してないことがわかっている場合、その記述を真または偽と見なすのではなく、「中間」と見なすことに意味があるかもしれません。マクロコスモスの経験では、経験的に意味のある記述と見なすものはすべて、少なくとも潜在的に検証可能または偽りであるように思われるため、そのような記述はすべて真か偽のどちらかであるが、多くの場合、どちらであるかはわからないという慣習を好むのです。

同様に、スティーブン・コール・クリーネは、「[いかなる]アルゴリズムでも真か偽か決定できない」述語を表すために3番目の値を使用した^{[14] [8]}

二価論理と同様に、三値論理の真理値は三進法のさまざまな表現を使用して数値的に表すことができます。より一般的な例をいくつか示します。

• 平衡三進法では、各桁は3つの値（−1、0、+1）のいずれかを持ちます。これらの値はそれぞれ−、0、+に簡略化されることもあります。^[15]
• 冗長2進表現では、各桁は-1、0、0/1の値を持ちます（値0/1には2つの異なる表現があります）。
• 三進法では、各数字は0、1、または 2 の値を持つトリット(3 進数)です。
• 歪んだ2進数システムでは、最下位の非ゼロの桁のみが2の値を持ち、残りの桁は0または1の値を持ちます。
• 1は真、2は偽、0は不明、不明/決定不能、無関係、またはその両方である。^[16]
• 0 はfalse、 1 は​​ true、そして 3 つ目の非整数の「おそらく」記号 (?、#、⁠など)1/2⁠、^[17]またはxy。

3 進コンピュータ内では、 3 進値は3 進信号によって表されます。

この記事では主に、真理値 {false、unknown、true} を使用する三値命題論理のシステムを説明し、従来のブール接続子を三価のコンテキストに拡張します。

ブール論理では2 ² = 4 個の単項演算子を使用できます。三項論理に 3 番目の値を追加すると、単一の入力値に対して合計 3 ³ = 27 個の異なる演算子が使用できます。 （これは、任意の単項演算子のすべての可能な真理値表を考慮することで明らかになります。単一のブール入力の 2 つの可能な値 TF が与えられた場合、各値に作用する次の単項演算子から生じる出力の 4 つの異なるパターン TT、TF、FT、FF があります：常に T、同一、NOT、常に F。3 項変数の 3 つの可能な値と、それぞれに単項演算の 3 つの可能な結果が与えられた場合、27 の異なる出力パターンがあります：TTT、TTU、TTF、TUT、TUU、TUF、TFT、TFU、TFF、UTT、UTU、UTF、UUT、UUU、UUF、UFT、UFU、UFF、FTT、FTU、FTF、FUT、FUU、FUF、FFT、FFU、および FFF。）同様に、ブール論理では 2 ^2×2 = 16 の異なる二項演算子（2 つの入力を持つ演算子）が可能ですが、三項論理では 3 ^3×3 =そのような演算子は19,683個あります。非自明なブール演算子には名前を付けることができ（AND、 NAND、OR、NOR、XOR、XNOR（同値）、および4種類の含意または不等号）、0または1の入力のみを考慮する6つの自明な演算子がある場合、可能な三項演算子のごく一部を除いてすべてに名前を付けようとするのは不合理です。^{[18]すべての演算子に名前が付けられているわけではなく、}機能的に完全な演算子のサブセットが使用される二価論理と同様に、機能的に完全な三値演算子の集合が存在する可能性があります。

以下は、 Stephen Cole Kleeneの「不確定性の強い論理」とGraham Priestの「パラドックスの論理」の 論理演算を示す真理値表のセットです。

真理値 1、0、-1 が整数として解釈される場合、これらの演算は通常の算術演算 ( x + yは加算、xy は乗算、x ^{2 は}累乗を使用) または最小/最大関数で表現できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}x\wedge y&={\frac {1}{2}}(x+y-x^{2}-y^{2}+xy+x^{2}y^{2})=\min(x,y)\\x\vee y&={\frac {1}{2}}(x+y+x^{2}+y^{2}-xy-x^{2}y^{2})=\max(x,y)\\\neg x&=-x\end{aligned}}}$

これらの真理値表では、未知の状態は、クリーネ論理では真でも偽でもないと考えることも、プリースト論理では真と偽の両方と考えることもできます。違いは、トートロジーの定義にあります。クリーネ論理で指定された唯一の真理値は T ですが、プリースト論理で指定された真理値は T と U の両方です。クリーネ論理では、特定の未知の状態がどの瞬間にも密かに真または偽を表しているかどうかを知ることはできません。ただし、特定の論理演算では、未知のオペランドが含まれていても明確な結果が得られます。たとえば、true OR true はtrueに等しく、true OR falseもtrueに等しいため、true OR unknownもtrueに等しくなります。この例では、どちらの二価状態も未知の状態の基礎となっている可能性があり、どちらの状態も同じ結果をもたらすため、3 つのケースすべてで trueになります。

バランスのとれた 3 進数値などの数値がfalse、unknown、trueに割り当てられ、falseがunknownより小さく、unknownがtrueより小さい場合、 A AND B AND C... = MIN(A, B, C ...) かつ A OR B OR C ... = MAX(A, B, C...) となります。

クリーネ論理の物質的含意は次のように定義できます。

${\displaystyle A\rightarrow B\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\mbox{OR}}(\ {\mbox{NOT}}(A),\ B)}$であり、その真理値表は

これはŁukasiewicz論理（後述）の場合とは異なります。

クリーネ論理にはトートロジー（有効な式）がない。なぜなら、整形式の式のすべての原子要素に値 Unknown が割り当てられている場合は、式自体にも値 Unknown がなければならないからである。（そして、クリーネ論理に指定されている唯一の真理値は True である。）しかし、有効な式がないということは、有効な議論や推論規則がないことを意味するわけではない。クリーネ論理では、議論が意味的に有効であるのは、（任意の解釈/モデルに対して）その前提がすべて True である場合に、結論も True でなければならない場合である。（パラドックスの論理（LP）にはクリーネ論理と同じ真理値表があるが、指定されている真理値は 1 つではなく 2 つ、つまり True と Both（Unknown の類似物）であるため、LP にはトートロジーがあるが、有効な推論規則は少ない。）^[19]

Łukasiewicz Ł3 には、上記の Kleene 論理と同じ AND、OR、NOT の表がありますが、含意の定義が異なり、「未知は未知を意味する」が真です。このセクションは、論理の歴史ハンドブック第 8 巻のマリノフスキーの章の説明に従います。^[20]

Łukasiewicz論理の真理値表の物質的意味は

実際、Łukasiewicz の含意と否定を使用すると、他の通常の接続詞は次のように導き出されます。

• A ∨ B = ( A → B ) → B
• A ∧ B = ¬(¬ A ∨ ¬ B )
• AとB は等しく、BとAは等しくない。

他にもいくつかの有用な単項演算子を導出することができる（1921年にタルスキによって最初に導出された）：^[要出典]

• M A = ¬ A → A
• LA = ¬ M ¬ A
• IA = M A ∧ ¬ L A

次のような真理値表があります。

M は「…は偽ではない」と読みます。または、三値論理を使用して様相論理を公理化する (失敗した) Tarski-Łukasiewicz の試みでは、「…である可能性がある」と読みます。L は「…であるが真である」または「…である必要がある」と読みます。最後に I は「…であるが不明である」または「…であるが偶然である」と読みます。

Łukasiewicz の 3 では、指定された値は True です。つまり、どこでもこの値を持つ命題だけがトートロジーと見なされます。たとえば、A → AとA ↔ Aは 3 でも古典論理でもトートロジーです。古典論理のすべてのトートロジーが「そのまま」3 に上がるわけではありません。たとえば、排中律 A ∨ ¬ A と無矛盾律¬ ( A ∧ ¬ A )は3ではトートロジーではありません。ただし、上で定義した演算子を使用すると、それらの類似であるトートロジーを記述できます。

• A ∨ I A ∨ ¬ A (排第四法則)
• ¬( A ∧ ¬ I A ∧ ¬ A ) (拡張された背理原理)。

R-mingle 3（RM3）の物質的含意の真理値表は

RM3 の特徴は、弱体化の公理が存在しないことです。

• ( A → ( B → A ))

これは随伴性により、積からの射影と同等である。

• ( A ⊗ B ) → A

RM3 は非デカルト対称モノイド閉カテゴリです。含意の左随伴である積には有効な射影がなく、モノイド恒等式としてU を持ちます。この論理は、逆否定にも従う「理想的な」矛盾のない論理と同等です。

¹⁹³⁰年にヘイティングによって直観主義論理の研究モデルとして導入された「こことそこの論理（HT、スメタノフ論理SmTまたはゲーデルG3論理とも呼ばれる）」は、3値中間論理であり、3番目の真理値NF（偽ではない）は、直観的に偽ではないことが証明できる命題の意味を持ちますが、直観的に正しさが証明されることはありません。

これは、直観論理の公理に、2つの同値な公理(¬ q → p ) → ((( p → q ) → p ) → p )または同値なp ∨(¬ q )∨( p → q )のいずれかを追加するか、その演算の明示的な真理値表によって定義できます。特に、論理積と論理和はクリーネの論理やルカシェヴィチの論理と同じですが、否定は異なります。

HT 論理は、中間論理の束の中の唯一のコアトムです。この意味で、HT 論理は古典論理に次ぐ「2 番目に強い」中間論理と見なすことができます。

この論理は、クリーネの 3 値論理の弱い形式としても知られています。

not(a) = (a + 1) mod 3、または

not(a) = (a + 1) mod (n)、ここで(n)は論理値である。

3VLモジュラー演算は、哲学的問題ではなく回路の問題を動機として最近導入された。^[22]

• コーン代数
• プラダン代数
• Dubrova ^[23]と Muzio 代数

データベース クエリ言語SQL は、NULLフィールド コンテンツとの比較を処理する手段として三項ロジックを実装します。SQL は、AND、OR、および NOT テーブルに制限された Kleene K3 ロジックの共通フラグメントを使用します。

• 二項論理（曖昧さ回避）
• ブール代数（構造）
• ブール関数
• デジタル回路
• 4値論理
• 同質性（言語学）
• 矛盾論理 § 理想的な3値矛盾論理
• Setun – 三進法に基づいたロシアの実験的なコンピュータ
• ストローソン含意
• 三進法（およびバランス三進法）
• 3ステートロジック（トライステートバッファ）
• ヌルAの世界

• バーグマン、メリー (2008)。『多値論理とファジー論理入門：意味論、代数、導出システム』ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-88128-9. 2013年8月24日閲覧。、第5章から第9章
• ムンディチ、D. 3値論理のC*-代数。論理コロキウム'88、パドヴァで開催されたコロキウムの議事録61-77（1989）。doi ： 10.1016/s0049-237x（08）70262-3
• ライヘンバッハ、ハンス（1944）。量子力学の哲学的基礎。カリフォルニア大学出版局。ドーバー、1998年：ISBN 0-486-40459-5