量子容量

量子通信の理論では、量子容量とは、送信者から受信者へのノイズのある量子チャネルの多くの独立した使用において量子情報を伝達できる最高速度のことです。これはまた、チャネル上でエンタングルメントを生成できる最高速度にも等しく、順方向の古典通信ではこれを改善することはできません。量子容量定理は、量子誤り訂正の理論、そしてより広くは量子計算の理論にとって重要です。任意のチャネルの量子容量の下限を与える定理は、より厳密な基準でそれを証明した著者セス・ロイド^{[ 1 ]}、ピーター・ショア[ ^{2 ] 、}イゴール・デベタク^{[ 3 ]}にちなんで、ロイド・ショア・デベタク（LSD）定理として通称されています^{[ 4 ]。}

LSD定理は、量子チャネルのコヒーレント情報が、信頼性の高い量子通信において達成可能なレートであることを述べています。パウリチャネルの場合、コヒーレント情報は単純な形式を持ち、それが達成可能であることの証明も特に簡単です。本稿では、ランダム安定化符号を利用し、チャネルで発生する可能性のあるエラーのみを訂正することで、この特殊なケースにおける定理を証明します。

定理（ハッシュ限界）。ハッシュ限界を達成する安定化量子誤り訂正符号が存在する。${\displaystyle R=1-H\left(\mathbf {p} \right)}$以下の形式のパウリチャネルの場合：$${\displaystyle \rho \mapstop_{I}\rho +p_{X}X\rho X+p_{Y}Y\rho Y+p_{Z}Z\rho Z,}$$どこ${\displaystyle \mathbf {p} =\left(p_{I},p_{X},p_{Y},p_{Z}\right)}$そして${\displaystyle H\left(\mathbf {p} \right)}$これは、この確率ベクトルのエントロピーです。

証明。典型的なエラーのみを修正することを考えます。つまり、 典型的なエラーの集合を次のように定義します。$${\displaystyle T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\equiv \left\{a^{n}:\left\vert -{\frac {1}{n}}\log _{2}\left(\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\right)-H\left(\mathbf {p} \right)\right\vert \leq \delta \right\},}$$どこ${\displaystyle a^{n}}$文字で構成される何らかのシーケンス${\displaystyle \left\{I,X,Y,Z\right\}}$そして${\displaystyle \Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}}$IIDパウリチャネルが何らかのテンソル積エラーを発生させる確率は${\displaystyle E_{a^{n}}\equiv E_{a_{1}}\otimes \cdots \otimes E_{a_{n}}}$この典型的なセットは、次のような意味で起こりうるエラーで構成されています。$${\displaystyle \sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\geq 1-\epsilon ,}$$すべての人々のために${\displaystyle \epsilon >0}$そして十分に大きい${\displaystyle n}$安定化コードの誤り訂正条件^{[ 5 ]}$\displaystyle {\mathcal {S}}}$この場合、${\displaystyle \{E_{a^{n}}:a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\}}$修正可能なエラーのセットである場合

$${\displaystyle E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\notin N\left({\mathcal {S}}\right)\backslash {\mathcal {S}},}$$すべてのエラーペアについて${\displaystyle E_{a^{n}}}$そして${\displaystyle E_{b^{n}}}$そのため${\displaystyle a^{n},b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}$どこ${\displaystyle N({\mathcal {S}})}$は正規化子です$\displaystyle {\mathcal {S}}}$また、安定化符号をランダムに選択した場合の誤り確率の期待値についても検討する。

以下の手順に従ってください。$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} _{\mathcal {S}}\left\{p_{e}\right\}&=\mathbb {E} _{\mathcal {S}}\left\{\sum _{a^{n}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}{\mathcal {I}}\left(E_{a^{n}}{\text{ is uncorrectable under }}{\mathcal {S}}\right)\right\}\\&\leq \mathbb {E} _{\mathcal {S}}\left\{\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}{\mathcal {I}}\left(E_{a^{n}}{\text{ is uncorrectable under }}{\mathcal {S}}\right)\right\}+\epsilon \\&=\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\mathbb {E} _{\mathcal {S}}\left\{{\mathcal {I}}\left(E_{a^{n}}{\text{ is uncorrectable under }}{\mathcal {S}}\right)\right\}+\epsilon \\&=\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{E_{a^{n}}{\text{ is uncorrectable under }}{\mathcal {S}}\right\}+\epsilon .\end{aligned}}}$$最初の等式は定義により導かれる。${\displaystyle {\mathcal {I}}}$指示関数は、次の場合に 1 に等しい。${\displaystyle E_{a^{n}}}$修正不可能${\displaystyle {\mathcal {S}}}$それ以外の場合はゼロとなる。最初の不等式は、非典型的なエラーセットの確率質量が無視できるほど小さいため、典型的なエラーのみを修正することから導かれる。2番目の等式は、期待値と和を入れ替えることで導かれる。3番目の等式は、指示関数の期待値が、それが選択する事象が発生する確率であることから導かれる。

続いて、以下の通りです。$${\displaystyle =\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{\exists E_{b^{n}}:b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n},\ E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\backslash {\mathcal {S}}\right\}}$$

${\displaystyle \leq \sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{A^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{\exists E_{b^{n}}:b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n},\ E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\right\}}$

${\displaystyle =\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{\bigcup \limits _{b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n}}E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\right\}}$

${\displaystyle \leq \sum _{a^{n},b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\right\}}$

${\displaystyle \leq \sum _{a^{n},b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}2^{-\left(n-k\right)}}$

${\displaystyle \leq 2^{2n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]}2^{-n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]}2^{-\left(n-k\right)}}$

${\displaystyle =2^{-n\left[1-H\left(\mathbf {p} \right)-k/n-3\delta \right]}.}$

最初の等式は量子スタビライザーコードの誤り訂正条件から導かれる。${\displaystyle N\left({\mathcal {S}}\right)}$は正規化子です ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$最初の不等式は、コード内の潜在的な縮退を無視することによって導かれる。つまり、エラーが正規化器にある場合、そのエラーは訂正不可能であるとみなす。${\displaystyle N\left({\mathcal {S}}\right)}$そして確率は、${\displaystyle N\left({\mathcal {S}}\right)\backslash {\mathcal {S}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)}$2番目の等式は、存在基準と事象の和集合の確率が等しいことを認識することによって導かれる。2番目の不等式は、和集合の境界を適用することによって導かれる。3番目の不等式は、固定演算子の確率が${\displaystyle E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}}$ランダム安定化演算子の安定化演算子と可換な恒等演算子と等しくない値は、次のように上限が定められる。 ${\displaystyle \Pr _{\mathcal {S}}\left\{E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\right\}={\frac {2^{n+k}-1}{2^{2n}-1}}\leq 2^{-\left(n-k\right)}.}$ ここでの論理は、スタビライザーコードのランダムな選択はオペレーターの固定と同等であるということである。${\displaystyle Z_{1}}$、...、${\displaystyle Z_{n-k}}$そして一様ランダムなクリフォードユニタリを実行する。固定演算子が可換である確率は ${\displaystyle {\overline {Z}}_{1}}$、...、${\displaystyle {\overline {Z}}_{n-k}}$は正規化子内の非恒等演算子の数に等しい（${\displaystyle 2^{n+k}-1}$）を非恒等演算子の総数で割った値（${\displaystyle 2^{2n}-1}$上記の境界を適用した後、次の典型性境界を利用します。 $${\displaystyle \forall a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}:\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\leq 2^{-n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]},}$$$${\displaystyle \left\vert T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\right\vert \leq 2^{n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]}.}$$ 我々は、レートが${\displaystyle k/n=1-H\left(\mathbf {p} \right)-4\delta }$誤り確率の期待値は任意に小さくなるため、誤り確率の上限が同じである安定化符号の選択肢が少なくとも1つ存在する。

ハッシュ限界は、明示的な量子誤り訂正符号の構成のベンチマークとしても使用されます。2025年、小本大樹と笠井健太は、物理量子ビット数に比例する計算コストの和積デコーダを使用しながら、ハッシュ限界に近い数値復号性能を持つ、偏光解消チャネル用の低密度パリティチェックCSSコードを報告しました。^{[ 6 ]}

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