チコノフの定理

数学 において、ティコノフの定理は、コンパクト 位相空間の任意の集合の積は、積位相に関してコンパクトであるということを述べている。この定理は、アンドレイ・ニコラエヴィチ・ティホノフ（姓はティコノフと表記されることもある）にちなんで名付けられ、ティホノフは1930年にこの定理を閉単位区間のべき乗に対して初めて証明し、1935年にその証明は特殊なケースの場合と同じであるとの注釈とともに完全な定理を述べた。最も古い公開された証明は、ティコノフによる1935年の論文「Über einen Funktionenraum」に含まれている。^[1]

ティコノフの定理は、ウリゾーンの補題と並んで、おそらく一般位相幾何学における最も重要な結果であると考えられることが多い。^{[2]この定理は、}ファジィ集合に基づく位相空間にも有効である。^[3]

この定理は、コンパクト性と積位相の正確な定義に大きく依存します。実際、1935 年の Tychonoff の論文は、初めて積位相を定義しました。逆に言えば、この定理の重要性の一部は、これらの特定の定義が最も有用な (つまり、最も適切に動作する) ものであるという確信を与えることです。

実際、ハイン＝ボレルのコンパクト性の定義（開集合による空間の被覆はすべて有限部分被覆を許容する）は比較的最近のものである。19 世紀から 20 世紀初頭にかけては、ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの基準（すべての有界無限列は収束部分列を許容する、現在では逐次コンパクト性と呼ばれる）の方が一般的であった。これらの条件は距離化可能空間では同等であるが、すべての位相空間のクラスでは一方が他方を意味するわけではない。

2 つの連続コンパクト空間の積が連続コンパクトであることを証明するのはほとんど自明です。つまり、最初の要素の部分列を経て、2 番目の要素の部分部分列に至るのです。もう少し複雑な「対角化」の議論によって、連続コンパクト空間の可算積の連続コンパクト性が証明されます。しかし、閉じた単位区間 (通常の位相を持つ) の連続体の多数のコピーの積は、ティコノフの定理によってコンパクトであるにもかかわらず、積の位相に関しては連続コンパクトではありません (たとえば、Wilansky 1970、p. 134 を参照)。

これは重大な誤りである。Xが完全正則 ハウスドルフ空間である場合、 Xから[0,1] ^{C ( X ,[0,1])}への自然な埋め込みが存在する。ここで、C ( X ,[0,1]) はXから [0,1] への連続写像の集合である。したがって、[0,1] ^{C ( X ,[0,1])}のコンパクト性は、すべての完全正則ハウスドルフ空間がコンパクトなハウスドルフ空間に埋め込まれる (または、「コンパクト化」できる) ことを示す。この構成は、ストーン–チェフのコンパクト化である。逆に、コンパクト ハウスドルフ空間のすべての部分空間は完全正則ハウスドルフであるため、これは完全正則ハウスドルフ空間をコンパクト化できる空間として特徴付ける。このような空間は現在、チコノフ空間と呼ばれている。

ティコノフの定理は、他の多くの数学定理を証明するために使われてきました。これらには、ノルムベクトル空間の双対空間の単位球の弱*コンパクト性に関するバナッハ–アラオグルの定理や、すべての部分列が一様収束する部分列を持つ関数の列を特徴付けるアルゼラ–アスコリの定理など、特定の空間のコンパクト性に関する定理が含まれます。また、すべての極小k彩色グラフは有限であると述べるド・ブリュイン–エルデシュの定理や、セルオートマトンを位相的に特徴付けるカーティス–ヘドランド–リンドンの定理など、コンパクト性との関連が明らかでない命題も含まれます。

経験則として、かなり一般的なオブジェクト（多くの場合、代数的または位相代数的性質のもの）を入力として受け取り、コンパクトな空間を出力するあらゆる種類の構成では、ティコノフが使用される可能性があります。たとえば、可換C* 代数の最大イデアルのゲルファント空間、ブール代数の最大イデアルのストーン空間、可換バナッハ環のベルコビッチ スペクトルなどです。

1) 1930 年のティコノフの証明では、完全な集積点の概念が使用されました。

2) この定理は、アレクサンダー部分基底定理の簡単な系です。

より現代的な証明は、以下の考慮に基づいている。部分列の収束を介したコンパクト性へのアプローチは、可算なインデックス セットの場合に単純で透明な証明につながる。しかし、位相空間における収束へのアプローチは、空間が第一可算公理を満たす場合 (距離化可能空間がそうであるように) には十分であるが、そうでない場合は一般には十分ではない。しかし、それぞれが少なくとも 2 つの点を持つ、非可算な数の距離化可能空間の積は、第一可算ではない。したがって、任意の空間における収束の適切な概念が、距離化可能空間における連続コンパクト性を一般化するコンパクト性基準につながり、積のコンパクト性を推論するために簡単に適用できると期待するのは自然なことである。これは実際にそうであることが判明した。

3)アンリ・カルタンが考案し、1937 年にブルバキが展開したフィルターによる収束の理論は、次の基準を導きます。超フィルターの補題を仮定すると、空間がコンパクトであるためには、その空間上の各超フィルターが収束する必要があります。これを把握すれば、証明は簡単になります。任意の射影マップの下での積空間上の超フィルターの像 (によって生成されたフィルター) は、因子空間上の超フィルターであり、したがって、少なくとも 1 つのx _iに収束します。次に、元の超フィルターがx  = ( x _i ) に収束することを示します。ムンクレスは教科書で、フィルター理論の言語や前提を明示的に使用しないカルタン-ブルバキの証明の書き直しを示しています。

4) 同様に、ネットを介した収束に関するムーア・スミスの理論は、ケリーの普遍ネットの概念によって補足され、空間がコンパクトであるためには、その空間上の各普遍ネットが収束する必要があるという基準を導きます。この基準は、ティコノフの定理の証明 (ケリー、1950) につながります。これは、フィルターを使用したカルタン/ブルバキの証明と、"普遍ネット" を "ウルトラフィルター基底" に繰り返し置き換えていることを除けば、一字一句同じです。

5) ユニバーサル ネットではなくネットを使用した証明は、1992 年に Paul Chernoff によって与えられました。

上記の証明はすべて、何らかの形で選択公理(AC) を使用しています。たとえば、3 番目の証明では、すべてのフィルターがウルトラフィルター (つまり、最大フィルター) に含まれていることを使用しており、これはZorn の補題を呼び出すことで確認できます。Zorn の補題は、すべてのネットにユニバーサル サブネットがあるという Kelley の定理を証明するためにも使用されます。実際、これらの AC の使用は不可欠です。1950 年に Kelley は、Tychonoff の定理がZFの選択公理を意味することを証明しました。AC の 1 つの定式化は、空でない集合の族の直積は空でないというものです。ただし、空集合は間違いなくコンパクトであるため、証明はそのような単純な方法では進めないことに注意してください。したがって、Tychonoff の定理は、他のいくつかの基本定理 (すべてのベクトル空間には基底があるなど) とともに、 AC と同等です。

一方、すべてのフィルタが超フィルタに含まれているという主張は、AC を意味するものではありません。実際、それがブール素イデアル定理(BPI) と同等であることは容易にわかります。これは、ツェルメロ-フランケル集合論 (ZF) の公理と選択公理によって拡張された ZF 理論 (ZFC) の間のよく知られた中間点です。ティクノフの 2 番目の証明を一見すると、証明は (BPI) のみを使用しているように思われるかもしれませんが、これは上記とは矛盾しています。しかし、すべての収束フィルタが一意の極限を持つ空間は、まさにハウスドルフ空間です。一般に、インデックス セットの各要素に対して、射影された超フィルタ ベースの空でない極限の集合の要素を選択する必要があり、もちろんこれには AC が使用されます。しかし、これはまた、コンパクトなハウスドルフ空間の積のコンパクトさが (BPI) を使用して証明できることを示しており、実際、その逆も成り立ちます。さまざまな制限された空間クラスに対するチコノフの定理の強さを研究することは、集合論的位相幾何学における活発な分野です。

無点位相幾何学におけるチコノフの定理の類似物は、いかなる形式の選択公理も必要としません。

チコノフの定理の一般版が選択公理を意味することを証明するために、空でない集合のすべての無限直積は空でないことを証明します。証明の最も難しい部分は、正しい位相を導入することです。結局のところ、正しい位相は、少しひねりを加えたコ有限位相です。この位相が与えられたすべての集合は自動的にコンパクト空間になります。この事実がわかれば、チコノフの定理を適用できます。次に、コンパクト性の有限交差特性(FIP) 定義を使用します。証明自体は ( JL Kelleyによる) 次のとおりです。

{ A _i } を、 iがI の範囲内にある( Iは任意のインデックス セット)空でないセットのインデックス付きファミリとします。これらのセットの直積が空でないことを示します。次に、各iについて、X _{i を}A _iにインデックスi自体を追加したものと見なします (必要に応じて、分離和集合を使用してインデックスの名前を変更します。 i はA _iのメンバーではないと想定できるため、X _i = A _i ∪ { i } とします)。

ここで、 Xの要素をそのi番目 の項に取る自然射影マップπ _i とともに、直積を定義します 。$${\displaystyle X=\prod _{i\in I}X_{i}}$$

各X _jに、開集合が空集合、シングルトン { i }、集合X _iである位相を与える。これによりX _{i は}コンパクトになり、ティコノフの定理により、Xもコンパクトになる（積位相において）。射影写像は連続的であり、すべてのA _iは閉じており、X _i内のシングルトン開集合 { i }の補集合である。したがって、逆像 π _i ⁻¹ ( A _i )はXの閉部分集合である。これに着目し 、これらの逆像が FIP を持つことを証明する。i ₁、...、i _{N を}I内のインデックスの有限集合とする。すると、有限積A _{i 1} × ... × A _{i N} は空でなく（ここでは選択肢が有限個しかないため、AC は不要）、単にN組で構成される。 そのようなN組をa = ( a ₁、...、a _N ) とする。a をインデックス セット全体に拡張します。つまり、 j = i _kの場合はf ( j ) = a _k、それ以外の場合はf ( j ) = jで定義される関数fをaにとります。このステップでは、各空間に追加の点を追加することが重要になります。これにより、 N組の外側のすべてに対して、選択なしで正確にf を定義できるようになります(構成により、 j をX _jから選択できます)。π _{i k} ( f ) = a _{k は}明らかに各A _{i k}の要素であるため、f は各逆像に存在します。したがって、 $${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}=\bigcap _{i\in I}\pi _{i}^{-1}(A_{i})}$$$${\displaystyle \bigcap _{k=1}^{N}\pi _{i_{k}}^{-1}(A_{i_{k}})\neq \varnothing .}$$

FIP のコンパクト性の定義によれば、 I上の交差全体は空でなくてはならないため、証明は完全です。

• アレクサンダーの部分基底定理 – 位相を生成する部分集合の集合リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• コンパクト性定理 – 数理論理学における定理
• チューブ補題 – 位相幾何学における証明フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ

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• Mizar システムの証明: http://mizar.org/version/current/html/ yellow17.html#T23