68-95-99.7ルール

統計学では、68-95-99.7 ルール（経験則または正規分布の 68-95-99.7 ルールとも呼ばれる^{[ 1 ]} 、 3 srまたは3 σと略されることもある）は、正規分布における区間推定値内に含まれる値の割合を覚えるための略記法です。つまり、値の約 68%、95%、99.7% がそれぞれ平均の1、2、3標準偏差内に収まります。

数学的表記では、これらの事実は次のように表すことができます。ここで、Pr()は確率関数、^{[ 2 ]} Χは正規分布する確率変数からの観測値、μ (mu) は分布の平均、σ (sigma) はその標準偏差です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(\mu -1\sigma \leq X\leq \mu +1\sigma )&\approx 68.27\%\\\Pr(\mu -2\sigma \leq X\leq \mu +2\sigma )&\approx 95.45\%\\\Pr(\mu -3\sigma \leq X\leq \mu +3\sigma )&\approx 99.73\%\end{aligned}}}$$

このヒューリスティックの有用性は、特に検討中の問題とデータの収集方法に依存します。特に、このヒューリスティックはデータが真に正規分布していることに依存します。実生活のデータでよく見られる多くのベル型の分布の中で、正規分布は「裾が薄い」ことで知られています。これは、確率が中心付近に異常に集中していることを意味します。データX が、代わりに「裾が厚い」、つまり確率がより広く分散している、よく見かける類似した分布のいずれかに支配されている場合、平均からの 3 つの偏差すべてにおいて有意性は低くなります。

経験科学では、いわゆる3シグマの経験則（または3σルール）は、ほとんどすべての値が平均値から3標準偏差の範囲内にあるとみなされるという慣習的なヒューリスティックを表しており、したがって99.7%の確率をほぼ確実とみなすことは経験的に有用である。 ^{[ 3 ]}

社会科学では、信頼水準が2シグマ効果（95%）程度であれば、結果は統計的に有意（より詳細な調査に値するほど明確）であると考えられるが、素粒子物理学では、発見とみなされるには5シグマ効果（99.99994%の信頼度）の統計的有意性が必要であるという慣習がある。^{[ 4 ]}

チェビシェフの不等式から、正規分布に従わない変数であっても、少なくとも 88.8% のケースが適切に計算された 3 シグマ区間内に収まるという、より弱い 3 シグマ ルールを導き出すことができます。単峰分布の場合、ヴィソチャンスキー・ペトゥニンの不等式により、3 シグマ内に入る確率は少なくとも 95% です。分布によっては、この確率が少なくとも 98% になるような特定の仮定が存在する場合があります。^{[ 5 ]}

私たちはそれを持っています $$\begin{aligned}\Pr(\mu -n\sigma \leq X\leq \mu +n\sigma )=\int _{\mu -n\sigma }^{\mu +n\sigma }{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}dx,\end{aligned}}}$$標準得点に関して変数変換を 行う${\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\sigma }}}$、 我々は持っています $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-n}^{n}e^{-{\frac {z^{2}}{2}}}dz\end{aligned}},}$$ そしてこの積分は${\displaystyle \mu }$そして${\displaystyle \sigma }$。各ケースについて各積分を計算するだけでよい。${\displaystyle n=1,2,3}$。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(\mu -1\sigma \leq X\leq \mu +1\sigma )&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-1}^{1}e^{-{\frac {z^{2}}{2}}}dz\approx 0.6826894921\\\Pr(\mu -2\sigma \leq X\leq \mu +2\sigma )&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-2}^{2}e^{-{\frac {z^{2}}{2}}}dz\approx 0.9544997361\\\Pr(\mu -3\sigma \leq X\leq \mu +3\sigma )&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-3}^{3}e^{-{\frac {z^{2}}{2}}}dz\approx 0.9973002039.\end{aligned}}}$$

これらの数値「68%、95%、99.7%」は、正規分布の累積分布関数から得られたものです。

任意の標準スコアzの予測区間は、数値的には(1 − (1 − Φ _{μ , σ ²} (z)) · 2)に対応します。

例えば、Φ(2) ≈ 0.9772、またはPr( X ≤ μ + 2 σ ) ≈ 0.9772 となり、これは予測区間(1  −  (1  −  0.97725)·2) =  0.9545 =  95.45%に対応します。これは対称区間ではなく、単に観測値がμ + 2 σより小さい確率です。観測値が平均値から 2 標準偏差以内にある確率を計算するには (丸めによるわずかな差)、次のようになります。 $${\displaystyle \Pr(\mu -2\sigma \leq X\leq \mu +2\sigma )=\Phi (2)-\Phi (-2)\approx 0.9772-(1-0.9772)\approx 0.9545}$$

これは、統計学で用いられる信頼区間に関連するものです。$\displaystyle {\bar {X}}\pm 2{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}$95%信頼区間は、${\displaystyle {\bar {X}}}$サイズ のサンプルの平均${\displaystyle n}$。

「68-95-99.7ルール」は、母集団が正規分布に従うと仮定した場合に、標準偏差からおおよその確率を素早く推定するためによく用いられます。また、母集団が正規分布に従うと仮定した場合の外れ値の簡単な検定として、あるいは母集団が正規分布に従わない可能性がある場合の正規性検定としても用いられます。

標本から標準偏差を求めるには、まず偏差を計算します。これは、母平均が既知か推定値のみかによって、誤差または残差のいずれかになります。次のステップは、母集団パラメータが既知の場合は標準化（母集団標準偏差で割る）、パラメータが未知で推定値のみの場合はスチューデント化（標準偏差の推定値で割る）を行うことです。

外れ値の検定や正規性検定として使用するには、偏差の大きさを標準偏差で表し、これを期待頻度と比較します。サンプルセットが与えられた場合、スチューデント化残差を計算し、これを期待頻度と比較することができます。標準偏差から3標準偏差以上離れた点は外れ値である可能性が高く（サンプルサイズが著しく大きい場合は、このような極端なサンプルが期待されます）、標準偏差から3標準偏差以上離れた点が多数ある場合は、分布の正規性に関する仮定に疑問を抱く理由があると考えられます。これは、4標準偏差以上の変動に対しては、さらに強く当てはまります。

ポアソン分布を用いて、特定の大きさ以上の極端な動きの数を近似することで、より正確に計算することもできますが、簡単に言えば、1,000個のサンプルの中に4標準偏差を超える動きが複数ある場合、それらを外れ値とみなしたり、分布の正規性を疑ったりする強い理由があります。

例えば、6σの事象は、約2ppbの確率に相当します。例として、事象が毎日発生すると仮定すると、これは140万年に1回発生する事象に相当します。これにより、簡単な正規性検定が可能になります。日々のデータで6σが観測され、かつ100万年よりもかなり短い期間しか経過していない場合、正規分布は、この点における大きな偏差の大きさや頻度を適切にモデル化していない可能性が高いと言えます。

正規分布の裾野が指数関数的に減少するため、偏差が大きくなる確率は非常に速く減少します。日々の出来事に関する正規分布データのルールから、次のようになります。

• p値
• シックスシグマ § シグマレベル
• 標準スコア
• t統計量

• 「 xシグマ内のパーセンテージ比率を計算する」。WolframAlpha 。