神経（カテゴリー理論）

数学の一分野である圏論において、小さな圏Cの神経 N ( C )は、 Cの対象と射から構成される単体集合である。この単体集合の幾何学的実現は位相空間であり、圏Cの分類空間と呼ばれる。これらの密接に関連した対象は、代数的位相幾何学、最もよく使われるのはホモトピー理論を使用して、いくつかのよく知られた有用な圏に関する情報を提供することができる。

カテゴリーの神経は、モジュライ空間の位相バージョンを構築するためによく使用されます。XがCのオブジェクトである場合、そのモジュライ空間は、 Xに同型なすべてのオブジェクトを何らかの方法でエンコードし、そのカテゴリー内のすべてのオブジェクト間のさまざまな同型を追跡する必要があります。特にオブジェクトに非恒等自己同型が多数ある場合は、これはかなり複雑になる可能性があります。神経は、このデータを整理するための組み合わせ的な方法を提供します。単体集合には優れたホモトピー理論があるため、さまざまなホモトピー群 π _n ( N ( C )) の意味について質問することができます。このような質問への回答が、元のカテゴリーCまたは関連するカテゴリーに関する興味深い情報を提供することが期待されます。

神経の概念は、離散群の空間を分類する古典的な概念を直接一般化したものです。詳細については以下を参照してください。

C を小さなカテゴリとします。 Cの各オブジェクトに対してN ( C )の 0 単体が存在します。 Cの各射f  :  x  →  yに対して 1 単体が存在します。 ここで、 f : x → yとg  :  y  →   z がCの射である とします。すると、それらの合成gf  :  x  →  zも存在します。

この図は、この可換三角形に 2 単体を追加するという私たちの行動方針を示しています。N ( C ) のすべての 2 単体は、このようにして合成可能な射のペアから生じます。これらの 2 単体を追加しても、合成によって得られた射が消去されたり無視されたりすることはありません。単に、射がこのようにして生じたことを記憶するだけです。

一般に、N ( C ) _kはk個の合成可能射の組 から構成される。

${\displaystyle A_{0}\to A_{1}\to A_{2}\to \cdots \to A_{k-1}\to A_{k}}$

Cの。N ( C )を単体集合として定義するには、面写像と退化写像も指定する必要がある。これらも、カテゴリとしての Cの構造によって提供される。面写像

${\displaystyle d_{i}\colon N(C)_{k}\to N(C)_{k-1}}$

は、 i番目のオブジェクトにおける射の合成（または、iが0またはkの場合には、シーケンスからi番目のオブジェクトを削除）によって与えられる。^{[1]これは、} d _{i が}k組 を送信することを意味する。

${\displaystyle A_{0}\to \cdots \to A_{i-1}\to A_{i}\to A_{i+1}\to \cdots \to A_{k}}$

( k  − 1)組 に

${\displaystyle A_{0}\to \cdots \to A_{i-1}\to A_{i+1}\to \cdots \to A_{k}.}$

つまり、写像d _{i は}射A _{i −1} → A _iとA _i → A _{i +1}を射A _{i −1} → A _{i +1に合成し、すべての}k組に対して( k  − 1)組を生成します。

同様に、退化マップ

${\displaystyle s_{i}:N(C)_{k}\to N(C)_{k+1}}$

は、オブジェクトA _iに恒等射を挿入することによって与えられます。

単体集合は、関数Δ ^op → Setとみなすこともできる。ここで Δ は、全順序有限集合と順序保存射のカテゴリである。すべての部分順序集合P は、 Pの要素をオブジェクトとし、 Pにおいてp  ≤  qであるときはいつでもpからqへの一意の射を持つ(小さな) カテゴリi ( P ) を生成する。したがって、カテゴリ Δ から小さなカテゴリのカテゴリへの関数iが得られる。これで、カテゴリCの神経を関数 Δ ^op  →  Setとして記述できる。

${\displaystyle N(C)(\_)=\mathrm {Fun} (i(\_),C).\,}$

この神経の記述により、関数性が明らかになります。たとえば、小さなカテゴリCとD の間の関数は、単体集合の写像N ( C ) → N ( D ) を誘導します。さらに、このような 2 つの関数間の自然変換により、誘導された写像間のホモトピーが誘導されます。この観察は、高次カテゴリ理論の原理の 1 つの始まりと見なすことができます。したがって、随伴関数はホモトピー同値を引き起こします。特に、C に初期オブジェクトまたは最終オブジェクトがある場合、その神経は収縮可能です。

基本的な例は、離散群Gの分類空間である。G を、自己準同型がGの元である 1 つのオブジェクトを持つカテゴリと見なす。すると、N ( G )のk単体は、 Gの元のk組にすぎない。面写像は乗算によって機能し、退化写像は単位元の挿入によって機能します。Gが 2 つの元を持つ群である場合、各非負整数kに対して、非退化k単体が1 つだけ存在し、これは単位元を含まないGの元の一意のk組に対応します。幾何学的実現に移ると、このk組は、無限次元実射影空間上の通常のCW構造の一意のkセルと同一視できます。後者は、2 つの元を持つ群の分類空間の最も一般的なモデルです。詳細と、上記と Milnor のBGの join 構成との関係については、(Segal 1968) を参照してください。

すべての「合理的な」位相空間は、小さなカテゴリの分類空間と同相です。ここで、「合理的」とは、問題の空間が単体集合の幾何学的実現であることを意味します。これは明らかに必要条件であり、十分条件でもあります。実際、X を単体集合Kの幾何学的実現とします。 K内の単体の集合は、x がyの面である場合に限り、関係x ≤ yによって部分的に順序付けられます。この部分的に順序付けられた集合を、関係を射とするカテゴリと見なすことができます。このカテゴリの核心はKの重心細分であり、したがってその実現はXと同相です。これは、 X が仮定によるKの実現であり、重心細分によって実現の同相型が変更されないためです。

X が開被覆U _iを持つ位相空間である場合、被覆の神経は、被覆を、集合包含を関係（したがって射）として持つ半順序集合と見なすことによって得られるカテゴリに置き換えることによって、上記の定義から得られます。この神経の実現は、一般にXと同相（またはホモトピー同値でさえない）ではないことに注意してください。ホモトピー同値は通常、収縮可能な交差を持つ収縮可能な集合による良好な被覆に対してのみ成立します。

神経構造を使用してマッピング空間を復元し、マップに関する「高次のホモトピー」情報を取得することもできます。D をカテゴリとし、XとY をDのオブジェクトとします。多くの場合、射の集合X → Y を計算することに興味があります。神経構造を使用してこの集合を復元できます。C = C ( X , Y ) を、オブジェクトが図であるカテゴリと します。

${\displaystyle X\longleftarrow U\longrightarrow V\longleftarrow Y}$

となる。 U  →  XとY  →  Vの射はDにおける同型である。 C ( X ,  Y )における射は次の形の図式である。

ここで、示された写像は同型写像または恒等写像である。 C ( X ,  Y )のニューロンは写像X → Yのモジュライ空間である。適切なモデルカテゴリ設定では、このモジュライ空間は、 XからYへ のDの写像の単体集合と同値な弱ホモトピーである。

次の定理はグロタンディークによるものです。

シーガル空間も参照してください。

• Blanc, D.、WG Dwyer、PG Goerss。「-代数の実現空間: 代数位相幾何学におけるモジュライ問題」Topology 43 (2004)、第 4 号、857–892 ページ。${\displaystyle \Pi}$
• Goerss, PG、および MJ Hopkins。「可換環スペクトルのモジュライ空間」構造化環スペクトル、151～200、ロンドン数学会講義ノートシリーズ、315、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、2004 年。
• シーガル、グレアム。「空間とスペクトル列の分類。」Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 34 (1968) 105–112。
• Nラボの神経