サプリーのパラドックス

相対論的 物理学において、サプリーのパラドックス（潜水艦のパラドックスとも呼ばれる）は、周囲の重力場の影響を受ける流体に浸された相対論的な弾丸（または潜水艦内）に働く浮力を考慮するときに生じる物理的なパラドックスである。弾丸が完全流体内で静止しているときに浮力が中性であり、その後相対論的な速度で発射された場合、流体内で静止している観測者は、長さの収縮効果により密度が増加するため、弾丸は沈むはずだと結論付ける。一方、弾丸の固有フレームでは、密度が高くなるのは動いている流体であるため、弾丸は浮く。しかし、弾丸は1つのフレームで沈み、別のフレームで浮くことはできないため、パラドックス状況が存在する。

このパラドックスは、ジェームズ・M・サプリー（1989）^[1]によって初めて定式化され、厳密でない説明が提示されました。ジョージ・マツァス^[2]は、一般相対性理論の枠内でこのパラドックスを分析し、これらの相対論的浮力効果が ブラックホールの熱力学に関するいくつかの問題で重要になる可能性があることも指摘しました。特殊相対性理論と一般相対性理論の両方によるサプリーのパラドックスの包括的な説明は、リカルド・ソアレス・ヴィエイラによって提示されました。^[3] フルボイェ・ニコリッチは、潜水艦の剛性は重要ではないことに気付き、一般相対論的分析を提示し、潜水艦の関連速度は観測者に対するものではなく、地球（重力場の源）に対するものであるという事実によってパラドックスが解決されることを明らかにしました。^[4]

解析を簡略化するために、抗力と粘性を無視し、流体の密度が一定であると仮定するのが一般的です。

均一な重力場の影響を受ける液体の容器に浸された小さな物体は、同体積の液体にかかる純下向きの重力と比較して、純下向きの重力の影響を受けます。物体の密度が液体より低い場合、これら 2 つのベクトルの差は上向きのベクトル、つまり浮力となり、物体は上昇します。逆の場合は沈みます。物体と液体の密度が等しい場合、物体は中性浮力を持つと言われ、上昇も沈降もしません。

解決策は、通常のアルキメデスの原理は相対論的な場合には適用できないという点に着目することです。相対性理論を正しく使用して関係する力を分析すれば、真のパラドックスは発生しません。

サプリー^[1]自身は、弾丸に作用する重力浮力のより注意深い分析によってこのパラドックスは解決できると結論付けた。重力は物体の運動エネルギー量に依存するという合理的な（しかし正当化されていない）仮定を考慮して、サプリーは、弾丸が流体とともに静止しているフレームで加速度 （ここで は重力加速度、はローレンツ因子 ）で沈むことを示した。弾丸の適切な参照フレームでは、このフレームが慣性でないことに注目することで同じ結果が得られ、これは容器の形状がもはや平坦ではなくなることを意味し、逆に海底は上向きに湾曲し、その結果、弾丸は海面から遠く離れる、つまり、弾丸は相対的に沈むことになる。 ${\displaystyle g(\gamma ^{2}-1)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \gamma}$

サプリーが考えた、弾丸にかかる重力は弾丸のエネルギー量に依存するという不当な仮定は、ジョージ・マツァス^[2]によって排除された。マツァスは、サプリーのパラドックスを説明するために一般相対性理論の数学的手法をフルに活用し、サプリーの結果に同意した。特に、彼はリンドラーチャートを使用して状況をモデル化し、潜水艦が静止状態から所定の速度vまで加速される様子を示した。マツァスは、流体の枠組みの中では弾丸の形状が変化する点に注目することでパラドックスを解決できると結論付け、サプリーが得たものと同じ結果を導き出した。マツァスは同様の分析を適用して、ブラックホールの熱力学に関するいくつかの疑問に光を当てた。

最後に、Vieira ^{[3] は}最近、特殊相対性理論と一般相対性理論の両方を通して潜水艦パラドックスを分析した。最初のケースでは、水中を移動する潜水艦に作用する力を記述するためには重力磁気効果を考慮に入れる必要があることを示した。これらの効果を考慮すると、相対論的なアルキメデスの原理を定式化することができ、そこから彼は潜水艦は両方のフレームで沈むはずであることを示した。Vieira は、地球の近くで時空が曲がっているケースも検討した。この場合、彼は時空が近似的に平坦な空間と曲がった時間から構成されていると見なせると仮定した。彼は、この場合、静止している地球と移動する物体との間の重力は、Supplee ( ) が考えたのと同じように物体の速度とともに増加することを示し、このようにして彼の仮定の正当性を示した。この速度に依存する重力でパラドックスを再度分析すると、Supplee パラドックスが説明され、その結果は Supplee と Matsas によって得られた結果と一致します。 ${\displaystyle F=\gamma mg}$

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