分割不可能な財に対する効用関数

経済学やゲーム理論の一部の分野では、分割不可能な財、つまり全体としてのみ取引可能な離散的な品目を扱います。例えば、組み合わせオークションでは、品目の集合は有限であり、各エージェントは品目のサブセットを購入できますが、1つの品目を2人以上のエージェントで分割することはできません。

通常、各エージェントはアイテムの各サブセットに主観的な効用を割り当てると想定される。これは次の2つの方法のいずれかで表現できる。

• 通常は、${\displaystyle \succ }$エージェントが特定のセットを好むという事実${\displaystyle A}$セットへ${\displaystyle B}$書かれている${\displaystyle A\succ B}$エージェントが弱く好む場合${\displaystyle A}$（つまりどちらかが好む）${\displaystyle A}$またはどちらでも構わない${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$)すると、これは次のように書かれます${\displaystyle A\succeq B}$。
• 基数効用関数、通常は次のように表される。${\displaystyle u}$エージェントがセットから得る効用${\displaystyle A}$書かれている${\displaystyle u(A)}$基数効用関数は、多くの場合、次のように正規化されます。${\displaystyle u(\emptyset )=0}$、 どこ${\displaystyle \emptyset }$は空集合です。

基数効用関数は、選好関係を意味する。${\displaystyle u(A)>u(B)}$暗示する${\displaystyle A\succ B}$そして$u(A) ≥ u(B)$暗示する${\displaystyle A\succeq B}$ユーティリティ関数はいくつかの特性を持つことができる。^{[ 1 ]}

単調性とは、エージェントが常に（弱く）余分なアイテムを持つことを好むことを意味する。正式には：

• 選好関係の場合：${\displaystyle A\supseteq B}$暗示する${\displaystyle A\succeq B}$。
• ユーティリティ関数の場合：${\displaystyle A\supseteq B}$暗示する$u(A) ≥ u(B)$（つまり、uは単調関数である）。

単調性とは、自由廃棄の仮定と同等である。つまり、エージェントが不要なアイテムをいつでも廃棄できる場合、余分なアイテムによって効用が低下することは決してない。

加法性（線形性またはモジュール性とも呼ばれる）とは、「全体は部分の総和に等しい」という意味です。つまり、一連の項目の効用は、各項目の効用を個別に合計したものです。この性質は基数効用関数にのみ関係します。これは、すべての集合に対して、${\displaystyle A}$アイテムの、

${\displaystyle u(A)=\sum _{x\in A}u({x})}$

と仮定すると${\displaystyle u(\emptyset )=0}$。 言い換えると、${\displaystyle u}$は加法関数です。同等の定義は次のとおりです。任意の項目の集合に対して${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$、

${\displaystyle u(A)+u(B)=u(A\cup B)+u(A\cap B).}$

加法的な効用関数は、独立財に特有の性質です。例えば、リンゴと帽子は独立財とみなされます。リンゴを持っている人が帽子を持っているかどうかに関わらず、

劣モジュラ性とは、「全体は部分の総和よりも大きくなく（場合によっては小さくなる）」という意味である。形式的には、すべての集合に対して、${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$、

${\displaystyle u(A)+u(B)\geq u(A\cup B)+u(A\cap B)}$

言い換えると、${\displaystyle u}$は劣モジュラ集合関数です。

同等の性質は限界効用逓減であり、これは任意の集合に対して${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$と${\displaystyle A\subseteq B}$、そしてすべての${\displaystyle x\notin B}$: ^{[ 2 ]}

$\displaystyle u(A\cup \{x\})-u(A)\geq u(B\cup \{x\})-u(B)}$。

劣モジュラ効用関数は、代替財に特徴的な性質です。例えば、リンゴとパンは代替財とみなすことができます。人がパンを食べた後でリンゴを食べると、空腹感が少ないため、リンゴを食べることで得られる効用は小さくなります（逆もまた然り）。この場合の典型的な効用関数を右図に示します。

超モジュラリティは劣モジュラリティの反対で、「全体は部分の総和より小さくなく（場合によっては大きい）」という意味です。形式的には、すべての集合に対して、${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$、

$\displaystyle u(A)+u(B)\leq u(A\cup B)+u(A\cap B)}$

言い換えると、${\displaystyle u}$は超モジュラー集合関数です。

同等の性質として限界効用逓増があり、これはすべての集合に対して${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$と${\displaystyle A\subseteq B}$、そしてすべての${\displaystyle x\notin B}$:

$\displaystyle u(B\cup \{x\})-u(B)\geq u(A\cup \{x\})-u(A)}$。

スーパーモジュラー効用関数は、補完財に特徴的なものです。例えば、リンゴとナイフは補完財とみなすことができます。リンゴをナイフで切ってから食べる方が簡単なので、リンゴから得られる効用は、すでにナイフを持っている人の方が大きくなります（逆もまた然り）。この場合の効用関数の例を右に示します。

効用関数が加法的で あるのは、それが劣モジュラかつ優モジュラである場合に限る。

劣加法性とは、互いに素な集合の任意のペアに対して、${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle u(A\cup B)\leq u(A)+u(B)}$

言い換えると、${\displaystyle u}$は劣加法集合関数です。

仮定すると${\displaystyle u(\emptyset )}$が非負であれば、すべての劣モジュラ関数は劣加法です。ただし、劣モジュラではない非負の劣加法関数も存在します。たとえば、3 つの同一のアイテムがあると仮定します。${\displaystyle X,Y}$、および Z であり、効用はそれらの量のみに依存します。右側の表は、劣加法性はあるが劣モジュラ性はない効用関数を表しています。

${\displaystyle u(\{X,Y\})+u(\{Y,Z\})<u(\{X,Y\}\cup \{Y,Z\})+u(\{X,Y\}\cap \{Y,Z\}).}$

超加法性とは、互いに素な集合の任意のペアに対して、${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle u(A\cup B)\geq u(A)+u(B)}$

言い換えると、${\displaystyle u}$は超加法的集合関数である。

仮定すると${\displaystyle u(\emptyset )}$が非正であれば、すべての超モジュラー関数は超加法的です。ただし、超モジュラーではない非負の超加法的関数も存在します。たとえば、3 つの同一のアイテムがあると仮定します。${\displaystyle X,Y}$、および Z であり、効用はそれらの量のみに依存します。右側の表は、非負かつ超加法的であるが超モジュラーではない効用関数を表しています。

${\displaystyle u(\{X,Y\})+u(\{Y,Z\})<u(\{X,Y\}\cup \{Y,Z\})+u(\{X,Y\}\cap \{Y,Z\}).}$

ユーティリティ関数${\displaystyle u(\emptyset )=0}$は、超加法的かつ劣加法的である場合に限り、加法的であると言われる。

一般的な仮定では${\displaystyle u(\emptyset )=0}$、すべての劣モジュラ関数は劣加法的であり、すべての優モジュラ関数は優加法的である。空集合からの効用に関する仮定がない場合、これらの関係は成り立たない。

特に、劣モジュラ関数が劣加法でない場合、${\displaystyle u(\emptyset )}$負でなければなりません。たとえば、2 つの項目があるとします。${\displaystyle X,Y}$、 と${\displaystyle u(\emptyset )=-1}$、${\displaystyle u(\{X\})=u(\{Y\})=1}$そして${\displaystyle u(\{X,Y\})=3}$この効用関数は、空集合を除いて劣モジュラかつ優モジュラかつ非負であるが、劣加法ではない。

${\displaystyle u(\{X,Y\})>u(\{X\})+u(\{Y\}).}$

また、超モジュラー関数が超加法的でない場合、${\displaystyle u(\emptyset )}$正でなければならない。代わりに、${\displaystyle u(\emptyset )=u(\{X\})=u(\{Y\})=u(\{X,Y\})=1}$この効用関数は非負、超モジュラ、劣モジュラであるが、超加法的ではない。

${\displaystyle u(\{X,Y\})<u(\{X\})+u(\{Y\}).}$

単位需要（UD）とは、エージェントが単一の財のみを欲しがることを意味します。エージェントが2つ以上の財を入手した場合、最も効用の高い財を使用し、残りは捨てます。正式には次のようになります。

• 選好関係の場合：すべての集合に対して${\displaystyle B}$部分集合が存在する${\displaystyle A\subseteq B}$基数付き${\displaystyle |A|=1}$、したがって${\displaystyle A\succeq B}$。
• 効用関数の場合：すべての集合について${\displaystyle A}$: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle u(A)=\max _{x\in A}u({x})}$

単位需要関数は、劣モジュラ関数の極端な例です。これは、純粋な代替財に特有のものです。例えば、リンゴと梨があり、ある人がどちらか一方の果物を食べたい場合、その人の効用関数は単位需要関数となります。右の表にその例を示します。

総代替品（GS）とは、エージェントが当該商品を代替財または独立財とみなすが、補完財とはみなさないことを意味する。この特性には多くの正式な定義が存在するが、いずれも同等の意味を持つ。

• UDの評価額はすべてGSに相当するが、その逆は必ずしも真ではない。
• GSの評価はすべて劣モジュラであるが、その逆は必ずしも真ではない。

詳細については、「総代替品（分割不可能な品目）」を参照してください。

したがって、クラス間には以下の関係が成り立つ。

${\displaystyle UD\subsetneq GS\subsetneq 劣モジュラー\subsetneq 劣加法}$

右側の図を参照してください。

効用関数は個人の幸福度を表す関数です。多くの場合、社会全体の幸福度を表す関数が必要になります。このような関数は社会厚生関数と呼ばれ、通常は2つ以上の効用関数の集計関数です。個々の効用関数が加法的である場合、集計関数については次のことが成り立ちます。

• 分割可能な財に対する効用関数
• 一途なエージェント