スーパーモジュラー関数

数学では、関数

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} }$

は スーパーモジュラーである

${\displaystyle f(x\uparrow y)+f(x\downarrow y)\geq f(x)+f(y)}$

すべての、について、 となります。ここで、 は および の成分ごと の最大値と成分ごとの最小値を表します。${\displaystyle x}$${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle x\uparrow y}$${\displaystyle x\downarrow y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

− fがスーパーモジュラ関数の場合、f はサブモジュラ関数と呼ばれ、不等式が等式に変更されると関数はモジュラ関数になります。

fが2回連続微分可能であれば、スーパーモジュラリティは条件^{[1]と同等である。}

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial z_{i}\,\partial z_{j}}}\geq 0{\mbox{ for all }}i\neq j.}$

スーパーモジュール性の概念は、あるエージェントの決定が他のエージェントのインセンティブにどのように影響するかを分析するために社会科学で使用されます。

2人以上のプレイヤーの行動に対して定義された滑らかな利得関数を持つ対称ゲームを考えてみましょう。行動空間は連続的であると仮定します。簡単にするために、各行動は区間 から選択されるものとします。この文脈では、 のスーパーモジュラリティは、プレイヤーの選択の増加が他のすべてのプレイヤーの行動の限界利得を増加させることを意味します。つまり、いずれかのプレイヤーがより高い を選択した場合、他のすべてのプレイヤーにも選択を上げるインセンティブがあります。Bulow、 Geanakoplos、およびKlemperer（1985）の用語に従って、経済学者はこの状況を戦略的補完性 と呼びます。これは、プレイヤーの戦略が互いに補完的であるためです。^{[2]これは、}調整ゲームにおける多重均衡の例の根底にある基本特性です。^[3]${\displaystyle \,f}$${\displaystyle \,z_{i}}$${\displaystyle i\in {1,2,\dots ,N}}$${\displaystyle z_{i}\in [a,b]}$${\displaystyle \,f}$${\displaystyle \,i}$${\displaystyle \,z_{i}}$${\displaystyle df/dz_{j}}$${\displaystyle \,z_{j}}$${\displaystyle \,j}$${\displaystyle \,i}$${\displaystyle \,z_{i}}$${\displaystyle \,j}$${\displaystyle \,z_{j}}$

のスーパーモジュラリティの逆のケースはサブモジュラリティと呼ばれ、戦略的代替可能性の状況に対応します。 の増加は、他のすべてのプレーヤーの選択に対する限界利得を下げるため、戦略は代替です。つまり、 がより高い を選択した場合、他のプレーヤーはより低い を選択するインセンティブを持ちます。 ${\displaystyle \,f}$${\displaystyle \,z_{i}}$${\displaystyle \,z_{j}}$${\displaystyle \,i}$${\displaystyle \,z_{i}}$ ${\displaystyle \,z_{j}}$

たとえば、Bulow らは、多くの不完全競争企業の相互作用について考察しています。ある企業の生産量の増加が他の企業の限界収益を上げる場合、生産決定は戦略的補完となります。ある企業の生産量の増加が他の企業の限界収益を下げる場合、生産決定は戦略的代替となります。

スーパーモジュラー効用関数は補完財と関連付けられることが多いが、この見解には異論がある。^[4]

スーパーモジュラリティとサブモジュラリティは、より大きな集合のサブセット上で定義された関数に対しても定義されます。直感的には、サブセット上のサブモジュラ関数は「収穫逓減」を示します。サブモジュラ関数を最適化するための特殊な手法があります。

S を有限集合とする。関数がサブモジュラ関数であるとは、任意の および に対して が成り立つ場合をいう。スーパーモジュラ関数の場合、不等式は逆になる。 ${\displaystyle f\colon 2^{S}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle A\subset B\subset S}$${\displaystyle x\in S\setminus B}$${\displaystyle f(A\cup \{x\})-f(A)\geq f(B\cup \{x\})-f(B)}$

劣モジュラ性の定義は次のように定式化できる。

${\displaystyle f(A)+f(B)\geq f(A\cap B)+f(A\cup B)}$

Sのすべての部分集合AとBに対して。

サブモジュラー（スーパーモジュラー）関数の局所的および大域的最大値（最小値）を見つけるための理論と列挙アルゴリズムについては、B. Goldengorin著「サブモジュラー関数の最大化：理論と列挙アルゴリズム」^{[5]を参照してください。}

• 擬似ブール関数
• トプキスの定理
• 劣モジュラー集合関数
• スーパーアディティブ
• 分割不可能な財に関する効用関数