総代替品（分割不可能な項目）

経済学において、総代替品 (GS) は、分割不可能な財に関する効用関数の一種です。ある品目の価格が上昇し、他の品目の価格が一定である場合、価格が一定である品目に対するエージェントの需要が弱く増加する場合、エージェントは GS 評価を持っていると言われます。

右に例を示します。表は、2 つのアイテムの集合 {リンゴ、パン} の 4 つの可能なサブセットに対するアリスとボブの評価 (ドル単位) を示しています。アリスの評価は GS ですが、ボブの評価は GS ではありません。これを確認するために、リンゴとパンの両方が最初は 6 ドルで販売されていると仮定します。ボブにとって最適なバンドルはリンゴ + パンで、純価値は 3 ドルになります。ここで、パンの価格は 10 ドルに上がります。ボブにとって最適なバンドルは空のバンドルで、他のすべてのバンドルはマイナスの純価値になります。したがって、パンの価格だけが上昇しているにもかかわらず、ボブのリンゴに対する需要は減少しています。

GS条件は1982年にケルソーとクロフォードによって導入され^[1] 、ガルとスタケッティによって広く知られるようになりました。^{[2]それ以来、主に}オークション理論と競争均衡理論 で多くの応用が見られてきました。

GS 条件には同等の定義が多数あります。

オリジナルのGS定義^[1]は価格ベクトルと需要集合に基づいています。

• 価格ベクトルは、各アイテムの価格を含むベクトルです。${\displaystyle p}$
• 効用関数と価格ベクトルが与えられたとき、エージェントの純効用を最大化する集合は需要と呼ばれます。${\displaystyle u}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle u(X)-p\cdot X}$
• 需要セットは すべての需要の集合です。${\displaystyle D(u,p)}$

GS 特性とは、ある商品の価格が上昇しても、他の商品の需要は減少しないことを意味します。正式には、となる任意の2 つの価格ベクトルと、および任意の となるに対して、となる が存在します。(Y には、価格が一定である X のすべての商品が含まれます)。 ${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q\geq p}$${\displaystyle X\in D(u,p)}$${\displaystyle Y\in D(u,q)}$${\displaystyle Y\supseteq \{x\in X|p_{x}=q_{x}\}}$

SI条件^[2]は、非最適なセットは単一のアイテムを追加、削除、または置換することによって改善できるというものである。正式には、任意の価格ベクトルとバンドルに対して、、およびとなるバンドルが存在する。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle X\notin D(u,p)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle u(Y)-p\cdot Y>u(X)-p\cdot X}$${\displaystyle |X\setminus Y|\leq 1}$${\displaystyle |Y\setminus X|\leq 1}$

NC条件^[2]は、需要バンドルのすべてのサブセットに代替品があるというものです。正式には、任意の価格ベクトルと需要バンドル、およびすべてのサブセットに対して、次のサブセットが存在します。${\displaystyle p}$${\displaystyle X,Y\in D(u,p)}$${\displaystyle X'\subseteq X}$${\displaystyle Y'\subseteq Y}$${\displaystyle X\setminus X'\cup Y'\in D(u,p)}$

評価関数が単調であれば、GSはSIを意味し、SIはNCを意味し、NCはGSを意味するので、^{[2] ：117–120}、これら3つの条件は同等です。

M ^♮条件^[3]は凸解析から来ています（記号は音楽で使用されるのと同様の「自然な」記号です）。これは、すべての集合とすべての項目について、少なくとも次のいずれかが真でなければならないこと を示しています。${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle x\in X}$

• ${\displaystyle u(X)+u(Y)\leq u(X\setminus \{x\})+u(Y\cup \{x\})}$、 または
• となる項目が存在する。${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle u(X)+u(Y)\leq u(X\setminus \{x\}\cup \{y\})+u(Y\setminus \{y\}\cup \{x\})}$

M ^♮凹性はM ^♮交換性とも呼ばれる。^[4]これには次の解釈がある。アリスとボブの両方が効用関数を持ち、それぞれバンドルとを備えていると仮定する。アリスがボブに渡すアイテムごとに、ボブはアリスに最大で1つのアイテムを渡すことができ、交換後の総効用は維持または増加される。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

SIはMXを意味し、MXはSIを意味するので^[3]、これらは同等です。

SNC条件^[2]は、すべての集合およびおよびすべての部分集合に対して、次のような部分集合が存在することを意味している。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X'\subseteq X}$${\displaystyle Y'\subseteq Y}$

${\displaystyle u(X)+u(Y)\leq u(X\setminus X'\cup Y')+u(Y\setminus Y'\cup X')}$

SNC特性は、M ^♮ -多重交換特性とも呼ばれます。^[4]これは次のように解釈されます。^[2]アリスとボブの両方が効用関数 を持ち、それぞれバンドル と を備えているとします。アリスがボブに渡すすべてのサブセットに対して、ボブがアリスを扱うことができる同等のサブセットが存在し、交換後の総効用は維持または増加します。これはMC条件と非常によく似ていることに注意してください。唯一の違いは、MCではアリスがボブに正確に1つのアイテムを渡し、ボブがアリスに返すのは最大で1つのアイテムであることです。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X'}$${\displaystyle Y'}$

注: u にSNC があるかどうかを確認するには、 の場合を検討すれば十分です 。また、非自明なサブセット、つまり および の場合を確認すれば十分です。これらのケースでは、バンドル内を検索するだけで済みます。 ${\displaystyle X'\subseteq X\setminus Y}$${\displaystyle X'\neq \emptyset }$${\displaystyle X'\neq X\setminus Y}$${\displaystyle Y'\subseteq Y\setminus X}$

室田一男はMXがSNCを意味することを証明した^[4]。

SNC が NC を意味することは明らかです。^[2] 証明: SNC 効用関数と価格ベクトルを固定します。需要集合 内の 2 つのバンドル を とします。これは、それらが同じ純効用 (例: ) を持ち、他のすべてのバンドルの純効用が最大で であることを意味します。SNC 条件により、任意の に対して、となる が存在します。しかし、と はどちらも最大で です。したがって、どちらも でなければなりません。したがって、どちらも に含まれます。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle p}$${\displaystyle A,B}$${\displaystyle D(u,p)}$${\displaystyle U_{p}:=u_{p}(A)=u_{p}(B)}$${\displaystyle U_{p}}$${\displaystyle A'\subset A}$${\displaystyle B'\subseteq B}$${\displaystyle u_{p}(A\setminus A'\cup B)+u_{p}(B\setminus B'\cup A)\geq u_{p}(A)+u_{p}(B)=2\cdot U_{p}}$${\displaystyle u_{p}(A\setminus A'\cup B)}$${\displaystyle u_{p}(B\setminus B'\cup A)}$${\displaystyle U_{p}}$${\displaystyle U_{p}}$${\displaystyle D(u,p)}$

NCはGSを意味し、GSはSIを意味し、^[3] SIはMXを意味するとすでに述べました。これでループが閉じ、これらすべての特性が同等であることがわかります（SNCがMXを意味するという直接的な証明^[4]もあります）。

DDF条件^[5]は価格ベクトルの変化に関連しています。商品を価格上昇率の昇順で並べると、GSエージェントの需要は下向きにのみ流れます。つまり、価格上昇率の高い商品から価格上昇率の低い商品へ、価格上昇率の高い商品から価格下落率の高い商品へ、価格下落率の低い商品から価格下落率の高い商品へ流れます。

正式には、 を2 つの価格ベクトル、 を価格上昇ベクトルとします。ある品目がの条件下で需要があり、 の条件下では需要がない場合、 の条件下では需要がなく、 の条件下では需要がある別の品目が存在します。 ${\displaystyle p,q}$${\displaystyle \Delta :=q-p}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \Delta _{y}<\Delta _{x}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

DDFがGSを意味することは容易に分かります（GSはゼロか正の値のみを持つDDFの特殊なケースです）。^[5]はMXがDDFを意味することを証明しているので、これらの条件はすべて同等です。 ${\displaystyle \Delta }$

GS 条件は価格の変化の下で維持されます。つまり、効用関数に GS がある場合、すべての価格ベクトルに対して、純効用関数にも GS があることが条件となります。これは、MC 条件または SNC 条件を通して確認するのが最も簡単です。なぜなら、これらの条件は価格に対して不変であることが明らかだからです。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle p}$${\displaystyle u-p}$

あらゆるGS評価はサブモジュラ集合関数である。^[2]

逆は必ずしも真ではない。^[6]これは右の例で示されている。効用は限界効用逓減の性質を満たすのでサブモジュラである。つまり、あるアイテムの限界効用は、空集合に追加した場合は40-66、単一のアイテムに追加した場合は9-40、アイテムのペアに追加した場合は0-5である。しかし、GSファミリーの同等の条件に違反している。

• MX は、集合 {x,y} と {z} によって違反されます。アリスが {x,y} を保持し、ボブが {z} を保持していると仮定すると、両者の共通効用は 146 になります。アリスはボブに x を渡します。その後、ボブが z を返すか何も返さないかに関係なく、両者の共通効用は 115 に低下します。
• NC は価格とでは違反しています。なぜなら、需要のあるバンドルが 2 つあるからです: {x,y} と {z} (どちらも純効用は 60)。しかし、y が最初のセットから取得された場合、2 番目のセットにはそれを置き換えるものがありません ({x} の純効用は 30、{x,z} の純効用は 59 です。どちらも需要ではありません)。${\displaystyle p_{x}=p_{y}=10}$${\displaystyle p_{z}=6}$
• 需要されるバンドルは {x,y} であるため、価格 では GS に違反しますが、 がたとえば 200 に増加すると (x はもはや需要されません)、新しい需要されるバンドルは {z} になります。 の増加により、アイテム y の需要が減少しました。${\displaystyle p_{x}=p_{y}=p_{z}=10}$${\displaystyle p_{x}}$${\displaystyle p_{x}}$
• バンドル {z} は最適ではないため、SI は prices で違反していますが、これを改善する唯一の方法は、バンドルを {x,y} に変更することであり、そのためには 2 つの項目を追加する必要があります。${\displaystyle p_{x}=p_{y}=p_{z}=10}$

サブモジュラ性は、単一のアイテム タイプが存在する特殊なケースでは GS を意味し、バンドルの値はバンドル内のアイテムの数のみに依存します。これは、SNC 特性を使用して確認するのが最も簡単で、この場合は次のように変換されます。

すべての整数および任意のに対して、次の整数が存在します。${\displaystyle k_{x},k_{y}}$${\displaystyle k_{x}'\leq k_{x}}$${\displaystyle k_{y}'\leq k_{y}}$

${\displaystyle u(k_{x})+u(k_{y})\leq u(k_{x}-k_{x}'+k_{y}')+u(k_{y}-k_{y}'+k_{x}')}$

実際、 を取ると両辺が同一になります。 を取ると不等式になります。 ${\displaystyle k_{x}'\leq k_{y}}$${\displaystyle k_{y}'=k_{x}'}$${\displaystyle k_{x}'>k_{y}}$${\displaystyle k_{y}'=k_{y}}$

${\displaystyle u(k_{x})+u(k_{y})\leq u(k_{y}+k_{x}-k_{x}')+u(k_{x}')}$

これは次と同等です:

${\displaystyle u(k_{x}'+[k_{x}-k_{x}'])-u(k_{x}')\leq u(k_{y}+[k_{x}-k_{x}'])-u(k_{y})}$

これは、 という理由から、サブモジュラ性から導かれます。 ${\displaystyle k_{x}'>k_{y}}$

• EC 2018 カンファレンスにおけるGross Substitutes チュートリアル: 概要、パート I (Renato Paes-Leme)、パート II (Inbal Talgam-Cohen)。
• 総代替可能性：アルゴリズムによる調査^[7 ]