クラークの一般化微分

数学において、クラークの一般化微分は、滑らかでない関数の微分を可能にする微分を一般化した型である。クラークの微分は1975年にフランシス・クラークによって導入された。^[1]

局所的にリプシッツ連続な関数の場合、方向におけるのクラーク一般化方向微分は、 と定義されます 。 ここで、 は上限の極限を表します。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle f^{\circ }(x,v)=\limsup _{y\rightarrow x,h\downarrow 0}{\frac {f(y+hv)-f(y)}{h}},}$$${\displaystyle \limsup}$

次に、 の上記の定義を使用すると、における のクラークの一般化勾配(クラークの部分微分とも呼ばれる) は、 のように与えられます 。ここで、 は におけるベクトルの内積を表します 。クラークの一般化勾配は集合値であることに注意してください。つまり、各 において関数の値は集合です。 ${\displaystyle f^{\circ}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle \partial ^{\circ }\!f(x):=\{\xi \in \mathbb {R} ^{n}:\langle \xi ,v\rangle \leq f^{\circ } (x,v),\forall v\in \mathbb {R} ^{n}\},}$$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle \partial ^{\circ }\!f(x)}$

より一般的には、バナッハ空間と部分集合が与えられた場合、局所リプシッツ連続関数に対して、クラークの一般化方向微分と一般化勾配が上記のように定義される。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y\subset X,}$${\displaystyle f:Y\to \mathbb {R} .}$

• サブグラディエント法— 非滑らかな関数の最適化手法のクラス。
• 部分微分

• Clarke, FH (1990 年 1 月)。最適化と非平滑解析。応用数学の古典。工業応用数学協会。doi : 10.1137/ 1.9781611971309。ISBN 978-0-89871-256-8。
• Clarke, FH; Ledyaev, Yu. S.; Stern, RJ; Wolenski, RR (1998). 非平滑解析と制御理論. 数学の大学院テキスト. 第178巻. Springer. doi :10.1007/b97650. ISBN 978-0-387-98336-3。