スペクトル要素法

偏微分方程式の数値解法は数学の一分野であり、スペクトル要素法（SEM）は、高次の区分的多項式を基底関数として用いる有限要素法（FEM）の定式化である。スペクトル要素法は、1984年の論文^{[ 1 ]}でAT Pateraによって導入された。Pateraはこの方法の開発者として知られているが、彼の研究は既存の方法の再発見であった（開発履歴を参照）。

スペクトル法は解を三角級数に展開するもので、主な利点は、得られる方法の次数が非常に高いことである。このアプローチは、三角多項式が正規直交基底であるという事実に基づいている。${\displaystyle L^{2}(\オメガ)}$[ ^{2 ]スペクトル要素法では、} 代わりに高次の区分的多項式基底関数を選択し、非常に高い精度を実現します。このような多項式は通常、不均一な間隔のノード上の直交チェビシェフ多項式または非常に高次のラグランジュ多項式です。SEM では、近似多項式の次数が増加するにつれて計算誤差が指数関数的に減少するため、FEM と比較して構造の自由度が少なくても、解が正確な解に高速に収束します。構造健全性モニタリングでは、FEM は構造の大きな欠陥を検出するために使用できますが、欠陥のサイズが小さくなると、高周波波を使用する必要があります。高周波波の伝播をシミュレートするには、必要な FEM メッシュが非常に細かくなり、計算時間が増加します。一方、SEM は自由度が少なくても高い精度を提供します。節点の不均一性は質量行列を対角化するのに役立ち、時間とメモリを節約できるだけでなく、中心差分法（CDM）を採用する際にも有用です。SEMの欠点としては、FEMの柔軟性と比較して、複雑な形状のモデリングが難しい点が挙げられます。

この方法は、モーダル区分的直交多項式基底で適用できますが、多くの場合、節点テンソル積ラグランジュ基底で実装されます。^{[ 3 ]}この方法は、節点をルジャンドル・ガウス・ロバット（LGL）点に配置し、同じ節点を使用して縮小ガウス・ロバット求積法でガラーキン法の積分を実行することで効率を高めます。この組み合わせにより、すべての節点で質量集中が発生し、内部点でコロケーション手順が発生するという簡略化が実現します。

この手法の最も一般的な応用例は、計算流体力学^{[ 3 ]}と地震波伝播のモデリング^{[ 4 ]である。}

ガラーキン法とセアの補題の古典的な解析はここでも成り立ち、もし${\displaystyle u}$は弱方程式の解であり、$uN$は近似解であり、$u ∈ H^{s+1}(\Omega )$:

$\displaystyle \|u-u_{N}\|_{H^{1}(\Omega )}\leqq C_{s}N^{-s}\|u\|_{H^{s+1}(\Omega )}}$

どこ${\displaystyle N}$これは領域の離散化（つまり要素の長さ）に関連しています。${\displaystyle C_{s}}$から独立している${\displaystyle N}$、 そして${\displaystyle s}$は区分的多項式基底の次数以下である。同様の結果は、より強いトポロジーにおける誤差の上限を求めるためにも得られる。${\displaystyle k\leq s+1}$

${\displaystyle \|u-u_{N}\|_{H^{k}(\Omega )}\leq C_{s,k}N^{k-1-s}\|u\|_{H^{s+1}(\Omega )}}$

増加していくにつれて${\displaystyle N}$また、基底関数の次数を上げることもできます。この場合、${\displaystyle u}$は解析関数です。

${\displaystyle \|u-u_{N}\|_{H^{1}(\Omega )}\leqq C\exp(-\gamma N)}$

どこ${\displaystyle \gamma }$のみに依存する${\displaystyle u}$。

ハイブリッドコロケーションガラーキン法は、いくつかの超収束特性を持っています。^{[ 5 ]} SEMのLGL形式は同等であり、^{[ 6 ]}同じ超収束特性を実現します。

この方法の最も一般的な LGL 形式の開発は、通常、Maday と Patera に帰せられています。^{[ 7 ]}しかし、それは 10 年以上前に開発されました。まず、ハイブリッド コロケーション ガラーキン法 (HCGM) ^{[ 8 ] [ 5 ]}があり、これは内部の Lobatto 点でコロケーションを適用し、要素の界面でガラーキンに似た積分手順を使用します。Young ^{[ 9 ]}によって記述された Lobatto-Galerkin 法はSEM と同一であり、HCGM はこれらの方法と同等です。^{[ 6 ]}この以前の研究はスペクトル文献では無視されています。

• G-NIまたはSEM-NIは最もよく使用されるスペクトル法です。G-NIまたはSEM-NIの場合、スペクトル法またはスペクトル要素法のガラーキン定式化が修正され、双線形形式の定義において積分の代わりにガウス・ロバット積分が使用されます。${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$そして機能的には${\displaystyle F}$それらの収束はストラングの補題の結果である。
• SEMは、ラグランジュ基底（形状）関数と、同じ節点を用いたロバット求積法による数値積分低減法を用いた、ガラーキン法に基づく有限要素法（FEM）です。
• 擬スペクトル法、直交コロケーション法、微分求積法、およびG-NIは、同じ方法の異なる名称です。これらの方法は、区分的多項式基底関数ではなく、グローバルな基底関数を使用します。区分的FEMまたはSEM基底への拡張はほぼ自明です。^{[ 6 ]}
• スペクトル要素法は、ガウス・ロバット点に関連付けられた節点基底関数によって張られるテンソル積空間を使用します。対照的に、p バージョン有限要素法は、数値安定性のためにほぼ直交するように選択された節点のない基底関数によって高次多項式の空間を張ります。すべての内部基底関数が存在する必要がないため、p バージョン有限要素法は、より少ない自由度で、特定の次数までのすべての多項式を含む空間を作成できます。^{[ 10 ]}ただし、スペクトル法のテンソル積特性により可能だったいくつかの高速化手法は、もはや利用できません。pバージョン という名前は、メッシュサイズhを小さくするのではなく、近似多項式の次数 (したがってp ) を大きくすることによって精度が向上することを意味します。
• hp有限要素法（hp-FEM ）は、hとpの細分化の利点を組み合わせて指数収束率を得る。^{[ 11 ]}