比機械的エネルギー

比機械的エネルギーは、単位質量あたりの物体の機械的エネルギーです。機械的エネルギーと同様に、保存力のみを受ける孤立したシステム内の物体の比機械的エネルギーは一定のままです。

次のように定義されます。

${\displaystyle \epsilon }$= _k + _p${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$

どこ

• ${\displaystyle \epsilon }$_kは比運動エネルギーである
• ${\displaystyle \epsilon }$_p特定の位置エネルギー

重力二体問題では、一方の物体の比機械的エネルギーは次のように与えられる: ^[1]${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon &={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu ^{2}}{h^{2}}}\left(1-e^{2}\right)=-{\frac {\mu }{2a}}\end{aligned}}}$

どこ

• ${\displaystyle v\,\!}$は物体の軌道速度であり、質量の中心を基準とします。
• ${\displaystyle r\,\!}$物体と質量の中心との間の軌道距離です。
• ${\displaystyle \mu ={G}(m_{1}+m_{2})\,\!}$天体の標準的な重力パラメータです。
• ${\displaystyle h\,\!}$は質量中心を基準とした同一物体の特定の相対角運動量である^{[2] 。他の文脈では、hは2つの物体の合計の意味で使用され、システムの}相対角運動量を縮小質量で割った値として表され、中心力問題でも同じ結果が得られる。
• ${\displaystyle e\,\!}$軌道離心率です。
• ${\displaystyle a\,\!}$天体の軌道の長半径です。

関係が使用される。^{[3] [4]}

${\displaystyle p={\frac {h^{2}}{\mu }}}$ ${\displaystyle =a(1-{e^{2}}}$）${\displaystyle =r_{p}}$${\displaystyle (1+e)}$

どこ

• ${\displaystyle p\,\!}$半大腿直腸円錐断面です。
• ${\displaystyle r_{p}\,\!}$物体の近点から質量中心までの距離です。

${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right)}}}$

どこ

• ${\displaystyle \mu \,}$は標準的な重力パラメータG(m ₁ +m ₂ )であり、一方の物体が他方の物体よりもはるかに大きい場合にはGMと表現されることが多い。
• ${\displaystyle r\,}$軌道を周回する物体と質量の中心との間の距離です。
• ${\displaystyle a\,\!}$半長径の長さです。

天体の周りを周回する衛星の特定の機械的エネルギーを計算する場合、衛星の質量は無視できると仮定します。

${\displaystyle \mu =G(M+m)\approx GM}$

ここで、 は天体の質量です。GM を使用する場合、質量の中心は M の中心にあります。方程式で物体を点質量として正確に記述できない場合は、他の計算が必要になり、質量の中心と重心の間に差が必要になることがあります。複数の惑星がある恒星系では、他の惑星に補正が適用されるため、惑星の軌道は理想とは少し異なります。 ${\displaystyle M}$