ソディのヘクスレット

幾何学において、ソディの六角形は 6 つの球(図 1 では灰色で表示)の連鎖であり、各球は両方の隣の球と接し、また 3 つの互いに接する球にも接しています。図 1 では、3 つの球は赤い内側の球と、六角形球の中心がある平面の上下の 2 つの球 (図示せず) です。さらに、六角形球は 4 番目の球 (図 1 では青い外側の球) に接していますが、この 4 番目の球は他の 3 つの球には接していません。

1937 年にフレデリックソディが発表した定理^[1]によれば、互いに接する球A、B、Cの任意の選択に対して、常に六角形が見つかる可能性がある。実際、六角形球の回転とスケーリングによって関連付けられる六角形の無限の族が存在する (図 1)。この点で、ソディの六角形は6 つの円からなるシュタイナー鎖の球面類似物である。^{[2]シュタイナー鎖と一致して、六角形球の中心は楕円上の単一平面にある。ソディの六角形は、1822 年に神奈川県で発見}された算額板に示されているように、日本でも独立して発見された。^[3]

意味

ソディのヘクストレットは、 S ₁～S ₆とラベル付けされた 6 つの球のチェーンです。各球は、 3 つの異なる点で相互に接する 3 つの球A、B、Cに接しています。(記事全体の一貫性を保つため、ヘクストレット球は常に灰色で、球AとBは緑色、球Cは青色で示します。) ヘクストレット球は、他の 3 つの球A、B、Cには接していない4 番目の固定球D (常に赤色で表示)にも接しています。

ソディの六角形の各球は、連鎖内の隣接する球とも接しています。たとえば、球S _4は、球S ₃とS ₅に接しています。連鎖は閉じており、連鎖内のすべての球には 2 つの接する隣接球があります。特に、最初の球S ₁と最後の球S _{6 は}互いに接しています。

環状六角穴

環状のソディの六角形は特殊なケースです (図 2)。このケースでは、互いに接する 3 つの球が、垂直距離 2 rで隔てられた 2 つの平行平面 (緑) に挟まれた半径 r の単一の球 (青)で構成されています。この場合、ソディの六角形は、中心の球の周りにボールベアリングのように詰め込まれ、同様に挟まれた半径rの 6 つの球で構成されています。六角形の球は、他の 3 つの球とは接していない 4 番目の球 (赤) にも接しています。

6 つの球の連鎖は、中心球の周りを回転しても接線は変化しません。このことから、このケースには無限の解の集合が存在することがわかります。球を回転させると、六角形の球はトーラス(ドーナツ型の表面) を描きます。言い換えると、トーラスはこの六角形の集合のエンベロープです。

反転による解決

互いに接する 3 つの球A、B、Cに対して六角形を求めるという一般的な問題は、反転を使用して環状の場合に簡略化できます。この幾何学的操作は、常に球を球または平面に変換します。平面は、無限半径の球と見なすことができます。球が平面に変換されるのは、球が反転の中心を通過する場合のみです。反転の利点は、接線性が維持されることです。変換前に 2 つの球が接している場合は、変換後も接したままになります。したがって、反転変換を慎重に選択すると、問題は、環状の Soddy の六角形などのより単純なケースに簡略化できます。反転は可逆です。同じ点で反転を繰り返すと、変換されたオブジェクトが元の大きさと位置に戻ります。

球Aと球 B の接点での反転により、これらの球は平行な平面に変換され、これをaおよびbと表記できます。球CはAとB の両方に接し、反転の中心を通らないため、C は両方の平面に接する別の球cに変換されます。したがって、 c は2 つの平面aとb の間に挟まれます。これが環状の Soddy の六角形です (図 2)。 6 つの球s ₁ – s _{6 を}c の周囲に詰め込み、同様に境界平面aとb の間に挟むことができます。再度反転すると、元の 3 つの球が復元され、s ₁ – s _{6 が}元の問題の六角形に変換されます。一般に、これらの六角形の球S ₁ – S ₆は半径が異なります。

6 つの球s ₁ – s _{6 を}任意の角度で平面内で回転させてから再度反転させることにより、無限の種類の六角形を生成できます。このような回転によって生成されるエンベロープは、球c を取り囲み、2 つの平面aとbの間に挟まれたトーラスです。したがって、トーラスの内半径はr、外半径は 3 rです。再度反転すると、このトーラスはデュパンサイクライドになります(図 3)。

図 3: 六角球が常に接触しながら回転するデュパンサイクライド。サイクライドは、内側の球、外側の球、および「ドーナツ」の「穴」の上下の 2 つの球に接しています。

デュパンシクリド

ソディの六角形の包絡線はデュパンのサイクライドであり、トーラスの反転である。したがって、ソディの構成は、デュパンのサイクライドが2つの異なる方法で1パラメータの球の族の包絡線であることを示しており、どちらの族の各球も同じ族の2つの球と他の族の3つの球に接している。^{[4]この結果はおそらく}シャルル・デュパンにも知られており、彼はガスパール・モンジュの指導の下で1803年の学位論文で自分の名前を冠したサイクライドを発見した。^[5]

シュタイナー鎖との関係

六角形とその球状中心の平面との交差により、 6 つの円のシュタイナー連鎖が生成されます。

放物線と双曲線ヘクスレット

$球A$ と $球B$ は同じ大きさであると仮定します。

記事の冒頭に示されているような楕円形の六角形には、六角形に接する平面が 2 つあります。楕円形の六角形が存在するためには、 $Cの半径が$ $A$ の 4 分の 1 未満でなければなりません。 $C$ の半径が $A$ の 4 分の 1 であれば、各球は途中で平面になります。ただし、反転した画像は通常の楕円形の六角形を示しており、放物線形の六角形の場合、球が平面に変わる点は、まさにその反転した画像が反転の中心を通過するときです。このような六角形の場合、六角形に接する平面は 1 つだけです。放物線形の六角形の中心の線は放物線です。

$C が$ それよりもさらに大きい場合、双曲六角形が形成され、接平面はまったくなくなります。球に $S 1から$ $S 6$ までのラベルを付けます。したがって、 $S 1 は$ 、平面 (反転像が反転の中心を通過する) になり、その後凹面が反転する (反転像が反転の中心を囲む) まで、あまり遠くまで移動できません。これで、中心の線は双曲線になります。

極限のケースは、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ がすべて同じサイズの場合です。六角形は直線になります。 $S 1 は$ $A$ 、 $B$ 、 $C の$ 間の穴を通過するときに小さくなり、それらの接線平面になるまで大きくなります。反転の中心は $S 6$ の像との接点でもあるため、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ の接線平面でもあります。 $S 1$ $が進むにつれて、その凹面は反転し、 A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $S 2$ 、 $S 6$ に接する他のすべての球を囲みます。 $S 2 は$ 上方に押し上げられ、接線平面になるまで大きくなり、 $S 6 は$ 縮小します。次に、 $S 1 は接線平面としての$ $S 6$ の以前の位置を取得します。次に、再び凹面を反転し、再び穴を通過して、別の往復を開始します。これで、中心線は退化した双曲線になり、2 本の直線に縮まりました。^[2]

算額

日本の数学者たちは、ソディより100年以上も前に同じ六角形を発見していた。彼らは円と多角形、球と多面体が接するパッキング問題を分析し、西洋の数学者が発見する前に、関連する定理を独自に発見することが多かった。彼らはこれらを算額として出版することが多かった。六角形に関する算額は、内田逸見流の入沢新太郎博厚によって作られ、 1822年5月に寒川神社に奉納された。オリジナルの算額は失われているが、1832年に内田の『古今算鑑』に記録されている。その記録から算額のレプリカが作られ、2009年8月に寒川神社の報徳博物館に奉納された。^[6]

入沢の算額は3つの問題から成ります。3番目の問題はソディの六角形に関するものです。「外接球の直径は30寸です。核球の直径はそれぞれ10寸と6寸です。球の連鎖の中の1つの球の直径は5寸です。次に残りの球の直径を求めました。答えは15寸、10寸、3.75寸、2.5寸、2 + 8/11寸です。」^[7]

彼の回答では、ボールの直径を計算する方法が書かれており、数学的表記に変換すると、次の解が得られます。外側のボールの直径と各核ボールの比がa ₁、a ₂であり、チェーンボールの直径の比がc ₁、...、c ₆である場合、c ₂、...、 c _6をa ₁、 a ₂、 c ₁で表します。

K={\sqrt {3\left(a_{1}a_{2}+a_{2}c_{1}+c_{1}a_{1}-\left({\frac {a_{1}+a_{2}+c_{1}+1}{2}}\right)^{2}\right)}}

それから、

{\begin{aligned}c_{2}&=(a_{1}+a_{2}+c_{1}-1)/2-K\\c_{3}&=(3a_{1}+3a_{2}-c_{1}-3)/2-K\\c_{4}&=2a_{1}+2a_{2}-c_{1}-2\\c_{5}&=(3a_{1}+3a_{2}-c_{1}-3)/2+K\\c_{6}&=(a_{1}+a_{2}+c_{1}-1)/2+K.\end{aligned}}

。

すると、c ₁ + c ₄ = c ₂ + c ₅ = c ₃ + c ₆となります。

r ₁、...、r _{6 が}6個のボールの直径である場合、次の式が得られます。

{\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{4}}}={\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{5}}}={\frac {1}{r_{3}}}+{\frac {1}{r_{6}}}.

参照

注記

^ ソディ 1937
^ オグルヴィ 1990
^ ロスマン 1998
^ コクセター 1952
^ オコナー＆ロバートソン 2000
^ 山路・西田 2009, p. 443.
^ 天野1992年、21-24頁。

参考文献

天野博 (1992) 『神奈川県算学集』天野博。
コクセター、HSM (1952)、「球の連結リング」、Scripta Mathematica、18 : 113–121。
深川英俊、トニー・ロスマン（2008年）『神聖な数学：日本の寺院の幾何学』プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-12745-3
オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F. (2000)、「ピエール・シャルル・フランソワ・デュパン」、MacTutor 数学史アーカイブ。
オグルヴィ、CS（1990）、幾何学の遠足、ドーバー、ISBN 0-486-26530-7。
ソディ、フレデリック (1937)、「整数のボウルとヘクスレット」、ネイチャー、139 (3506)、ロンドン: 77–79、doi : 10.1038/139077a0。
ロスマン、T (1998)、「日本の寺院の幾何学」、サイエンティフィック・アメリカン、278 :85–91、doi :10.1038/scientificamerican0598-84。
山路克則；西田智美編(2009) 『和算の辞典』朝倉書店、ISBN 978-4-254-11122-4。

外部リンク

Weisstein、Eric W.「Hexlet」。MathWorld。
B. アランソン。「ソディのヘクスレットのアニメーション」。
Wayback Machineの Japanese Temple Geometry (2019 年 3 月 19 日アーカイブ) – 算数問題 0 のアニメーション 0 は、球 A と球 B の半径が等しく、球 A、B、C の中心が直線上にある場合を示しています。アニメーション 1 は、球 A と球 B の半径が等しく、球 A、B、C の中心が直線上にない場合を示しています。アニメーション 2 は、球 A と球 B の半径が等しくない場合を示しています。アニメーション 3 は、球 A、球 B、C の中心が直線上にあり、球 A と球 B の半径が可変である場合を示しています。
寒川神社の報徳館にある算額のレプリカ（Wayback Machineより）（2016 年 8 月 26 日アーカイブ） – 3 番目の問題は、ソディの六角形に関連しています。
古今参観（1832年）のページ - 京都大学数学教室
古今山鑑（1832年）のページ – 左ページはソディのヘクスレットに関するものです。

[1] ソディ 1937

[ogilvy-2] オグルヴィ 1990

[3] ロスマン 1998

[4] コクセター 1952

[5] オコナー＆ロバートソン 2000

[6] 山路・西田 2009, p. 443.

[7] 天野1992年、21-24頁。