サイモンの問題

数学において、サイモン問題（またはサイモンの問題）は、アメリカの数理物理学者バリー・サイモンが2000年に提起した15の質問のシリーズである。^{[ 1 ] [ 2 ]}デイヴィッド・ヒルベルトの有名なリストなど、他の数学の問題と未解決の予想のコレクションに触発されたサイモン問題は、量子演算子に関するものである。^{[ 3 ]} 8つの問題はシュレーディンガー演算子の異常なスペクトル挙動に関係し、5つはクーロンポテンシャルを組み込んだ演算子に関するものである。^{[ 1 ] [ 4 ]}

2014年、アルトゥール・アビラは、 3つのサイモン問題の解決を含む業績でフィールズ賞を受賞した。 ^{[ 5 ] [ 6 ]}これらの問題の中には、ある特定の抽象量子系のエネルギー準位の集合が実際にカントール集合であることを証明する問題があり、これはマーク・カッツが解決者に提供した報酬にちなんで「テン・マルティーニ問題」として知られる難題であった。^{[ 6 ] [ 7 ]}

2000年のリストは、サイモンが1984年に提起した同様の一連の問題を洗練させたものであった。^{[ 8 ] [ 9 ]}

「クーロンエネルギー」問題の背景定義（${\displaystyle N}$非相対論的粒子（電子）$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$スピン付き${\displaystyle 1/2}$そして電荷を持つ無限に重い原子核${\displaystyle Z}$（クーロン相互作用を含む）

• ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{f}^{(N)}}$は関数の空間である${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{3N};\mathbb {C} ^{2N})}$交換の下で非対称である${\displaystyle N}$スピンと空間座標。^{[ 1 ]}同様に、部分空間は${\displaystyle (L^{2}(\mathbb {R} ^{3})\otimes \mathbb {C} ^{2})^{\otimes N}}$これは、交換の下で非対称である。${\displaystyle N}$要因。
• ハミルトニアンは​${\displaystyle H(N,Z):=\sum _{i=1}^{N}(-\Delta _{i}-{\frac {Z}{|x_{i}|}})+\sum _{i<j}{\frac {1}{|x_{i}-x_{j}|}}}$。 ここ${\displaystyle x_{i}\in \mathbb {R} ^{3}}$は、 ${\displaystyle i}$第 1 番目の粒子、$\displaystyle \Delta _{i}}$は座標に関するラプラシアンです${\displaystyle x_{i}}$ハミルトニアンがスピンセクターの状態に明示的に依存していなくても、スピンの存在は、全波動関数に対する非対称条件によって影響を及ぼす。
• 定義${\displaystyle E(N,Z):=\min _{{\mathcal {H}}_{f}}H(N,Z)}$つまり、​${\displaystyle (N,Z)}$システム。
• 定義${\displaystyle N_{0}(Z)}$最小値となる${\displaystyle N}$そのため${\displaystyle E(N+j,Z)=E(N,Z)}$すべての正の整数に対して${\displaystyle j}$;そのような数は常に存在し、常に の間にあることが知られています${\displaystyle Z}$そして${\displaystyle 2Z}$含む。^{[ 1 ]}

サイモンは1984年に以下の問題を列挙した。^{[ 8 ]}

2000年にサイモンは、彼が挙げた問題のうち5つ（1B、9A、10B、10C、10D、12D）が解決されたと主張した。^{[ 1 ]}

2000年にリストされたサイモン問題（元の分類付き）は次のとおりです。^{[ 1 ] [ 22 ]}

• ほぼマチュー演算子
• リープ＝ティリングの不等式

• 「サイモンの問題」 . MathWorld . 2018年6月13日取得。