ユニークさの集合

数学において、一意性集合は、必ずしもフーリエ級数ではない三角関数展開に関連する概念であり、その研究は調和解析の比較的純粋な分野である。

円の部分集合Eは一意性集合、または三角関数展開が

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }c(n)e^{int}}$

はゼロに収束する。 ${\displaystyle t\notin E}$

すべてのnに対してc ( n )=0です。

それ以外の場合、E は重複度集合（M集合またはメンショフ集合と呼ばれることもある）である。類似の定義は実数直線および高次元にも適用される。後者の場合、例えば「球体上の和に関する一意性の集合」のように、和の順序を指定しなければならない。

定義の重要性を理解するには、フーリエの考え方から抜け出すことが重要です。フーリエ解析では、係数c ( n )は関数を積分することによって得られるため、一意性の問題はありません。したがって、フーリエ解析では、動作の順序は次のようになります。

• 関数fから始めます。
• フーリエ係数を計算するには

${\displaystyle c(n)=\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-int}\,dt}$

• 質問: 合計はfに収束しますか? どのような意味でですか?

一意性理論では順序が異なります。

• 何らかの意味で合計が収束する係数c ( n )から始める
• 質問: これは関数のフーリエ係数であることを意味しますか?

実際には、通常は（上記の定義のように）合計がゼロに収束すると仮定し、それがすべてのc ( n ) がゼロになることを意味するかどうかを尋ねることは十分に興味深いことです。解析学ではよくあることですが、最も興味深い質問は点ごとの収束について議論するときに生じます。したがって、どこでも収束することもほとんどどこでも収束することも満足のいく答えを与えない ことが明らかになったときに生じた上記の定義です。

空集合は一意性の集合である。これは単に、三角級数がどこでもゼロに収束する場合、それは自明であることを意味する。これはリーマンによって、二重形式積分という繊細な手法を用いて証明され、テプリッツ演算子を使用して、結果として得られる和がある種の一般化された二次導関数を持つことが示された。後に、ゲオルク・カントールはリーマンの手法を一般化して、任意の可算な閉集合は一意性の集合であることを示し、この発見が彼を集合論の発展へと導いた。集合論のもう一人の革新者であるポール・コーエンは、一意性の集合に関する論文でキャリアをスタートさせた。

ルベーグ積分の理論が発展するにつれ、測度がゼロの集合はどれも一意性の集合であると想定されるようになりました。1 次元では、フーリエ級数の局所性原理により、正の測度がゼロの集合はどれも重複性の集合であることが示されます (より高次元では、これはまだ未解決の問題です)。これは、1916 年に測度がゼロの重複性の集合の例を構築した Dimitrii E. Menshovによって反証されました。

一意性の集合の平行移動と拡大は一意性の集合です。一意性の閉集合の可算族の和集合は一意性の集合です。和集合が一意性の集合ではない 2 つの一意性の集合の例がありますが、この例の集合はBorel ではありません。一意性の任意の 2 つの Borel 集合の和集合が一意性の集合であるかどうかは未解決の問題です。

閉集合が一意性を持つ集合であるとは、その集合上でサポートされている分布 S が存在する場合（つまり、特にそれが特異でなければならない場合）であり、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\widehat {S}}(n)=0}$

(ここにはフーリエ係数があります)。一意性集合の初期の例では、問題の分布は実際には測度でした。しかし、1954 年にIlya Piatetski-Shapiro は、フーリエ係数がゼロに近づく測度をサポートしない一意性集合の例を構築しました。言い換えると、分布の一般化が必要です。 ${\displaystyle {\hat {S}}(n)}$

一意性の集合が複雑な構造を持つという最初の証拠は、カントールのような集合の研究から得られました。ラファエル・サレムとジグムントは、切断比 ξ を持つカントールのような集合が一意性の集合となるのは、1/ξ がピゾ数である場合、つまり、その共役数(もしあれば) がすべて 1 より小さいという性質を持つ代数的整数である場合に限ることを示しました。これは、一意性の集合であるという性質が算術的性質と関係があり、単にサイズの概念ではないことを初めて実証したものです (ニーナ・バリは数年前に ξ が有理数であることを証明していました。つまり、カントールのような集合が一意性の集合となるのは、1/ξ が整数である場合に限るということです)。

1950 年代以降^{[明確化が必要]}、この複雑さを形式化するための研究が盛んに行われてきました。コンパクト セットの空間内のセットとして考えられる一意性セットのファミリ (ハウスドルフ距離を参照) は、解析階層内に配置されました。この研究で重要な役割を果たしているのが、ピアテツキー-シャピロによって最初に定義された1 から ω _1までの順序数であるセットのインデックスです。今日では、一意性セットの研究は、調和解析と 同じくらい記述的集合論の分野です。

• ポール・J・コーエン（1958）「三角級数の一意性理論の話題」
• Alexander S. Kechrisと Alain Louveau (1987)、「記述的集合論と一意性集合の構造(ロンドン数学会講演シリーズ 128) 」、ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-35811-6 。
• Jean-Pierre KahaneとRaphaël Salem (1994)、アンサンブル パフェとシリーズ三角法、ヘルマン、パリ。ISBN 2-7056-6193-X (フランス語)。