超比

数学において、超特異比は、超特異数またはエピモリック比とも呼ばれ、連続する 2 つの整数の比です。

より具体的には、比率は次の形式になります。

${\displaystyle {\frac {n+1}{n}}=1+{\frac {1}{n}}}$ ここでnは正の整数です。

したがって：

超特殊数とは、大きな数に、比較対象となるより小さな数と、その数の一部が含まれている数です。たとえば、3 と 2 を比較すると、2 が含まれており、さらに 3 には 2 の半分である 1 がもう 1 つあります。3 と 4 を比較すると、それぞれ 3 が含まれており、4 には 3 の 3 分の 1 である 1 がもう 1 つあります。また、5 と 4 を比較すると、それぞれに 4 が含まれ、5 には 4 の 4 分の 1 である 1 がもう 1 つあります。などとなります。

— スループ（2006）^[1]

超特異比はニコマコスの著書『算術入門』で述べられている。これらの数は現代の純粋数学にも応用されているが、超特異比をこの名前で呼ぶ研究分野として最も多いのは音楽理論^[2]と数学史^[3]である。

レオンハルト・オイラーが観察したように、超分数（単位分数に1以外の整数を加えた数である乗超分数比も含む）は、単純な連分数が2項で終わる有理数とまったく同じである。連分数が1項で終わる数は整数であり、連分数が3項以上になる残りの数は超分数である。^[4]

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${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdots ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {16}{15}}\cdot {\frac {36}{35}}\cdots =2\cdot {\frac {8}{9}}\cdot {\frac {24}{25}}\cdot {\frac {48}{49}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}}$

無理数 πは、超特異比とその逆数の積としていくつかの方法で表されます。また、πのライプニッツの公式を、各項が分子として素数を持ち、分母として最も近い4の倍数を持つ超特異比のオイラー積に変換することも可能である。 ^[5]

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdot {\frac {17}{16}}\cdots }$

グラフ理論では、超特殊数（あるいはその逆数、1/2、2/3、3/4など）は、エルデシュ・ストーンの定理によって、無限グラフの上密度の可能な値として生じます。 ^[6]

ハーモニーの研究では、多くの音程を超特別比として表現することができます（たとえば、オクターブ等価性により、第9倍音9/1は超特別比9/8として表現できます）。実際、比率が超特別であるかどうかは、プトレマイオスの音楽ハーモニーの定式化において最も重要な基準でした。^[7]この応用では、シュテルマーの定理を使用して、与えられた限界に対するすべての可能な超特別数をリストアップすることができます。つまり、分子と分母の両方が滑らかな数であるこのタイプのすべての比率です。^[2]

これらの比率は視覚的な調和においても重要です。 デジタル写真では4:3と3:2のアスペクト比が一般的であり、^[8]中判写真と大判写真ではそれぞれ7:6と5:4のアスペクト比が使用されています。^[9]

隣接する正の整数のペアはすべて超特異比を表し、同様に、調和音列 (音楽)の隣接する倍音のペアはすべて超特異比を表します。多くの個々の超特異比には、歴史数学または音楽理論のいずれかで独自の名前が付けられています。これには次のものが含まれます。

これらの用語の語源は、ラテン語のsesqui-「1.5」 ( semis「半分」と-que「そして」から) で、3:2 の比率を表します。

• David Canright による、ペンタトニック スケールの構築に適用される超特殊数。
• De Institutione Arithmetica, liber II by Anicius Manlius Severinus Boethius