セールの多重度予想

数学において、ジャン＝ピエール・セールにちなんで名付けられたセールの多重度予想は、代数幾何学の必要性から生まれた可換代数の問題である。 1949年頃のアンドレ・ヴェイユによる交差数の最初の定義以来、より柔軟で計算可能な理論を提供するにはどうすればよいかという問題があり、セールはこれに取り組もうとした。1958年、セールは、多重度に関する古典的な代数幾何学の考え方は、ホモロジー代数の概念を使用して一般化できることに気付いた。

R をネーター的、可換的、正則な局所環とし、PとQ をRの素イデアルとする。セールはR / PとR / Qの交差重複度をTor 関数によって定義した。以下では、はモジュールの長さを表し、この記事の残りの部分では次のように仮定する。 ${\displaystyle \ell_{R}(M)}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \ell _{R}((R/P)\otimes _{R}(R/Q))<\infty .}$

セールは、 R / PとR / Qの交差多重度をオイラー特性のような公式で定義しました。

${\displaystyle \chi (R/P,R/Q):=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\ell _{R}(\operatorname {Tor} _{i}^{R}(R/P,R/Q)).}$

この定義が古典的な交差多重性の適切な一般化を提供するには、特定の古典的な関係が引き続き保持されることが望まれます。セールは、多重性予想となった 4 つの重要な特性を特定しましたが、これは一般的なケースでは証明が困難です。(これらの予想のステートメントは、R / PおよびR / Q を任意の有限生成モジュールに置き換えるように一般化できます。詳細については、 セールの局所代数を参照してください。)

${\displaystyle \dim(R/P)+\dim(R/Q)\leq \dim(R)}$

セールはこれをすべての正則局所環について証明した。セールは、Rが等特性または混合特性かつ非分岐 (この場合、剰余体の特性が局所環の最大イデアルの平方の元ではないことを意味する) である場合に次の 3 つの特性を確立し、一般にそれが成り立つと推測した。

${\displaystyle \chi (R/P,R/Q)\geq 0}$

これは1995年にオフェル・ガッバーによって証明されました。

もし

${\displaystyle \dim(R/P)+\dim(R/Q)<\dim(R)\ }$

それから

${\displaystyle \chi (R/P,R/Q)=0.\ }$

これは 1985 年に Paul C. Roberts によって証明され、その後Henri GilletとChristophe Souléによって独立して証明されました。

もし

${\displaystyle \dim(R/P)+\dim(R/Q)=\dim(R)\ }$

それから

${\displaystyle \chi (R/P,R/Q)>0.\ }$

これはまだ未解決です。

• 可換代数におけるホモロジー予想

• セール、ジャン＝ピエール（2000）、局所代数、シュプリンガー数学モノグラフ、ベルリン：シュプリンガー、pp. 106–110、doi：10.1007 / 978-3-662-04203-8、ISBN 978-3-642-08590-1、MR  1771925
• ロバーツ、ポール (1985)、「完全複体の交差多重度の消失」、アメリカ数学会報、13 (2)、Bull. Amer. Math. Soc. 13、no. 2: 127–130、doi : 10.1090/S0273-0979-1985-15394-7、MR  0799793
• ロバーツ、ポール (1998)、セールの多重性予想に関する最近の発展: ガッバーの非負性予想の証明、L' Enseign. Math. (2) 44、第3-4号、pp. 305–324、MR  1659224
• Berthelot、Pierre (1997)、Altérations de variétés algébriques (d'après AJ de Jong)、Séminaire Bourbaki、Vol. 1995/96、アステリスク No. 241、273–311 ページ、MR  1472543
• Gillet, H.; Soulé, C. (1987)、「アダムス演算を用いた交差理論」、Inventionses Mathematicae、90 (2)、Invent. Math. 90、no. 2: 243–277、Bibcode :1987InMat..90..243G、doi :10.1007/BF01388705、MR  0910201、S2CID  120635826
• Gabber, O. (1995)、セール交差多重度の非負性、Exposé à L'IHES