散乱長

量子力学における散乱長は低エネルギー散乱を記述する。$1/r^3$として$\displaystyle r\to \infty }$これは、以下の低エネルギー限界として定義される。

${\displaystyle \lim _{k\to 0}k\cot \delta (k)=-{\frac {1}{a}}\;,}$

どこ${\displaystyle a}$は散乱長であり、${\displaystyle k}$は波数であり、${\displaystyle \delta (k)}$は、出射球面波の位相シフトです。弾性断面積、$\displaystyle \sigma _{e}}$低エネルギー領域では、散乱長のみによって決定される。

${\displaystyle \lim _{k\to 0}\sigma _{e}=4\pi a^{2}\;.}$

低速粒子が短距離散乱体（例えば固体中の不純物や重い粒子）から散乱する場合、ド・ブロイ波長が非常に長いため、物体の構造を分解することはできない。その場合、正確なポテンシャルが何であるかは重要ではないはずだという考えである。${\displaystyle V(r)}$散乱は起こるが、それはポテンシャルが長い長さスケールでどのように見えるかだけである。この問題を正式に解決する方法は、部分波展開（古典電磁気学の多重極展開にいくらか類似している）を行うことであり、これは出射波の角運動量成分で展開する。非常に低いエネルギーでは、入射粒子は構造を見ないため、最低次では、角運動量量子数l =0 の原子軌道に類似して s 波と呼ばれる球面出射波のみが存在する。より高いエネルギーでは、p 波と d 波 ( l =1,2) の散乱なども考慮する必要がある。

低エネルギー特性を少数のパラメータと対称性で記述するという考え方は非常に強力であり、繰り込みの概念の根底にもある。

散乱長の概念は、よりゆっくりと減衰するポテンシャルにも拡張できます。$1/r^3$として$\displaystyle r\to \infty }$陽子-陽子散乱に関連する有名な例として、クーロン補正散乱長が挙げられる。

s波（すなわち角運動量）を計算する方法の例として${\displaystyle l=0}$与えられたポテンシャルに対する散乱長を調べるために、半径の無限に反発する球状ポテンシャル井戸を考察する。$\displaystyle r_0$3次元の場合。動径シュレーディンガー方程式（${\displaystyle l=0}$井戸の外側では、自由粒子の場合とまったく同じです。

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}u''(r)=Eu(r),}$

ハードコアポテンシャルでは波動関数が${\displaystyle u(r)}$消える$\displaystyle r=r_{0}}$、$u(r_0)=0$解決策はすぐに見つかる。

${\displaystyle u(r)=A\sin(kr+\delta _{s})}$。

ここ${\displaystyle k={\sqrt {2mE}}/\hbar }$そして$\displaystyle \delta _{s}=-k\cdot r_{0}}$はs波の位相シフト（入射波と出射波の位相差）であり、境界条件によって決定される。$u(r_0)=0$;${\displaystyle A}$は任意の正規化定数です。

一般的に${\displaystyle \delta _{s}(k)\approx -k\cdot a_{s}+O(k^{2})}$小規模向け${\displaystyle k}$（すなわち低エネルギー散乱）。パラメータ${\displaystyle a_{s}}$次元の長さは散乱長として定義される。したがって、我々のポテンシャルでは次のようになる。${\displaystyle a=r_{0}}$つまり、硬球の散乱長は半径に等しい。（あるいは、s波散乱長を持つ任意のポテンシャルは${\displaystyle a_{s}}$半径の硬球と同じ低エネルギー散乱特性を持つ${\displaystyle a_{s}}$散乱実験で測定可能な物理的観測量と散乱長を関連付けるには、断面積を計算する必要がある。${\displaystyle \sigma }$散乱理論では、漸近波動関数は次のように記述されます（原点に有限距離の散乱体があり、入射平面波が に沿ってあると仮定します）。${\displaystyle z}$-軸）：

${\displaystyle \psi (r,\theta )=e^{ikz}+f(\theta ){\frac {e^{ikr}}{r}}}$

どこ${\displaystyle f}$は散乱振幅である。量子力学の確率解釈によれば、微分断面積は次のように与えられる。$\displaystyle d\sigma /d\Omega =|f(\theta )|^{2}}$（単位時間あたりにその方向に散乱する確率）${\displaystyle \mathbf {k} }$) s波散乱のみを考慮すると、微分断面積は角度に依存しない。${\displaystyle \theta }$、そして全散乱断面積はちょうど$\displaystyle \sigma =4\pi |f|^{2}}$波動関数のs波部分${\displaystyle \psi (r,\theta )}$平面波を球面波とルジャンドル多項式で標準的に展開することにより投影される。${\displaystyle P_{l}(\cos \theta )}$:

${\displaystyle e^{ikz}\approx {\frac {1}{2ikr}}\sum _{l=0}^{\infty }(2l+1)P_{l}(\cos \theta )\left[(-1)^{l+1}e^{-ikr}+e^{ikr}\right]}$

マッチングにより${\displaystyle l=0}$コンポーネント${\displaystyle \psi (r,\theta )}$S波解へ${\displaystyle \psi (r)=A\sin(kr+\delta _{s})/r}$（正規化${\displaystyle A}$入射波が${\displaystyle e^{ikz}}$（1を前因子とする）となる。

${\displaystyle f={\frac {1}{2ik}}(e^{2i\delta _{s}}-1)\approx \delta _{s}/k\approx -a_{s}}$

これにより、以下が得られます。

${\displaystyle \sigma ={\frac {4\pi }{k^{2}}}\sin ^{2}\delta _{s}=4\pi a_{s}^{2}}$

• フェルミ擬ポテンシャル
• 中性子散乱長

• ランダウ、LD; リフシッツ、EM (2003).量子力学：非相対論的理論. アムステルダム：バターワース・ハイネマン. ISBN 0-7506-3539-8。