ルッペイナー幾何学

ラッパイナー幾何学は、リーマン幾何学の言語を使用して熱力学を研究する熱力学幾何学（情報幾何学の一種）です。ジョージ・ラッパイナーが1979年に提唱しました。彼は、熱力学系はリーマン幾何学で表現でき、統計的特性はそのモデルから導き出せると 主張しました。

この幾何学的モデルは、平衡熱力学の公理に変動理論を取り入れることに基づいています。つまり、2次元表面（多様体）上の点で表すことができる平衡状態が存在し、これらの平衡状態間の距離はそれらの間の変動に関連しています。この概念は確率と関連しており、つまり、状態間の変動の可能性が低いほど、それらは離れています。これは、2つの平衡状態間の距離式（線要素）の 計量テンソルg _{ijを考慮するとわかります。}

${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}^{R}dx^{i}dx^{j},\,}$

ここで係数行列g _ijは対称計量テンソルであり、ルッペイナー計量と呼ばれ、エントロピー関数 の負のヘッセ行列として定義される。

${\displaystyle g_{ij}^{R}=-\partial _{i}\partial _{j}S(U,N^{a})}$

ここで、Uはシステムの内部エネルギー(質量)であり、 N ^{a は}システムの広がりパラメータを指します。数学的には、ルッペイナー幾何学は情報幾何学の 1 つの特定のタイプであり、数理統計で使用されるフィッシャー-ラオ計量に似ています。

ルッペイナー計量は、より一般的なフィッシャー情報計量の熱力学的極限（大規模システムの極限）として理解することができます。^[1]小規模システム（変動が大きいシステム）の場合、エントロピーの2次導関数が非負であることが保証されないため、ルッペイナー計量は存在しない可能性があります。

ルッペイナー計量は、ワインホールド計量と共形関係にあり、

${\displaystyle ds_{R}^{2}={\frac {1}{T}}ds_{W}^{2}\,}$

ここで、T は対象システムの温度です。共形関係の証明は、熱力学の第一法則( dU = TdS + ...) を微分形式でいくつかの操作で記述すると簡単に行えます。ヴァインホールド幾何学も熱力学幾何学と見なされます。これは、エントロピーやその他の拡張パラメータに関する内部エネルギーのヘッセ行列として定義されます。

${\displaystyle g_{ij}^{W}=\partial _{i}\partial _{j}U(S,N^{a})}$

ルッペイナー計量は、理想気体などの非相互作用的な統計力学を持つシステムでは平坦であることが長い間観察されてきました。曲率特異点は臨界動作を示します。さらに、これはファンデルワールス気体を含む多くの統計システムに適用されてきました。最近では、このアプローチを使用してエニオン気体が研究されています。

この幾何学はブラックホールの熱力学に適用され、物理的に関連するいくつかの結果が得られました。物理的に最も重要なケースは、高次元のカーブラックホールの場合で、従来の方法で以前に発見されたように、曲率特異点が熱力学的不安定性の信号となります。

ブラックホールのエントロピーは、よく知られているベッケンシュタイン・ホーキングの公式で与えられる。

${\displaystyle S={\frac {k_{\text{B}}c^{3}A}{4G\hbar }}}$

ここで、はボルツマン定数、は光速、はニュートンの万有引力定数、はブラックホールの事象の地平線の面積です。ブラックホールのエントロピーのルッパイナー幾何学を計算することは、原理的には簡単ですが、エントロピーは拡張パラメータで記述されることが重要です。 ${\displaystyle k_{\text{B}}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle S=S(M,N^{a})}$

ここで、はブラックホールのADM質量、 N ^{a は}保存電荷で、a は1からnまでの範囲です。 計量のシグネチャは、ブラックホールの比熱の符号を反映しています。ライスナー・ノルドストロームブラックホールの場合、ルッパイナー計量は、負の熱容量に対応するローレンツシグネチャを持ちますが、 BTZブラックホールの場合はユークリッドシグネチャを持ちます。この計算は、シュワルツシルトブラックホールでは実行できません。なぜなら、そのエントロピーは ${\displaystyle M}$

${\displaystyle S=S(M)}$

これにより、メトリックが退化します。

• Ruppeiner, George (1995). 「熱力学的変動理論におけるリーマン幾何学」.現代物理学レビュー. 67 (3): 605–659. Bibcode :1995RvMP...67..605R. doi :10.1103/RevModPhys.67.605.。
• Åman, John E .; Bengtsson, Ingemar; Pidokrajt, Narit; Ward, John (2008). 「ブラックホールの熱力学的形状」。第 11 回マルセル グロスマン会議。pp. 1511–1513。doi :10.1142/9789812834300_0182。