質量-バネ-ダンパーモデル

質量-バネ-ダンパーモデルは、物体全体に分散され、バネとダンパーのネットワークを介して相互接続された離散的な質量ノードで構成されています。このモデルは、非線形性や粘弾性などの複雑な材料特性を持つ物体のモデリングに適しています。MATLABなどのパッケージを使用して、このようなモデルのシミュレーションを実行できます。 ^[1]これらのシステムは、エンジニアリングシミュレーションだけでなく、コンピュータグラフィックスやコンピュータアニメーションにも応用されています。^[2]

このモデルの運動方程式の導出は、通常、質量にかかる力（加えられた外力を含む）を合計することによって行われます。 ${\displaystyle F_{\text{external}})}$

${\displaystyle \Sigma F=-kx-c{\dot {x}}+F_{\text{external}}=m{\ddot {x}}}$

この式を変形すると、標準形を導くことができます。

${\displaystyle {\ddot {x}}+2\zeta \omega _{n}{\dot {x}}+\omega _{n}^{2}x=u}$どこ${\displaystyle \omega _{n}={\sqrt {\frac {k}{m}}};\quad \zeta ={\frac {c}{2m\omega _{n}}};\quad u={\frac {F_{\text{external}}}{m}}}$

${\displaystyle \omega _{n}}$は減衰されていない固有振動数で、は減衰比です。質量バネシステムの同次方程式は次のようになります。 ${\displaystyle \zeta}$

${\displaystyle {\ddot {x}}+2\zeta \omega _{n}{\dot {x}}+\omega _{n}^{2}x=0}$

解決策は次のとおりです:

${\displaystyle x=Ae^{-\omega _{n}t\left(\zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)}+Be^{-\omega _{n}t\left(\zeta -{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)}}$

が負の場合、平方根は虚数となり、解は振動成分を持つことになります。^[3]${\displaystyle \zeta <1}$${\displaystyle \zeta^{2}-1}$

• 数値的手法
• ソフトボディダイナミクス#バネ/質量モデル
• 有限要素解析