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論理学において、リシャールのパラドックスは、集合論と自然言語の意味論的な矛盾であり、 1905年にフランスの数学者ジュール・リシャールによって初めて記述された。このパラドックスは通常、数学とメタ数学を注意深く区別することの重要性を説明するために用いられる。
クルト・ゲーデルは、『プリンキピア・マテマティカおよび関連体系における形式的に決定不可能な命題について I 』の序論において、リチャードのアンチノミーを、自身の構文的不完全性の結果の意味論的類似物として具体的に挙げている。このパラドックスは、述語論理学の発展を促す動機の一つでもあった。
リチャード（1905）によるこのパラドックスの元の記述は、カントールの実数集合の非可算性に関する対角線論法と密接に関連している。
このパラドックスは、自然言語の特定の表現は実数を明確に定義する一方で、他の表現はそうではないという観察から始まる。例えば、「整数部分が 17 であり、n が偶数の場合は小数点以下n桁目が 0 、 nが奇数の場合は 1 である実数」は、実数 17.1010101... = 1693/99 を定義するが、「イングランドの首都」というフレーズは実数を定義しず、「60 文字未満で定義できない最小の正の整数」というフレーズも実数を定義しない（ベリーのパラドックスを参照）。
実数を一意に定義する英語のフレーズのリストは無限に存在します（各フレーズは有限の長さですが、リスト自体は無限の長さです）。まず、このフレーズのリストを長さの昇順に並べ、次に、長さが同じフレーズをすべて辞書順に並べ、順序が標準的になるようにします。これにより、対応する実数の無限のリストr 1、r 2、 ... が得られます。ここで、新しい実数r を次のように定義します。r の整数部分は0 であり、r nのn番目の小数点が1 でない場合、r の n 番目の小数点が 1 であり、 r nのn番目の小数点が 1 の場合、rのn番目の小数点が 2 です。
前述の段落は、実数r を明確に定義する英語の表現です。したがって、r はr nのいずれかでなければなりません。しかし、r はr nのいずれとも等しくならないように構成されています（つまり、rは定義不可能な数です）。これが逆説的な矛盾です。
リチャードのパラドックスは、到底成り立たない矛盾を生み出すため、その矛盾を分析して誤りを見つけ出す必要がある。
提案された新しい実数rの定義には明らかに有限個の文字列が含まれているため、一見すると実数の定義のように見える。しかし、この定義は英語での定義可能性そのものに言及している。どの英語表現が実際に実数を定義し、どの英語表現が定義しないかを判別できるとすれば、パラドックスは成立するだろう。したがって、リチャードのパラドックスの解決策は、どの英語の文が実数の定義であるかを曖昧さなく正確に判別する方法は存在しないということである（Good 1966 を参照）。つまり、任意の英語表現が実数の定義であるかどうかを有限語で説明する方法は存在しない。これは驚くべきことではない。なぜなら、この判別ができれば、停止問題を解決し、英語で記述できる他の非アルゴリズム的な計算も実行できることになるからである。
同様の現象は、ツェルメロ・フレンケル集合論（ZFC）のように、独自の構文を参照できる形式化された理論でも発生します。式 φ( x ) が実数を定義するのは、 φ( r ) を満たす実数rがちょうど 1 つ存在する場合であるとします。この場合、ZFC によって、実数を定義するすべての式（ゲーデル数）の集合を定義することはできません。なぜなら、この集合を定義できたとすれば、上記のリチャードのパラドックスの概要に従って、この集合を対角化して実数の新しい定義を生成することが可能になるからです。実数を定義する式の集合は、集合Fとして存在できることに注意してください。ZFC の制限は、他の集合を参照せずにFを定義する式が存在しないことです。これはタルスキの定義不可能性定理に関連しています。
ZFCの例は、形式体系のメタ数学と形式体系自体の命題を区別することの重要性を示している。ZFCの式φが唯一の実数を定義するという性質D(φ)は、ZFC自体では表現できないが、 ZFCを形式化するために使用されるメタ理論の一部として考慮されなければならない。この観点からすると、リチャーズのパラドックスは、メタ理論の構築（元の体系で実数を定義するすべての命題の列挙）を、あたかも元の体系で実行できるかのように扱ったことから生じる。
このパラドックスの変形では、実数の代わりに整数を用いますが、元のパラドックスの自己言及的な性質は維持されます。整数の算術的性質が定義されている言語（英語など）を考えてみましょう。たとえば、「最初の自然数」は、最初の自然数である1であるという性質を定義し、「ちょうど2つの自然数で割り切れる」は、素数であるという性質を定義します（すべての演繹体系はいくつかの公理から始めなければならないため、明示的に定義できない性質があることは明らかです。しかし、この議論の目的のために、「整数は2つの整数の和である」などのフレーズは既に理解されているものとします）。このような定義のリスト自体は無限ですが、個々の定義は有限個の単語で構成され、したがって有限個の文字で構成されていることは容易にわかります。これが正しいので、定義をまず長さで、次に辞書順で順序付けすることができます。
ここで、各定義を自然数の集合にマッピングすると、文字数とアルファベット順が最小の定義が 1 に対応し、次の定義が 2 に対応する、といった具合になります。各定義は一意の整数に関連付けられているため、定義に割り当てられた整数がその定義に合致することがあります。たとえば、「1 とそれ自身以外の整数で割り切れない」という定義がたまたま 43 であった場合、これは真となります。43 は 1 とそれ自身以外の整数で割り切れないため、この定義の数値は定義自体の性質を持ちます。しかし、これは常に当てはまるわけではありません。「3 で割り切れる」という定義に 58 が割り当てられた場合、58 は 3 で割り切れないため、定義の数値は定義自体の性質を持ちません。この後者の例は、リチャード的性質を持つと言われます。したがって、ある数がリチャードソン数であるならば、その数に対応する定義は、その数自体が持たない性質である。（より厳密に言えば、「xはリチャードソン数である」は、「xは、定義の順序付けられた集合においてxと関連付けられている定義式によって指定される性質を持たない」と同等である。）したがって、この例では、58はリチャードソン数であるが、43はそうではない。
さて、リチャード的であるという性質自体が整数の数値的性質であるため、それはすべての性質の定義のリストに含まれます。したがって、リチャード的であるという性質には、ある整数nが割り当てられます。たとえば、「リチャード的である」という定義は、92 という数に割り当てられるかもしれません。最終的に、パラドックスは次のようになります。92 はリチャード的でしょうか？92 がリチャード的であると仮定します。これは、92 が、それに関連付けられている定義式によって指定される性質を持たない場合にのみ可能です。言い換えれば、これは 92 がリチャード的ではないことを意味し、私たちの仮定と矛盾します。しかし、92 がリチャード的ではないと仮定すると、92 はそれに対応する定義的性質を持ちます。これは定義により、92 がリチャード的であることを意味し、これもまた仮定と矛盾します。したがって、「92 はリチャード的である」という記述は、一貫して真または偽として指定することはできません。
リチャードのパラドックスに関するもう一つの見解は、数学的述語主義に関するものである。この見解によれば、実数は段階的に定義され、各段階は前の段階や既に定義された他の事物のみを参照する。述語的な観点からすると、新しい実数を生成する過程で全ての実数に対して量化を行うことは妥当ではない。なぜなら、これは定義における循環論法の問題を引き起こすと考えられているからである。ZFCのような集合論は、このような述語的な枠組みに基づいておらず、非述語的な定義を許容する。
リチャード（1905）は、述語主義の観点からパラドックスの解決策を提示した。リチャードは、パラドックス的な構成の欠陥は、実数rの構成を表す式が実際には実数を曖昧さなく定義していないことにあると主張した。なぜなら、その記述はr自体も含まれる無限の実数集合の構成を指しているからである。したがって、リチャードによれば、実数r はr n のいずれにも含まれない。なぜなら、 rの定義は、数列r n を構成するために使用される定義のシーケンスに含まれるための基準を満たしていないからである。現代の数学者たちは、 rの定義が無効であるという点では同意しているが、理由は異なる。彼らは、英語のフレーズが実数を定義するという明確な概念がないため、数列r nを曖昧さなく構成する方法がないことが、 rの定義が無効である理由だと考えている。
リチャードのパラドックスの解決策は数学者たちの間で支持を得られなかったが、述語主義は数学の基礎の研究において重要な部分を占めている。述語主義はヘルマン・ワイルが『連続体』で初めて詳細に研究し、その中で彼は初等実解析の多くは自然数のみから始めて述語的な方法で実行できることを示した。より最近では、ソロモン・フェファーマンが述語主義を研究しており、彼は証明論を用いて述語的システムと非述語的システムの関係を探求している。[ 1 ]