改訂理論

修正理論は哲学論理学の一分野である。これは、循環概念や相互依存概念を含む（ただしこれらに限定されない）定義の一般理論から構成される。循環定義とは、定義される概念がそれを定義する文の中に現れる定義のことである。例えば、Gを「青色で、Gの左にある」と定義する場合などである。修正理論は定義された表現の形式意味論を提供し、形式証明体系は循環表現の論理を研究する。

定義は哲学と論理学において重要である。循環定義は論理的に誤りまたは矛盾していると見なされてきたが、修正理論はそれらが意味を持ち、数学的および哲学的論理を用いて研究できることを示している。この理論は、哲学的および論理的概念の循環分析を行うために用いられてきた。

修正理論は、 Anil Gupta、Hans Herzberger、Nuel Belnapによって開発された真理の修正理論の一般化である。^{[ 1 ]} Gupta と Herzberger の修正理論では、修正は真理述語を使用する文の直感的評価を反映するものとされている。真理を述べる文など、評価が安定している文もある。

真実を語る者は真実を語る。

真実を語る者が真実であると仮定すればそれは真実であり、それが偽りであると仮定すればそれは偽りである。どちらの状態も変化しない。一方、嘘つき、

その嘘つきに関する文は真実ではない。

嘘つきが真実であると仮定すれば、それが偽であることを示すことができ、それが偽であると仮定すれば、それが真実であることを示すことができる。この不安定性は、嘘つきに関する修正系列に反映される。

循環定義への一般化は、グプタがベルナップと共同で開発した。彼らの著書『真理の改訂理論』は、循環定義理論の詳細な展開に加え、真理に関する哲学的見解と真理と定義の関係についての概観と批判的考察を提示している。

修正理論の哲学的背景は、グプタとベルナップによって展開された。^{[ 2 ]} アラジン・ヤクーブなどの他の哲学者は、真理の理論の文脈で修正理論の哲学的解釈を展開したが、循環定義の一般的な文脈では展開しなかった。^{[ 3 ]}

グプタとベルナップは、循環概念は意味があり、論理的に受け入れられると主張している。循環定義は、改訂理論の形式意味論によって実証されているように、形式的に扱いやすい。グプタとベルナップが述べているように、「パラドックスから得られる教訓は、意味のある領域は見た目よりも広く、一見意味のない概念の中には、実際には意味のあるものがあるということである。」^{[ 4 ]}

循環述語の意味は、非循環述語によく割り当てられるような拡張ではありません。むしろ、その意味は、最初の拡張が与えられた場合に新しい仮説的拡張を生成する方法を決定する修正規則です。これらの新しい拡張は、少なくとも元の拡張と同等に優れています。つまり、ある拡張が与えられた場合、新しい拡張は特定の循環述語の定義を満たすものを正確に含んでいます。一般に、修正が落ち着く唯一の拡張は存在しません。^{[ 5 ]}

改訂理論は、定義に関する標準的な理論に代わる選択肢を提供する。標準的な理論では、優れた定義には2つの特徴があるとされている。第一に、定義された記号は常に削除でき、それらを定義するものに置き換えることができる。第二に、定義は保守的であるべきであり、定義を追加しても元の言語に新たな結果が生じてはならない。改訂理論は第一の特徴を否定するが、第二の特徴は維持する。これは、以下に示す2つの強い妥当性の意味において実証されている。

論理学者アルフレッド・タルスキは、概念の分析としての定義を評価するための2つの基準、すなわち形式的正しさと実質的妥当性を提示した。形式的正しさの基準は、定義において、定義対象が定義語に含まれてはならないと述べている。実質的妥当性の基準は、定義が分析対象の概念に忠実でなければならないと述べている。グプタとベルナップは、2つの基準が矛盾する場合、実質的妥当性を支持することを推奨している。^{[ 6 ]}循環定義が概念の良い分析を提供しているかどうかを判断するには、定義の実質的妥当性を評価する必要がある。循環定義の中には良い分析となるものもあれば、そうでないものもある。いずれにせよ、タルスキの意味での形式的正しさは侵害されることになる。

改訂理論の中心的な意味論的考え方は、定義、例えば、${\displaystyle G}$は、 定義域の新しい拡張が何であるかを示す修正規則を提供する。${\displaystyle G}$定義対象の仮説的拡張と未定義表現に関する情報が与えられた場合、 となるべきである。修正規則を繰り返し適用すると、仮説のシーケンスが生成され、これを使用して循環概念の論理を定義することができる。修正理論の研究では、 という記号がよく使用される。${\displaystyle =_{df}}$定義を示すために、左側が定義項、右側が定義項となる。例

であること${\displaystyle G}$は、青色で、かつ左側にあると定義される。${\displaystyle G}$

すると次のように書ける

であること${\displaystyle G=_{df}}$青で、かつ左側にある${\displaystyle G}$。

拡張に関する仮説が与えられた場合${\displaystyle G}$、新しい拡張機能を取得できます${\displaystyle G}$定義中の未定義表現の意味、すなわち青色と左側に訴える。

まず基本言語から始めます。${\displaystyle L}$それは古典的な基礎モデルを通して解釈される。${\displaystyle M}$これはドメインのペアです${\displaystyle D}$解釈機能${\displaystyle I}$[ ^{7 ]定義の}集合が${\displaystyle {\mathcal {D}}}$以下の通りです。

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{1}{\overline {x}}&=_{Df}A_{G_{1}}({\overline {x}})\\&{}\,\,\,\vdots \\G_{n}{\overline {x}}&=_{Df}A_{G_{n}}({\overline {x}})\\&{}\,\,\,\vdots \end{aligned}}}$

それぞれ${\displaystyle A_{G_{i}}}$定義される式のいずれかを含む可能性がある${\displaystyle G_{j}}$、 含む${\displaystyle G_{i}}$それ自体。定義では、表示される変数のみ、${\displaystyle {\overline {x}}}$定義では、式は自由です${\displaystyle A_{G_{i}}}$この言語はこれらの新しい述語によって拡張され、${\displaystyle G_{1},\ldots ,G_{n},\ldots }$形成する${\displaystyle L}$⁺。セットしたとき${\displaystyle {\mathcal {D}}}$定義済みの述語が少ない場合、表記法を使用するのが一般的です。${\displaystyle G{\overline {x}}=_{Df}A({\overline {x}},G)}$強調するために${\displaystyle A}$含まれる可能性があります${\displaystyle G}$。

仮説${\displaystyle h}$は、定義域からタプルへの関数です。${\displaystyle {\mathcal {D}}}$モデル${\displaystyle M+h}$モデルと全く同じです${\displaystyle M}$ただし${\displaystyle h}$各定義項を次の双条件に従って解釈する。その左辺は「${\displaystyle G_{i}({\overline {t}})}$は真実です${\displaystyle M+h}$」

${\displaystyle M+h\models G_{i}({\overline {t}}){\text{ iff }}I({\overline {t}})\in h(G_{i})}$

セット${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ 定義から改訂ルールまたは改訂演算子が得られます。${\displaystyle \delta _{M,{\mathcal {D}}}}$修正演算子は、各定義項に対して以下の等価性に従います。${\displaystyle G}$、 で${\displaystyle {\mathcal {D}}}$。

${\displaystyle M+\delta _{M,{\mathcal {D}}}(h)\models G({\overline {t}}){\text{ iff }}M+h\models A_{G}({\overline {t}})}$

タプルは定義を満たす${\displaystyle G}$修正後、定義を満たす場合のみ${\displaystyle G}$すなわち${\displaystyle A_{G}}$改訂前。つまり、次の条件を満たすタプルは${\displaystyle A_{G}}$仮説によれば、それはまさにそれを満たすものとなるだろう${\displaystyle G}$その仮説の修正によれば。

古典的な結合子は、通常の再帰的な方法で評価されます。${\displaystyle M+h}$定義された述語の評価のみが仮説に依拠する。

改訂シーケンスは、追加条件を満たす仮説のシーケンスです。 ^{[ 8 ]}ここでは、次のシーケンスに焦点を当てます。${\displaystyle \omega }$超限修正シーケンスでは、限界段階で何を行うかをさらに指定する必要があるため、長くなります。

させて$\displaystyle {\mathcal {S}}}$を仮説のシーケンスとし、$\displaystyle {\mathcal {S}}_{\alpha }}$になる${\displaystyle \alpha }$第 1 番目の仮説において$\displaystyle {\mathcal {S}}}$. アン${\displaystyle \omega }$-長いシーケンス$\displaystyle {\mathcal {S}}}$仮説の修正シーケンスは、すべての場合に備えて${\displaystyle n}$、

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n+1}=\delta _{M,{\mathcal {D}}}({\mathcal {S}}_{n})。}$

再帰的に反復を定義する

• $\displaystyle \delta _{M,{\mathcal {D}}}^{0}(h)=h}$そして
• ${\displaystyle \delta _{M,{\mathcal {D}}}^{n+1}(h)=\delta _{M,{\mathcal {D}}}^{n}(\delta _{M,{\mathcal {D}}}(h))。}$

の${\displaystyle \omega }$-長い改訂シーケンスから始まる${\displaystyle h}$次のように記述できます。

${\displaystyle h,\delta _{M,{\mathcal {D}}}(h),\delta _{M,{\mathcal {D}}}^{2}(h),\ldots }$

一つの妥当性、${\displaystyle S_{0}}$妥当性は、次のように定義できます。${\displaystyle A}$有効です${\displaystyle S_{0}}$で${\displaystyle M}$の上${\displaystyle {D}}$存在する場合${\displaystyle n}$すべての${\displaystyle h}$そしてすべての${\displaystyle m\geq n}$、${\displaystyle M+\delta _{M,{\mathcal {D}}}^{m}(h)\models A}$文${\displaystyle A}$有効${\displaystyle D}$万が一、それがすべての場合に有効である場合${\displaystyle M}$。

妥当性${\displaystyle S_{0}}$安定性の観点から再解釈できる${\displaystyle \omega }$長いシーケンス。文${\displaystyle A}$修正シーケンスでは、常に真である。${\displaystyle {\alpha }}$すべての${\displaystyle \beta \geq \alpha }$、${\displaystyle M+{{\mathcal {S}}_{\beta }}\models A}$文${\displaystyle A}$修正シーケンスでは、常に偽となる。${\displaystyle {\alpha }}$すべての${\displaystyle \beta \geq \alpha }$、${\displaystyle M+{{\mathcal {S}}_{\beta }}\not \models A}$こうした意味で、文${\displaystyle A}$有効です${\displaystyle S_{0}}$で${\displaystyle M}$念のため${\displaystyle A}$常に真である${\displaystyle \omega }$-長い改訂シーケンス${\displaystyle M}$。

最初の例では、$\displaystyle {\mathcal {D}}_{1}}$なれ${\displaystyle Gx=_{Df}(x=a\ \&\ \sim Gx)\lor (x=b\ \&\ Gb).}$地面モデルの領域を${\displaystyle M}${ a, b}とし、${\displaystyle I(a)=a}$そして${\displaystyle I(b)=b}$すると、考えられる仮説は4つあります。${\displaystyle M}$:${\displaystyle \emptyset }$、{a}、{b}、{a、b}。これらの仮説から始まる修正シーケンスの最初のいくつかのステップは、次の表で示されています。

表からわかるように、${\displaystyle a}$拡張部分に出入りする${\displaystyle G}$安定することは決してない。一方、${\displaystyle b}$残るか、残らないかのどちらかだ。それは安定しているが、それが安定して真であるか安定して偽であるかは、最初の仮説によって決まる。

次に$\displaystyle {\mathcal {D}}_{2}}$なれ${\displaystyle Hx=_{Df}Hx\lor \sim Hx.}$次の表に示すように、前の例のグラウンドモデルのすべての仮説は、{a, b}の集合に修正されます。

もう少し複雑な改訂パターンについては、${\displaystyle {L}}$含む${\displaystyle <}$そしてすべての数字、${\displaystyle {\overline {k}}}$、そして地面モデルを${\displaystyle \mathbb {N} }$自然数を定義域とする${\displaystyle \omega }$解釈付き${\displaystyle I}$そのため${\displaystyle I({\overline {k}})=k}$すべての数字と${\displaystyle I(<)}$は自然数における通常の順序である。$\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}}$なれ${\displaystyle XXS=_{Df}\forall y(y<x\supset Jy).}$最初の仮説を${\displaystyle h}$なれ${\displaystyle \emptyset }$この場合、拡張機能のシーケンスは段階的に構築されていきます。

${\displaystyle \varnothing ,\ \{0\},\ \{0,1\},\ \{0,1,2,\},\ \ldots }$

すべての${\displaystyle n}$、${\displaystyle J{\overline {n}}}$有効です${\displaystyle \mathbb {N} }$、${\displaystyle \forall xJx}$有効ではありません${\displaystyle \mathbb {N} }$。

最初の仮説には 0、2、およびすべての奇数が含まれているとします。 1 回修正した後、拡張は${\displaystyle J}$は{0, 1, 2, 3, 4}になります。以降の改訂では、前の例と同様に拡張が構築されます。より一般的には、拡張が${\displaystyle J}$全てではない${\displaystyle \mathbb {N} }$すると、1回の改訂で拡張がカットされます${\displaystyle J}$自然数の初期部分（おそらく空の部分）まで減らし、その後の修正で再び構築していく。

フィッチ式の自然演繹証明システムがあり、${\displaystyle C_{0}}$循環定義の場合。^{[ 9 ]}このシステムはインデックス付き数式を使用します。${\displaystyle {A}^{i}}$、 どこ${\displaystyle i}$は任意の整数です。インデックスは、改訂シーケンスにおける相対的な位置を表すものと考えることができます。古典的な接続詞の規則の前提と結論はすべて同じインデックスを持ちます。例えば、以下は連言と否定の導入規則です。

|$\displaystyle B^{i}}$ |${\displaystyle C^{i}}$ |${\displaystyle (B\&C)^{i}}$${\displaystyle \&}$で

| |__$\displaystyle B^{i}}$ | |${\displaystyle \vdots }$ | |$\displaystyle \bot ^{i}}$ |${\displaystyle \sim B^{i}}$${\displaystyle \sim }$で

各定義について、${\displaystyle G{\overline {x}}=_{Df}A_{G}({\overline {x}})}$、 で${\displaystyle D}$そこには2つのルールがある。

|${\displaystyle A_{G}({\overline {t}})^{i}}$ |${\displaystyle G({\overline {t}})^{i+1}}$DfIn

|${\displaystyle G({\overline {t}})^{i+1}}$ |${\displaystyle A_{G}({\overline {t}})^{i}}$DfElim

これらの規則では、${\displaystyle {\overline {t}}}$無料${\displaystyle {\overline {x}}}$で${\displaystyle A_{G}}$。

最後に、数式については${\displaystyle B}$の${\displaystyle {L}}$もう一つルールがあります。それはインデックスシフトルールです。

|${\displaystyle B^{i}}$ |${\displaystyle B^{j}}$は

この規則では、${\displaystyle i}$そして${\displaystyle j}$は任意の異なるインデックスになり得る。この規則は、基本言語の式は改訂プロセス全体を通して解釈が変わらないという事実を反映している。

システム${\displaystyle C_{0}}$に関して健全かつ完全である${\displaystyle S_{0}}$妥当性、つまり文が妥当である${\displaystyle S_{0}}$導出可能な場合${\displaystyle C_{0}}$。

最近、リッカルド・ブルーニは、ヒルベルト型の公理系とシーケント系を開発し、これらはどちらも健全かつ完全である。${\displaystyle S_{0}}$[ ^{10 ]​}

いくつかの定義では、${\displaystyle S_{0}}$妥当性は十分ではない。^{[ 11 ]}例えば、定義では${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}}$すべての数は最終的に安定して拡張されるが${\displaystyle J}$全称量化文${\displaystyle \forall xJx}$は有効ではありません。理由は、任意の文が有効であるためには、有限回の修正後に真に安定する必要があるからです。一方、${\displaystyle \forall xJx}$無限に多くの修正が必要であり、最初の仮説がすでにすべての自然数を拡張として割り当てていない限り${\displaystyle J}$。

自然な強化${\displaystyle S_{0}}$妥当性、およびそれに代わるものは、超限的に長い改訂シーケンスを使用する。${\displaystyle On}$すべての順序数のクラスである。定義では、仮説のシーケンスに焦点を当てる。${\displaystyle On}$-長さ。

仮定する${\displaystyle {\mathcal {S}}}$は${\displaystyle On}$仮説の長いシーケンス。タプル${\displaystyle {\overline {d}}}$定義された述語の拡張において安定している${\displaystyle G}$限界順序数${\displaystyle \beta }$連続して${\displaystyle {\mathcal {S}}}$万が一${\displaystyle \alpha \leq \beta }$すべての${\displaystyle \gamma }$と${\displaystyle \alpha \leq \gamma <\beta }$、${\displaystyle {\overline {d}}\in {\mathcal {S}}_{\gamma }}$同様に、タプル${\displaystyle {\overline {d}}}$の拡張から安定して外れている${\displaystyle G}$限界順序数${\displaystyle \beta }$ステージがある場合${\displaystyle \alpha }$すべての${\displaystyle \gamma }$と${\displaystyle \alpha \leq \gamma <\beta }$、${\displaystyle {\overline {d}}\not \in {\mathcal {S}}_{\gamma }}$。 さもないと${\displaystyle {\overline {d}}}$不安定です${\displaystyle \beta }$で${\displaystyle {\mathcal {S}}}$非公式には、タプルが限界まで拡張内にある段階が存在する場合、タプルは限界において拡張内に安定していると言えます。また、タプルが限界段階まで拡張外のままとなる段階が存在する場合、タプルは限界外に安定していると言えます。

仮説${\displaystyle h}$と一致する${\displaystyle {\mathcal {S}}}$限界順序数${\displaystyle \beta }$すべてのタプルについて${\displaystyle {\overline {d}}}$、 もし${\displaystyle {\overline {d}}}$は、の拡張内に安定して存在する[安定して外れる]${\displaystyle G}$で${\displaystyle \beta }$で${\displaystyle {\mathcal {S}}}$、 それから${\displaystyle {\overline {d}}\in [\not \in ]h(G)}$。

1${\displaystyle On}$-長いシーケンス${\displaystyle {\mathcal {S}}}$仮説の修正シーケンスは、すべての${\displaystyle \alpha }$、

• もし${\displaystyle \alpha =\beta +1}$、 それから${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\alpha }=\delta _{M,{\mathcal {D}}}({\mathcal {S}}_{\beta })}$、 そして
• もし${\displaystyle \alpha }$限界値であれば、${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\alpha }}$と一致する${\displaystyle {\mathcal {S}}}$で${\displaystyle \alpha }$。

ちょうど${\displaystyle \omega }$シーケンスにおいて、シーケンスの後続ステージは改訂演算子によって生成される。ただし、限界ステージにおいては、限界仮説がそれ以前のものと整合していることだけが制約となる。不安定要素は限界規則に従って設定されるが、その詳細は定義セットによって未確定のまま残されている。

限界ルールは、異なる限界段階で異なる動作をするかどうかに応じて、定数ルールと非定数ルールの2つのクラスに分類できます。定数限界ルールは、各限界で不安定要素に対して同じ動作をします。特定の定数限界ルールであるヘルツベルガールールは、すべての不安定要素を拡張から除外します。別の定数ルールであるグプタルールによれば、不安定要素は、万が一の場合に備えて拡張に含まれます。${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}}$非定数極限規則は、極限における不安定要素の扱い方を変える。

妥当性の2つの意味は、${\displaystyle On}$-長いシーケンス。最初の、${\displaystyle S^{*}}$妥当性は、安定性の観点から定義される。${\displaystyle A}$有効です${\displaystyle S^{*}}$で${\displaystyle M}$の上${\displaystyle {\mathcal {D}}}$すべての場合${\displaystyle On}$- 長い改訂シーケンス${\displaystyle {S}}$段階があります${\displaystyle \alpha }$そのため${\displaystyle A}$安定して真である${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ステージ後${\displaystyle \alpha }$文${\displaystyle A}$は${\displaystyle S^{*}}$有効${\displaystyle {\mathcal {D}}}$すべての古典的な地上モデルの場合に備えて${\displaystyle M}$、${\displaystyle A}$は${\displaystyle S^{*}}$有効な${\displaystyle M}$の上${\displaystyle {\mathcal {D}}}$。

2つ目の妥当性の感覚は、${\displaystyle S^{\#}}$妥当性、安定性ではなく近さの安定性を使用する。文${\displaystyle {A}}$シーケンスではほぼ安定して真である${\displaystyle {\mathcal {S}}}$もし${\displaystyle \alpha }$すべての${\displaystyle \beta \geq \alpha }$自然数が存在する${\displaystyle n}$すべての${\displaystyle m\geq n}$、${\displaystyle M+\delta _{M,{\mathcal {D}}}^{m}({\mathcal {S}}_{\beta })\models A.}$文${\displaystyle {A}}$シーケンスではほぼ安定して偽である${\displaystyle {\mathcal {S}}}$もし${\displaystyle \alpha }$すべての${\displaystyle \beta \geq \alpha }$自然数が存在する${\displaystyle n}$すべての${\displaystyle m\geq n}$、${\displaystyle M+\delta _{M,{\mathcal {D}}}^{m}({\mathcal {S}}_{\beta })\not \models A.}$ほぼ安定した文であっても、極限値に続いて有限期間不安定になる場合があり、その後は次の極限値まで安定する。

文${\displaystyle A}$有効です${\displaystyle S^{\#}}$で${\displaystyle M}$すべての場合において${\displaystyle On}$- 長い改訂シーケンス${\displaystyle {S}}$段階があります${\displaystyle \alpha }$そのため${\displaystyle A}$ほぼ安定して真である${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ステージ後${\displaystyle \alpha }$文${\displaystyle A}$有効です${\displaystyle S^{\#}}$有効な場合に備えて${\displaystyle S^{\#}}$すべての地上モデルにおいて。

文が有効である場合${\displaystyle S^{*}}$そうすれば、それは有効です${\displaystyle S^{\#}}$だが、逆はそうではない。${\displaystyle {\mathcal {D}}_{3}}$これはモデルにおける妥当性を示しています。${\displaystyle \forall xJx}$有効ではありません${\displaystyle \mathbb {N} }$で${\displaystyle S_{0}}$しかし、それは有効です${\displaystyle S^{\#}}$。

アトラクション${\displaystyle S^{\#}}$妥当性は、より単純な論理を生成することです。${\displaystyle S^{*}}$証明システム${\displaystyle C_{0}}$は${\displaystyle S^{\#}}$しかし、一般的には完全ではない。${\displaystyle C_{0}}$文が有効な場合${\displaystyle S_{0}}$そうすれば、それは有効です${\displaystyle S^{\#}}$しかし、その逆は一般的には成り立たない。${\displaystyle S_{0}}$そして${\displaystyle S^{*}}$一般的に、比較できない。したがって、${\displaystyle C_{0}}$は健全ではない${\displaystyle S^{*}}$。

その間${\displaystyle S^{\#}}$妥当性は${\displaystyle S_{0}}$一般的に、妥当性には両者が一致する特別なケース、すなわち有限の定義が存在する。大まかに言えば、定義は、すべての改訂シーケンスが有限回の改訂後に新しい仮説を生成しなくなる場合に有限である。より正確に言えば、仮説を定義する。${\displaystyle h}$万が一の場合に備えて${\displaystyle n>0}$そのため${\displaystyle h=\delta _{M,{\mathcal {D}}}^{n}(h)}$定義が有限であるのは、すべてのモデルに対して${\displaystyle M}$すべての仮説について${\displaystyle h}$自然数が存在する${\displaystyle n}$、したがって${\displaystyle \delta _{M,{\mathcal {D}}}^{n}(h)}$は反射的である。グプタは、もし${\displaystyle {\mathcal {D}}}$有限であれば、${\displaystyle S^{\#}}$妥当性と${\displaystyle S_{0}}$有効性は一致する。

有限定義の集合の構文的特徴付けは知られておらず、有限定義は論理積や論理和などの標準的な論理演算の下で閉じられていない。マリカルメン・マルティネスは、有限定義の集合が閉じられる構文的特徴をいくつか特定した。^{[ 12 ]}彼女は、もし${\displaystyle {L}}$は、同一性を除いて単項述語のみを含み、関数記号を含まず、定義は${\displaystyle {\mathcal {D}}}$すべて単項である場合、${\displaystyle {\mathcal {D}}}$有限である。

多くの標準的な論理演算は有限性を保持しないが、自己合成演算は有限性を保持する。^{[ 13 ]}定義については、${\displaystyle G{\overline {x}}=_{Df}A({\overline {x}},G)}$自己合成を再帰的に以下のように定義する。

• ${\displaystyle A^{0}({\overline {x}},G)=G{\overline {x}}}$そして
• ${\displaystyle A^{n+1}({\overline {x}},G)=A^{n}({\overline {x}},G)[A({\overline {t}},G)/G{\overline {t}}]}$。

後者はこう述べている${\displaystyle A^{n+1}}$は、すべてのインスタンスを置き換えることによって得られます。${\displaystyle G{\overline {t}}}$で${\displaystyle A^{n}}$、 と${\displaystyle A({\overline {t}},G)}$。 もし${\displaystyle {\mathcal {D}}}$有限の定義であり、${\displaystyle {\mathcal {D}}^{n}}$各定義を置き換える結果${\displaystyle B}$で${\displaystyle {\mathcal {D}}}$と${\displaystyle B^{n}}$、 それから${\displaystyle {\mathcal {D}}^{n}}$これも有限な定義である。

改訂理論は、実質的等価性と定義的等価性を区別する。^{[ 14 ]}定義の集合は後者を使用する。一般に、定義的等価性と実質的等価性は同じではない。定義が与えられた場合

${\displaystyle Gx=_{Df}A(x,G),}$

その物質的な対応物、

${\displaystyle \forall x(Gx\equiv A(x,G)),}$

一般的には有効ではないだろう。^{[ 15 ]} この定義

${\displaystyle Gx=_{Df}\sim Gx}$

無効性を示しています。定義項と定義被定義項は、いかなる修正後も同じ真理値を持たないため、実質的な双条件文は有効ではありません。定義によっては、定義節の実質的な対応物は有効です。たとえば、定義項が基本言語の記号のみを含む場合、実質的な対応物は有効になります。

上記の定義は古典的なスキームに関するものです。定義は任意の意味論的スキームに合わせて調整できます。^{[ 16 ]}これには、排除否定を持つストロングクリーネなどの3値スキームが含まれ、その真理値表は次のようになります。

特に、ソール・クリプキのストロング・クリーネ理論など、真理への多くのアプローチは、言語における排除否定と併用することはできない。

改訂理論は、帰納的定義理論といくつかの点で類似しているものの、いくつかの点で異なっている。^{[ 17 ]}最も重要なのは、改訂は単調である必要がないということである。つまり、後段の拡張は前段の拡張のスーパーセットである必要はない。これは、上記の最初の例で示されている。関連して、改訂理論は定義の構文形式にいかなる制約も課さない。帰納的定義では、定義は偶数個の否定の下でのみ定義に現れるという意味で、定義が肯定的である必要がある。（これは、否定、連言、選言、および全称量化子が原始的な論理結合子であり、残りの古典的な結合子は単に定義された記号であると仮定している。）

${\displaystyle Gx=_{Df}(x{\text{ is even }}\&\ Gx)\vee (x{\text{ is odd }}\&\ \sim Gx)}$

改訂理論においては許容されるが、帰納的定義の理論においては許容されない。

帰納的定義は固定点、仮説を通して意味的に解釈される${\displaystyle h}$そのために${\displaystyle h=\delta _{M,{\mathcal {D}}}(h)}$一般的に、改訂シーケンスは固定点に到達しません。定義が${\displaystyle {\mathcal {D}}}$すべてが正であれば、修正シーケンスは固定点に到達します。ただし、初期仮説には次の特徴があります。${\displaystyle h(G)\subseteq \delta _{M,{\mathcal {D}}}(h)(G)}$それぞれについて${\displaystyle G}$特に、${\displaystyle {\mathcal {D}}}$もし初期仮説がすべての定義域に空の拡張を割り当てるならば、修正シーケンスは最小の固定点に到達するだろう。

いくつかの定義に関する有効な文の集合は非常に複雑になる可能性があり、特に${\displaystyle \Pi _{2}^{1}}$これはフィリップ・クレーマーとアルド・アントネッリによって示された。^{[ 18 ]}したがって、証明体系は存在しない。${\displaystyle S^{\#}}$有効。

修正理論の最も有名な応用例は、例えばグプタとベルナップ（1993）で展開された真理の理論である。真理の循環定義は、すべてのタルスキ双条件文の集合である。${\displaystyle A}$' は、${\displaystyle A}$ここで「iff」は定義上の同等性として理解される。${\displaystyle =_{Df}}$物質的等価性ではなく、タルスキ双条件文はそれぞれ真理の概念の部分的な定義を提供する。真理の概念は循環的である。なぜなら、タルスキ双条件文の中には定義文に「真である」という表現を必ず用いるものがあるからである。例えば、${\displaystyle b}$真実を語る文の名前です。${\displaystyle b}$は真である。この文はタルスキー双条件文として以下を持つ。${\displaystyle b}$が真である場合${\displaystyle b}$は真である。右側の真理述語は削除できない。この例は、言語に真理を語る者が存在することを前提としている。この例やその他の例は、タルスキの双条件文によって定義される真理が循環概念であることを示している。

算術の言語など、一部の言語には悪質な自己参照が存在する。嘘つきやその他の病的な文は、真実の言語に必ず存在する。悪質な自己参照を持たない他の真実の言語も定義できる。^{[ 19 ]}このような言語では、いかなる修正シーケンスも${\displaystyle {S}}$真実は必ず次の段階に達する${\displaystyle {S}_{\alpha }={S}_{\alpha +1}}$そのため、真理述語は非循環述語のように振る舞います。^{[ 20 ]}その結果、このような言語では、真理は言語のすべての文にわたって定義される安定した拡張を持ちます。これは、例えば最小ストロングクリーネ理論や最小超評価理論など、他の多くの真理理論とは対照的です。これらの理論における真理述語の拡張と反拡張は、言語の文の集合を網羅しません。

の違いは${\displaystyle S^{\#}}$そして${\displaystyle S^{*}}$真理の修正理論を検討する際には、これが重要である。違いの一部は意味法則に表れており、それは次の同値関係である。ここで、Tは真理述語である。^{[ 21 ]}

• ${\displaystyle \forall A(T(\ulcorner \sim A\urcorner )\equiv \sim T(\ulcorner A\urcorner ))}$
• ${\displaystyle \forall A,B(T(\ulcorner {A\&B}\urcorner )\equiv T(\ulcorner {A}\urcorner )\&T(\ulcorner {B}\urcorner ))}$
• ${\displaystyle \forall A,B(T(\ulcorner {A\lor B}\urcorner )\equiv T(\ulcorner {A}\urcorner )\lor T(\ulcorner {B}\urcorner ))}$
• ${\displaystyle \forall A(T(\ulcorner \forall xA\urcorner )\equiv \forall tT(\ulcorner A[x/t]\urcorner ))}$

これらはすべて有効です${\displaystyle S^{\#}}$ただし、最後の条件はドメインが可算であり、すべての要素に名前が付いている場合にのみ有効です。${\displaystyle S^{*}}$しかし、どれも有効ではない。嘘つきを例にとると、否定法則がなぜ失敗するのかが分かる。${\displaystyle a=\ulcorner {\sim Ta}\urcorner }$嘘つきとそれに対する真理述語のすべての有限反復は不安定なので、${\displaystyle T\ulcorner {Ta}\urcorner }$そして${\displaystyle T\ulcorner {\sim Ta}\urcorner }$ある限界において同じ真理値を持つことで、${\displaystyle \sim T\ulcorner {Ta}\urcorner }$そして${\displaystyle T\ulcorner {\sim Ta}\urcorner }$異なる真理値を持つ。これは修正後に修正されるが、否定法則は安定して真ではない。ヴァン・マギーの定理の結果、真理の修正理論は${\displaystyle S^{\#}}$ は${\displaystyle \omega }$-矛盾している。^{[ 22 ]}${\displaystyle S^{*}}$ 理論は${\displaystyle \omega }$矛盾している。

真理の公理理論があり、それは${\displaystyle S^{\#}}$真理を伴う算術の言語による理論。フリードマン・シアード理論（FS）は、ペアノ算術の通常の公理に以下を追加することによって得られる。

• 公理${\displaystyle \forall s,t(T(\ulcorner {s=t}\urcorner )\equiv s=t)}$、
• 意味法則、
• 真理述語を持つ帰納法の公理、そして
• 2つのルール
  • もし${\displaystyle \vdash A}$、 それから${\displaystyle \vdash T(\ulcorner A\urcorner )}$、 そして
  • もし${\displaystyle \vdash T(\ulcorner A\urcorner )}$、 それから${\displaystyle \vdash A}$[ ^{23 ]​}

マクギーの定理によれば、この理論は${\displaystyle \omega }$-矛盾している。ただし、FS には、純粋に算術的な偽の文は定理として存在しない。^{[ 24 ]} FS には、ペアノ算術のグローバル反射が定理として存在する。

${\displaystyle \forall x((\mathrm {Sent} (x)\ \&\ \mathrm {Bew} _{PA}(x))\supset Tx),}$

どこ${\displaystyle \mathrm {Bew} _{PA}}$はペアノ算術の証明可能性述語であり、${\displaystyle \mathrm {Sent} }$これは、言語の真理値を持つすべての文に対して真となる述語である。したがって、ペアノ算術が無矛盾であることはFSの定理である。

FS は算術の真理理論のサブ理論であり、${\displaystyle S^{\#}}$FS が一貫性があることを示す標準的な方法は、${\displaystyle \omega }$-長い改訂シーケンス。^{[ 25 ]}公理化に関する研究がいくつか行われており、${\displaystyle S^{*}}$算術の真理理論。^{[ 26 ]}

修正理論は、真理とは切り離された循環概念を研究したり、合理性といった概念の代替的な分析を提供したりするために用いられてきた。

非整礎集合論とは、非整礎集合の存在を仮定する集合論であり、それは集合である。${\displaystyle x}$メンバーシップ関係に沿って無限に下降する連鎖を持つ、

${\displaystyle \cdots x_{n+1}\in x_{n}\in \cdots \in x_{1}\in x.}$

アントネッリは修正理論を用いて、不完全な集合論のモデルを構築した。^{[ 27 ]}一例として、唯一の要素がそれ自身である集合を仮定する集合論がある。${\displaystyle x=\{x\}}$。

無限時間チューリングマシンは、計算を無限に多くのステップにわたって継続できる計算モデルです。これらは、計算可能性理論で使用される標準的なチューリングマシンを一般化したものです。ベネディクト・レーヴェは、無限時間チューリングマシンの計算と改訂プロセスの間には密接な関係があることを示しました。^{[ 28 ]}

ゲーム理論における合理的選択は、循環概念として分析されてきた。アンドレ・シャピュイは、合理的選択においてエージェントが用いる推論は、循環概念に特徴的な相互依存性を示すと主張した。^{[ 29 ]}

修正理論は、他の種類の現象をモデル化するために応用できます。たとえば、曖昧さはコンラッド・アスムスによって修正理論の観点から分析されています。^{[ 30 ]}このアプローチで曖昧な述語をモデル化するには、類似するオブジェクトのペアと、境界ケースではないオブジェクト、つまり修正不可能なオブジェクトを指定します。境界オブジェクトは、類似するオブジェクトの状態に応じて、述語に関してその状態が変わります。

グプタは、経験が個人の信念に論理的に貢献する理由を説明するために修正理論を使用してきた。^{[ 31 ]}この見解によれば、経験の貢献は、行為者の見解、概念、信念を入力として受け取り、知覚判断を出力として生み出す修正規則によって表される。これらの判断は、行為者の見解を更新するために使用できる。

• アニル・グプタ
• 循環定義
• 意味
• パラドックス
• 哲学的論理学
• 真実

• クレマー、P. (2014).真理の修正理論。ザルタ、EN 編『スタンフォード哲学百科事典』2014 年夏版。