リトルウッド・リチャードソン則

数学において、リトルウッド-リチャードソン則は、 2 つのシューア関数の積を他のシューア関数の線型結合として分解するときに生じる係数の組合せ論的記述である。これらの係数は自然数であり、リトルウッド-リチャードソン則はこれを特定の歪んだ表を数えるものとして記述する。これらは他の多くの数学的文脈でも出現する。たとえば、一般線型群の有限次元表現のテンソル積の分解における重複度、対称群の表現論における特定の誘導表現の分解、ヤングの表と対称多項式を扱う代数的組合せ論の領域などである。

リトルウッド・リチャードソン係数は、3つの分割、例えばに依存し、その とは乗算されるシュアー関数を記述し、 はこれが線形結合の係数であるシュアー関数を与える。言い換えれば、それらは次のような 係数である。${\displaystyle \lambda ,\mu ,\nu }$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}$

${\displaystyle s_{\lambda }s_{\mu }=\sum _{\nu }c_{\lambda ,\mu }^{\nu }s_{\nu }.}$

リトルウッド・リチャードソン則によれば、 は、歪んだ形状および重さのリトルウッド・リチャードソン表の数に等しいとされます。 ${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}$ ${\displaystyle \nu /\lambda }$${\displaystyle \mu}$

リトルウッド-リチャードソン則は、DEリトルウッドとARリチャードソン （1934、定理III、119ページ）によって最初に述べられましたが、彼らはそれを定理として主張したものの、いくつかのかなり単純な特殊なケースでしか証明していませんでした。 ロビンソン （1938）は証明を完了したと主張しましたが、彼の議論には欠陥がありました。しかし、それは非常にわかりにくい書き方であったため、これらの欠陥はしばらくの間気づかれず、彼の議論は本（リトルウッド、1950）に再現されています。欠陥のいくつかは、後にマクドナルド（1995）によって埋められました。この規則の最初の厳密な証明は、規則が発見されてから40年後、C.シェンステッド（1961）、シュッツェンベルガー（1963）、およびクヌース（1970）がロビンソン-シェンステッド対応 に関する研究で必要な組み合わせ理論を展開した後、 シュッツェンベルガー（1977 ）とトーマス（1974）によって与えられました。現在、この規則の簡単な証明はいくつかあり、例えば (Gasharov 1998) や (Stembridge 2002) ではBender-Knuth 反転が使用されています。Littelmann (1994) は、 Littelmann パス モデルを使用して、リトルウッド-リチャードソン規則を他の半単純リー群に一般化しました。

リトルウッド-リチャードソン則は、完全な証明が公表される前に多数の誤りが生じたことで有名です。公表されているいくつかの証明の試みは不完全であり、特に手計算で誤りを避けるのは困難です。DE リトルウッドと AR リチャードソン (1934) の元の例でさえ誤りが含まれています。

リトルウッド–リチャードソンの表は、逆の行を連結することによって得られる数列が格子語（または格子順列）であるという追加の特性を持つ歪んだ半標準の表です。つまり、数列のすべての最初の部分で、任意の数が数 と少なくとも同じ頻度で出現します。もう 1 つの同等の（ただし、それほど明白ではない）特徴付けは、表自体、およびそこから左端の列をいくつか削除することによって得られる任意の表は、弱減少の重みを持つということです。リトルウッド–リチャードソンの表と一対一であることが判明した他の多くの組み合わせ概念が見つかっており、したがって、リトルウッド–リチャードソン係数を定義するためにも使用できます。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle i+1}$

、および の場合を考えます。すると、右側に示す 2 つのタブローが、形状と重みの唯一の 2 つのリトルウッド–リチャードソン タブローであるという事実から、という事実が推測できます。実際、歪んだ図の最初の空でない行の最後のボックスにはエントリ 1 しか含めることができないため、最初の行全体がエントリ 1 で埋められる必要があります (これはどのリトルウッド–リチャードソン タブローにも当てはまります)。列の厳密性と、格子ワードには 2 が含まれる前にそれより大きなエントリを含めることができないという事実により、2 行目の最後のボックスには 2 しか配置できません。2 行目の最初のボックスには、1 または 2 を使用できます。そのエントリが選択されると、3 行目には、重み (3,2,1) を構成する残りのエントリが弱増加順で含まれている必要があるため、これ以上選択の余地はありません。どちらの場合も、リトルウッド–リチャードソン タブローが見つかることがわかります。 ${\displaystyle \lambda =(2,1)}$${\displaystyle \mu =(3,2,1)}$${\displaystyle \nu =(4,3,2)}$${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }=2}$${\displaystyle \nu /\lambda }$${\displaystyle \mu}$

タブローからやや特異な順序で読み取られたエントリのシーケンスがラティス ワードを形成するという条件は、よりローカルで幾何学的な条件に置き換えることができます。半標準タブローでは、等しいエントリが同じ列に出現することはないため、任意の値のコピーを右から左に番号付けすることができます。これは、ラティス ワードとなるシーケンス内での出現順序です。各エントリに関連付けられた番号をインデックスと呼び、インデックスjのエントリi をi [ j ]と書きます。ここで、ある Littlewood–Richardson タブローにインデックスjのエントリが含まれている場合、エントリi [ j ] は の行より厳密に下の行に出現する必要があります(エントリi − 1 はエントリi と同じ頻度で少なくとも出現するため、これも確実に発生します)。実際、エントリi [ j ] は、その同じエントリより右にない列にも出現する必要があります(一見、より厳しい条件のように見えます)。リトルウッド-リチャードソン タブローの重みが事前に固定されている場合、インデックス付きエントリの固定コレクションを形成でき、これらのエントリが、半標準タブローの制約に加えて、同じエントリのインデックス付きコピーがインデックスの右から左への順序を尊重するという条件を遵守する方法で配置されると、結果として得られるタブローはリトルウッド-リチャードソン タブローであることが保証されます。 ${\displaystyle i>1}$${\displaystyle (i-1)[j]}$${\displaystyle (i-1)[j]}$

上で述べたように、リトルウッド–リチャードソンは個々のリトルウッド–リチャードソン係数の組み合わせ表現を与えますが、これらの係数の値を見つけるためにリトルウッド–リチャードソンの表を列挙する実用的な方法については何も示していません。確かに、 が与えられている場合、形状と重さのリトルウッド–リチャードソンの表が存在するかどうかを判断するための単純な基準はありません (必要な条件はいくつかありますが、最も単純なのは です)。そのため、場合によっては、解が存在しないことが判明するために入念な検索を実行しなければならないことは避けられないようです。 ${\displaystyle \lambda ,\mu ,\nu }$${\displaystyle \nu /\lambda }$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle |\lambda |+|\mu |=|\nu |}$

それでも、この規則は、シューア関数の積の完全な分解を決定する、言い換えれば、λ と μ を固定し、ν を変化させた場合のすべての係数を決定する、非常に効率的な手順につながります。これにより、構築されるリトルウッド–リチャードソン表の重みとその形状の「内側部分」λ が固定されますが、「外側部分」ν は自由のままになります。重みがわかっているため、幾何学的記述内のインデックス付きエントリのセットは固定されます。これで、連続するインデックス付きエントリについて、幾何学的制約によって許可されるすべての可能な位置をバックトラック検索で試すことができます。エントリは昇順で試すことができますが、等しいエントリ間ではインデックスを減少させて試すことができます。後者の点は、検索手順の効率の鍵です。エントリi [ j ] は、 の右側の列に制限されますが、 より右にはできません(そのようなエントリが存在する場合)。これにより、可能な位置のセットが強く制限されますが、に対して少なくとも 1 つの有効な位置が常に残ります。したがって、エントリを配置するたびに、少なくとも 1 つの完全なリトルウッド - リチャードソン タブローが生成され、検索ツリーには行き止まりが含まれません。 ${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}$${\displaystyle i[j+1]}$${\displaystyle i-1[j]}$${\displaystyle i[j]}$

同様の方法を使用して、λ と ν を固定し、μ を変化させた場合のすべての係数を見つけることができます。 ${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}$

リトルウッド・リチャードソン係数c^νλμ
_​   次のように相互に関連して表示されます。

• これらは、シュアー関数の基底に関する対称関数の環の積の構造定数である。

${\displaystyle s_{\lambda }s_{\mu }=\sum c_{\lambda \mu }^{\nu }s_{\nu }}$

または同等のc^νλμ
_​s _νとs _λ s _μ   の内積です。

• 歪んだシュアー関数をシュアー関数で表現する

${\displaystyle s_{\nu /\lambda }=\sum _{\mu }c_{\lambda \mu }^{\nu }s_{\mu }.}$

• cの^νλμ
  _​グラスマン多様体   上の交差数として現れる:

${\displaystyle \sigma _{\lambda }\sigma _{\mu }=\sum c_{\lambda \mu }^{\nu }\sigma _{\nu }}$

ここで、σ _{μ は}、 μに対応するグラスマン多様体の シューベルト多様体のクラスです。

• c^νλμ
  _​は、対称群S _{| λ |} × S _{| μ |}の積の   既約表現V _λ ⊗ V _μが、 S _{| ν |}の表現V _νをS _{| λ |} × S _{| μ |}に制限したときに現れる回数です。フロベニウスの相互性により、これはV _νがV _λ  ⊗  V _μから誘導されるS _{| ν |}の表現に現れる回数でもあります。
• cの^νλμ
  _​   2つのシューア加群（特殊線型群の既約表現）のテンソル積（Fulton 1997）の分解に現れる。

${\displaystyle E^{\lambda }\otimes E^{\mu }=\bigoplus _{\nu }(E^{\nu })^{\oplus c_{\lambda \mu }^{\nu }} 。}$

• c^νλμ
  _​λの形状を持つ固定された標準ヤングの図形と等価な、  ν / μの形状を持つ   標準ヤングの図形の数です。
• c^νλμ
  _​は、形状がν / λで重みが μ   のリトルウッド・リチャードソン表の数です。
• c^νλμ
  _​μとν/λの間にある画像   の数です。

ピエリの公式は、リトルウッド・リチャードソン則の、分割の1つが1つの部分のみである場合の特別な場合であり、

${\displaystyle S_{\mu }S_{n}=\sum _{\lambda }S_{\lambda }}$

ここで、S _{n は}1 行のパーティションのシュアー関数であり、その合計は、フェラーズ図にn 個の要素を追加することによって μ から得られるすべてのパーティション λ にわたって計算され、同じ列に 2 つの要素は含まれません。

両方の分割が長方形の場合、合計は重複なしになります (Okada 1998)。p qとなる正の整数a、b、p、q を固定します。長さaのp個の部分を持つ分割を で表します。 の非自明な要素をインデックスする分割は、長さが次の分割です。 ${\displaystyle \geq }$ ${\displaystyle (a^{p})}$${\displaystyle s_{(a^{p})}s_{(b^{q})}}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \leq p+q}$

• ${\displaystyle \lambda _{q+1}=\lambda _{q+2}=\cdots =\lambda _{p}=a,}$
• ${\displaystyle \lambda _{q}\geq \mathrm {max} (a,b)}$
• ${\displaystyle \lambda _{i}+\lambda _{p+q-i+1}=a+b,\quad {i=1,\dots ,q}.}$

例えば、

。

対称群の縮小クロネッカー係数は、 3つの任意のヤング図への一般化であり、3 つの図の順列に対して対称です。 ${\displaystyle {\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }}$${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}$${\displaystyle \lambda ,\mu ,\nu }$

Zelevinsky (1981) は、リトルウッド-リチャードソン則を拡張して、シューア関数を次のように歪めました。

${\displaystyle s_{\lambda }s_{\mu /\nu }=\sum _{\lambda +\omega (T_{\geq j})\in P}s_{\lambda +\omega (T)}}$

ここで、和はμ/ν上のすべての表Tにわたっており、すべてのjに対して、整数列λ+ω( T _{≥ j} )は非増加であり、ωは重みです。

ニューウェル・リトルウッド数はリトルウッド・リチャードソン係数から三次式で定義される^[1]

${\displaystyle N_{\mu ,\nu ,\lambda }=\sum _{\alpha ,\beta ,\gamma }c_{\alpha ,\beta }^{\mu }c_{\alpha ,\gamma }^ {\nu }c_{\beta ,\gamma }^{\lambda }}$

ニューウェル・リトルウッド数は、型の古典的なリー群の有限次元表現のテンソル積重複度のいくつかを与えます。 ${\displaystyle B,C,D}$

ヤング図のサイズに関する 非ゼロ条件は、${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }\neq 0\implies |\lambda |+|\mu |=|\nu |}$

${\displaystyle N_{\mu ,\nu ,\lambda }\neq 0\implies \left\{{\begin{array}{l}||\lambda |-|\mu ||\leq |\nu |\leq |\lambda |+|\mu |\\|\lambda |+|\mu |+|\nu |\in 2\mathbb {Z} \end{array}}\right.}$

ニューウェル・リトルウッド数はリトルウッド・リチャードソン係数の一般化であり、

${\displaystyle |\mu |+|\nu |=|\lambda |\implies N_{\mu ,\nu ,\lambda }=c_{\mu ,\nu }^{\lambda }}$

1行のみのヤング図を含むニューウェル・リトルウッド数は、ピエリ型の規則に従います。は、から（異なる列から）ボックスを削除し、次に（異なる列に）ボックスを追加して を作成する方法の数です。^[1]${\displaystyle N_{(k),\mu ,\nu }}$${\displaystyle {\frac {k+|\mu |-|\nu |}{2}}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\frac {k-|\mu |+|\nu |}{2}}}$${\displaystyle \nu }$

ニューウェル・リトルウッド数は、基底要素が分割である結合的かつ可換な代数の構造定数であり、積は である。例えば、 ${\displaystyle \mu \times \nu =\sum _{\lambda }N_{\mu ,\nu ,\lambda }\lambda }$

${\displaystyle (1)\times (k)=(k-1)+(k+1)+(k,1)\quad {\text{(Newell–Littlewood)}}}$

${\displaystyle (1)\times (k)=(k+1)+(k,1)\quad {\text{(Littlewood–Richardson)}}}$

以下のリトルウッド・リチャードソン係数の例は、シュアー多項式Sπ_の積で表され、分割πでインデックス付けされ、次の式で表される。

${\displaystyle S_{\lambda }S_{\mu }=\sum c_{\lambda \mu }^{\nu }S_{\nu }.}$

最大 4 の係数はすべて次のように与えられます。${\displaystyle |\nu |}$

• S ₀ S _π = S _π任意のπについて。ここでS ₀ =1は空分割のシュール多項式である。
• S ₁ S ₁ = S ₂ + S ₁₁
• S ₂ S ₁ = S ₃ + S ₂₁
• S ₁₁ S ₁ = S ₁₁₁ + S ₂₁
• S ₃ S ₁ = S ₄ + S ₃₁
• S ₂₁ S ₁ = S ₃₁ + S ₂₂ + S ₂₁₁
• S ₂ S ₂ = S ₄ + S ₃₁ + S ₂₂
• S ₂ S ₁₁ = S ₃₁ + S ₂₁₁
• S ₁₁₁ S ₁ = S ₁₁₁₁ + S ₂₁₁
• S ₁₁ S ₁₁ = S ₁₁₁₁ + S ₂₁₁ + S ₂₂

小さな分割の係数のほとんどは 0 または 1 です。これは、ピエリの公式とその転置された対応により、因子の 1 つがS _nまたはS _11...1の形式である場合に特に発生します。係数が 1 より大きい最も単純な例は、どちらの因子もこの形式でない場合に発生します。

• S ₂₁ S ₂₁ = S ₄₂ + S ₄₁₁ + S ₃₃ + 2 S ₃₂₁ + S ₃₁₁₁ + S ₂₂₂ + S ₂₂₁₁。

より大きな分割では係数はより複雑になります。例えば、

• S ₃₂₁ S ₃₂₁ = S ₆₄₂ + S ₆₄₁₁ + S ₆₃₃ +2 S ₆₃₂₁ + S ₆₃₁₁₁ + S ₆₂₂₂ + S ₆₂₂₁₁ + S ₅₅₂ + S ₅₅₁₁ +2 S ₅₄₃ +4 S ₅₄₂₁ +2 S ₅₄₁₁₁ +3 S ₅₃₃₁ +3 S ₅₃₂₂ +4 S ₅₃₂₁₁ + S ₅₃₁₁₁₁ +2 S ₅₂₂₂₁ + S ₅₂₂₁₁₁ + S ₄₄₄ +3 S ₄₄₃₁ +2 S ₄₄₂₂ +3 S ₄₄₂₁₁ + S ₄₄₁₁₁₁ +3 S ₄₃₃₂ +3 S ₄₃₃₁₁ +4 S ₄₃₂₂₁ +2 S ₄₃₂₁₁₁ + S ₄₂₂₂₂ + S ₄₂₂₂₁₁ + S ₃₃₃₃ +2 S ₃₃₃₂₁ + S ₃₃₃₁₁₁ + S ₃₃₂₂₂ + S ₃₃₂₂₁₁は34項で合計重複度は62、最大係数は4である。
• S ₄₃₂₁ S ₄₃₂₁は、合計重複度が 930 の 206 項の合計であり、最大係数は 18 です。
• S ₅₄₃₂₁ S _{54321 は}合計重複度が 26704 の 1433 項の合計であり、最大係数 ( S _86543211の係数) は 176 です。
• S ₆₅₄₃₂₁ S ₆₅₄₃₂₁は 10873 項の合計であり、合計重複度は 1458444 です (したがって、係数の平均値は 100 を超え、最大 2064 になることがあります)。

リトルウッドとリチャードソン（1934、p. 122-124）が示した元の例は（彼らが見つけたが最終的な合計に含めるのを忘れた3つのタブローを修正した後）

• S ₄₃₁ S ₂₂₁ = S ₆₅₂ + S ₆₅₁₁ + S ₆₄₃ + 2 S ₆₄₂₁ + S _{64111 +} S ₆₃₃₁ + S ₆₃₂₂ + S ₆₃₂₁₁ + S ₅₅₃ + 2 S ₅₅₂₁ + S ₅₅₁₁₁ + 2 S ₅₄₃₁ + 2 S ₅₄₂₂ + 3 S ₅₄₂₁₁ + S ₅₄₁₁₁₁ + S ₅₃₃₂ + S ₅₃₃₁₁ + 2 S ₅₃₂₂₁ + S ₅₃₂₁₁₁ + S ₄₄₃₂ + S ₄₄₃₁₁ + 2 S ₄₄₂₂₁ + S ₄₄₂₁₁₁ + S ₄₃₃₂₁ + S ₄₃₂₂₂ + S ₄₃₂₂₁₁

26 の用語は次の 34 の表から取得されます。

....11 ....11 ....11 ....11 ....11 ....11 ....11 ....11 ....11    
...22 ...22 ...2 ...2 ...2 ...2 ... ...
.3 . .23 .2 .3 . .22 .2 .2     
       3 3 2 2 3 23 2      
                                   3 3

....1 ....1 ....1 ....1 ....1 ....1 ....1 ....1 ....1   
...12 ...12 ...12 ...12 ...2 ...1 ...1 ...2 ...1
.23 .2 .3 . .13 .22 .2 .1 .2      
       3 2 2 2 3 23 23 2
                     3 3

....1 ....1 ....1 ....1 ....1 ....1 ....1 ....1   
...2 ...2 ...2 ... ... ... ...    
.1 .3 . .12 .12 .1 .2 .2      
2 1 1 23 2 22 13 1
3 2 2 3 3 2 2
              3 3

.... .... .... .... .... .... ....   
...1 ...1 ...1 ...1 ...1 ... ...    
.12 .12 .1 .2 .2 .11 .1 .1      
23 2 22 13 1 22 12 12
       3 3 2 2 3 23 2
                            3 3

歪んだシュアー関数の計算も同様である。例えば、ν=5432およびλ=331の15のリトルウッド-リチャードソン表は、

...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11 .. .11 ...11 ...11
...2 ...2 ...2 ...2 ...2 ...2 ...2 ...2 ...2 ...2 ...2 ...2 .. .2 ...2 ...2
.11 .11 .11 .12 .11 .12 .13 .13 .23 .13 .13 .12 .12 .23 .23
12 13 22 12 23 13 12 24 14 14 22 23 33 13 34

したがってS _5432/331 = Σ c^νλμ
_​  S _μ = S ₅₂ + S ₅₁₁ + S ₄₁₁₁ + S ₂₂₂₁ + 2 S ₄₃ + 2 S ₃₂₁₁ + 2 S ₃₂₂ + 2 S ₃₃₁ + 3 S ₄₂₁ (Fulton 1997、p. 64)。

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• リトルウッド・リチャードソン則を用いてシュア関数の積を分解するオンラインプログラム