反応エンジン

ロケットエンジンや電気推進装置など、機内に推進剤を搭載するすべての反動エンジンでは、反動質量を加速するためにエネルギーの一部が消費される必要があります。すべてのエンジンはいくらかのエネルギーを浪費しますが、効率が100%であると仮定しても、エンジンには次の量のエネルギーが必要です。

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}MV_{e}^{2}}$

（ここでMは消費された推進剤の質量であり、${\displaystyle V_{e}}$は排気速度であり、これは単純に排気を加速させるエネルギーです。

ロケット方程式（最終的な機体にどれだけのエネルギーが蓄積されるかを示す）と上記の方程式（必要な総エネルギー量を示す）を比較すると、エンジンの効率が100%であっても、供給されたエネルギーのすべてが機体に蓄積されるわけではないことがわかる。実際、その一部、通常は大部分が排気ガスの運動エネルギーとして放出される。

特定の衝動（${\displaystyle I_{sp}}$）は固定されており、ミッションデルタVには特定の${\displaystyle I_{sp}}$ロケットが使用する総エネルギーを最小限に抑える。これは、ミッションデルタVの約3分の2の排気速度に相当する（ロケット方程式から計算されるエネルギーを参照）。イオン推進器のように比推力が高く固定されている推進器は、この理想値よりもはるかに高い排気速度を持つ可能性があり、結果として動力源に​​制限され、非常に低い推力しか得られない。例えば太陽光発電や原子力発電が使用される場合など、車両の性能が電力制限を受ける場合、大型ロケットの場合${\displaystyle v_{e}}$最大加速度はそれに反比例する。したがって、必要なデルタvに達するまでの時間はそれに比例する。${\displaystyle v_{e}}$したがって、後者は大きすぎないようにすべきである。

一方、排気速度を各瞬間において車両速度と等しく逆向きになるように変化させることができれば、エネルギー消費量を絶対的に最小化できる。これが実現すると、排気は空間内で停止し^{[注1 ]}、運動エネルギーを持たない。推進効率は100%となり、すべてのエネルギーが車両に伝達される（原理的にはこのような駆動方式は100%の効率となるが、実際には駆動システム内部からの熱損失や排気中の残留熱が発生する）。しかし、ほとんどの場合、この方式では非現実的な量の推進剤が必要となるが、理論的な考察としては有用である。

VASIMRや無電極プラズマスラスタなどの一部の推進装置は、実際に排気速度を大幅に変化させることができます。これにより、推進剤の使用量を削減し、飛行のさまざまな段階で加速を向上させることができます。しかし、最高のエネルギー性能と加速は、排気速度が機体速度に近い場合に得られます。提案されているイオン推進装置やプラズマ推進装置は、通常、理想的な速度よりもはるかに高い排気速度を持っています（VASIMRの場合、最も低い速度は約15 km/sですが、地球高軌道 から火星までのミッションのデルタVは約4 km/sです）。 

例えば、惑星からの打ち上げや惑星への着陸といったミッションでは、重力による引力や大気抵抗の影響を燃料を使って克服する必要があります。これらの影響やその他の影響を総合的に考慮して、有効なミッションデルタVを算出するのが一般的です。例えば、地球低軌道への打ち上げミッションでは、約9.3～10  km/sのデルタVが必要となります。これらのミッションデルタVは、通常、コンピュータ上で数値積分によって算出されます。

すべての反動機関は、主に熱として、ある程度のエネルギーを失う。

様々な反応エンジンは、それぞれ効率と損失が異なります。例えば、ロケットエンジンは、推進剤の加速という点では最大60～70%のエネルギー効率を発揮します。残りのエネルギーは、主に排気ガスとして、熱や熱放射として失われます。

反動エンジンは、車両が高速で走行しているときに反応物質を放出すると、エネルギー効率が向上する。

これは、発生する有効な機械エネルギーが単純に力×距離であるためであり、車両が移動中に推力が発生すると、次のようになるからです。

${\displaystyle E=F\times d\;}$

ここで、Fは力、dは移動距離である。

運動時間の長さで割ると次のようになります。

${\displaystyle {\frac {E}{t}}=P={\frac {F\times d}{t}}=F\times v}$

したがって：

${\displaystyle P=F\times v\;}$

ここで、Pは有効出力、vは速度である。

したがって、vはできるだけ高くする必要があり、静止したエンジンは有用な仕事をしません。^{[ NB 2 ]}

宇宙船の使用可能な推進剤すべてをエンジンを通して自由空間で直線的に消費すると、機体の正味速度変化が生じます。この数値はデルタvと呼ばれます（${\displaystyle \Delta v}$)

排気速度が一定の場合、合計${\displaystyle \Delta v}$車両の質量はロケット方程式を使用して計算できます。ここで、Mは推進剤の質量、Pはペイロードの質量 (ロケット構造を含む)、${\displaystyle v_{e}}$はロケット排気の速度です。これはツィオルコフスキーのロケット方程式として知られています。

$\displaystyle \Delta v=v_{e}\ln \left({\frac {M+P}{P}}\right).}$

歴史的な理由から、前述のとおり、${\displaystyle v_{e}}$時々次のように書かれる

${\displaystyle v_{e}=I_{\text{sp}}g_{0}}$

どこ${\displaystyle I_{\text{sp}}}$はロケットの比推力で、秒単位で測定され、${\displaystyle g_{0}}$海面における重力加速度は、

高デルタVミッションの場合、宇宙船の質量の大部分は反応質量である必要があります。ロケットは反応質量をすべて搭載する必要があるため、最初に消費される反応質量のほとんどは、ペイロードではなく加速反応質量に使われます。ロケットのペイロードの質量がPの場合、宇宙船は速度をΔVだけ変化させる必要があります。${\displaystyle \Delta v}$、ロケットエンジンの排気速度がv _eである場合、必要な反応質量M は、ロケット方程式と式を使用して計算できます。${\displaystyle I_{\text{sp}}}$:

${\displaystyle M=P\left(e^{\frac {\Delta v}{v_{e}}}-1\right).}$

のために${\displaystyle \Delta v}$v _eよりはるかに小さい場合、この方程式はほぼ線形であり、反応質量はほとんど必要ありません。${\displaystyle \Delta v}$速度がv _eに匹敵する場合、ペイロードと構造物（エンジン、燃料タンクなどを含む）の合計の約2倍の燃料が必要になります。これを超えると、増加率は指数関数的になります。排気速度をはるかに超える速度では、燃料質量とペイロードおよび構造物の質量の比率が非常に高くなります。

例えば、惑星からの打ち上げや惑星への着陸といったミッションでは、重力による引力や大気抵抗の影響を燃料を使って克服する必要があります。これらの影響やその他の影響を総合的に考慮して、有効なミッションデルタVを算出するのが一般的です。例えば、地球低軌道への打ち上げミッションでは、約9.3～10  km/sのデルタVが必要となります。これらのミッションデルタVは、通常、コンピュータ上で数値積分によって算出されます。

オーベルト効果などの一部の効果は、ロケットのような高推力エンジン、つまり高いG力（単位質量あたりの推力、単位時間あたりの速度変化に等しい）を発生させることができるエンジンによってのみ、効果的に利用することができます。

理想的な場合${\displaystyle m_{1}}$有用なペイロードであり、${\displaystyle m_{0}-m_{1}}$は反応質量です（これは空のタンクには質量がないなどに対応します）。必要なエネルギーは次のように簡単に計算できます。

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(m_{0}-m_{1})v_{\text{e}}^{2}}$

これは、噴射された反応質量が排気速度と同じ速度で持つ運動エネルギーに相当します。反応質量をゼロ速度から排気速度まで加速する必要がある場合、生成されたエネルギーはすべて反応質量に投入され、ロケットとペイロードの運動エネルギー獲得に使えるエネルギーは残りません。しかし、ロケットが既に動いて加速している場合（反応質量がロケットの進行方向とは逆方向に噴射される場合）、反応質量に追加される運動エネルギーは少なくなります。これを確認するには、例えば、${\displaystyle v_{e}}$ ロケットの速度が3 km/s で 、反応質量が 10 km/s の場合、少量の反応質量の速度は 前方に 3 km/sから 後方に 7 km/s に変化します。したがって、反応質量 1 kg あたりに必要なエネルギーは 50 MJ ですが、反応質量の速度増加に使用されるのは 20 MJ のみです。残りの 30 MJ は、ロケットとペイロードの運動エネルギーの増加に使用されます。

一般的に：

${\displaystyle d\left({\frac {1}{2}}v^{2}\right)=vdv=vv_{\text{e}}{\frac {dm}{m}}={\frac {1}{2}}\left[v_{\text{e}}^{2}-\left(v-v_{\text{e}}\right)^{2}+v^{2}\right]{\frac {dm}{m}}}$

したがって、任意の短い時間間隔におけるロケットの比エネルギー利得は、残りの燃料を含めたロケットのエネルギー利得をその質量で割ったものであり、エネルギー利得は燃料によって生成されたエネルギーから反応質量のエネルギー利得を差し引いたものに等しい。ロケットの速度が大きいほど、反応質量のエネルギー利得は小さくなる。ロケットの速度が排気速度の半分を超えると、反応質量は噴射される際にエネルギーを失い、ロケットのエネルギー利得に有利に働く。ロケットの速度が大きいほど、反応質量のエネルギー損失は大きくなる。

我々は持っています

${\displaystyle \Delta \epsilon =\int v\,d(\Delta v)}$

どこ${\displaystyle \epsilon }$はロケットの比エネルギー（位置エネルギー＋運動エネルギー）であり、${\displaystyle \Delta v}$は別の変数であり、単に変化ではありません。${\displaystyle v}$ロケットを減速に使用する場合、すなわち、反応質量を速度の方向に噴射する場合、${\displaystyle v}$否定的に捉えるべきである。

この式は、熱などによるエネルギー損失がない理想的な場合を想定したものであり、エネルギー損失は推力の低下につながるため、エネルギーを消費すること（減速）が目的であっても不利となる。

化学ロケットのように質量自体によってエネルギーが生成される場合、燃料の値は${\displaystyle \scriptstyle {v_{\text{e}}^{2}/2}}$燃料値については、酸化剤の質量も考慮に入れる必要がある。典型的な値は${\displaystyle v_{\text{e}}}$= 4.5  km/s、燃料値は10.1 MJ/kgに相当する。実際の燃料値はこれより高いが、ノズルが抽出できなかった エネルギーの大部分は排気ガス中の廃熱として失われる。

必要なエネルギー${\displaystyle E}$は

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}m_{1}\left(e^{\frac {\Delta v}{v_{\text{e}}}}-1\right)v_{\text{e}}^{2}}$

結論：

• のために${\displaystyle \Delta v\ll v_{e}}$我々は持っています${\displaystyle E\approx {\frac {1}{2}}m_{1}v_{\text{e}}\Delta v}$
• 特定の${\displaystyle \Delta v}$最小エネルギーは、${\displaystyle v_{\text{e}}=0.6275\Delta v}$エネルギーを必要とする

${\displaystyle E=0.772m_{1}(\デルタ v)^{2}}$。

一定方向への加速で、初速度がゼロから始まり、他の力が作用しない場合、これはペイロードの最終運動エネルギーよりも54.4%大きい値となる。この最適なケースでは、初期質量は最終質量の4.92倍となる。

これらの結果は、一定の排気速度を前提としています。

オーベルト効果と非ゼロ速度からの出発により、推進剤から必要な位置エネルギーは、機体とペイロードのエネルギー増加量よりも少なくなる可能性がある。これは、反応質量が噴射後に噴射前よりも速度が低下する場合に起こり得る。ロケットは、推進剤の初期運動エネルギーの一部または全部を放出することができる。

また、ある軌道から別の軌道へ移動するなどの特定の目的に対しては、必要な${\displaystyle \Delta v}$エンジンが生成できる速度に大きく依存する可能性がある${\displaystyle \Delta v}$また、そのレートが低すぎると、操縦が不可能になる可能性さえあります。たとえば、低地球軌道（LEO）への打ち上げには通常、${\displaystyle \Delta v}$約9.5  km/s（主に達成すべき速度のため）だが、エンジンが${\displaystyle \Delta v}$速度がわずかにgを超える程度であれば、非常に大きな速度が必要となる低速の打ち上げとなるだろう。${\displaystyle \Delta v}$（速度や高度を上げずにホバリングすることを想像してみてください。${\displaystyle \Delta v}$ 毎秒9.8 m/s の速度が${\displaystyle g}$それ以下では、このエンジンではその操縦は全く実行できません。

電力は次のように与えられる

${\displaystyle P={\frac {1}{2}}mav_{\text{e}}={\frac {1}{2}}Fv_{\text{e}}}$

どこ${\displaystyle F}$推進力と${\displaystyle a}$それによって生じる加速度。したがって、理論的に可能な単位出力あたりの推力は、2を比推力（m/s）で割った値となる。推力効率は、実際の推力をこの値に対する割合で表したものである。

例えば太陽光発電が使用される場合、これは制限する${\displaystyle a}$; 大規模な場合${\displaystyle v_{\text{e}}}$可能な加速度はそれに反比例するため、必要なデルタvに達するまでの時間はそれに比例する。${\displaystyle v_{\text{e}}}$100%の効率で：

• のために${\displaystyle \Delta v\ll v_{\text{e}}}$我々は持っています${\displaystyle t\approx {\frac {mv_{\text{e}}\Delta v}{2P}}}$

例：

• 出力：1000W  、質量： 100kg${\displaystyle \Delta v}$= 5  km/s、${\displaystyle v_{\text{e}}}$= 16  km/s、所要時間1.5ヶ月。
• 出力：1000W  、質量： 100kg${\displaystyle \Delta v}$= 5  km/s、${\displaystyle v_{\text{e}}}$= 時速50kmで、5ヶ月かかる。

したがって${\displaystyle v_{\text{e}}}$大きすぎない方が良い。

推力比は単純に次の通りです。^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\frac {P}{F}}={\frac {{\frac {1}{2}}{{\dot {m}}v^{2}}}{{\dot {m}}v}}={\frac {1}{2}}v}$

したがって、任意の車両出力Pに対して、発生しうる推力は次のようになる。

${\displaystyle F={\frac {P}{{\frac {1}{2}}v}}={\frac {2P}{v}}}$

10,000  kgの宇宙探査機を火星に送ると仮定します。必要な${\displaystyle \Delta v}$低軌道からの速度は、ホーマン遷移軌道を使用した場合、約3000m  /sです。議論のために、以下のスラスタが使用可能なオプションであると仮定します。

燃料効率の高いエンジンは、はるかに少ない燃料で済むことに注目してください。一部のエンジンでは、その質量は（ペイロードとエンジン自体の質量に比べて）ほぼ無視できるほど小さいです。しかし、これらのエンジンは総エネルギー量が非常に大きいです。地球からの打ち上げでは、エンジンの推力重量比は1以上である必要があります。イオン推進や、より理論的な電気推進でこれを実現するには、エンジンに1～数ギガワットの電力を供給する必要があり、これは大都市の大規模発電所に匹敵します。表からわかるように、これは現在の電源では明らかに非現実的です。

代替案としては、レーザー推進方式が挙げられます。この方式では、反応質量が加速に必要なエネルギーを供給するのではなく、外部のレーザーやその他のビーム駆動推進システムからエネルギーが供給されます。これらの概念に基づいた小型モデルは飛行に成功していますが、技術的な課題は複雑であり、地上電源システムも未解決の問題です。

その代わりに、はるかに小型で出力の低い発電機が搭載される可能性があり、必要な総エネルギーを生成するのに非常に長い時間がかかります。この低い出力では、毎秒ごくわずかな量の燃料を加速させるのにしか十分ではなく、地球からの打ち上げには不十分です。しかし、摩擦のない軌道上で長期間過ごすと、最終的には速度に達します。例えば、SMART-1が月に到達するのに1年以上かかりましたが、化学ロケットでは数日で済みます。イオン推進は必要な燃料がはるかに少ないため、打ち上げられる総質量は通常少なくなり、結果として全体的なコストは低くなりますが、移動には時間がかかります。

したがって、ミッション計画では、プロジェクトの総コストを最小限に抑えるために推進システムを調整および選択することが頻繁に行われ、打ち上げコストとミッション期間をペイロードの割合とトレードオフすることになる場合がある。