量子速度の限界

量子力学において、量子速度限界（QSL）とは、量子系が2つの区別可能な（直交する）状態間を進化するのにかかる最小時間の制限である。^[1] QSL定理は、時間とエネルギーの不確定性関係と密接に関連している。1945年、レオニード・マンデリシュタムとイゴール・タムは、エネルギー分散の観点から進化の速度を制限する時間とエネルギーの不確定性関係を導いた。^[2]半世紀以上経って、ノーマン・マーゴラスとレフ・レビティンは、進化の速度が平均エネルギーを超えることはできないことを示しました。 ^[3]この結果は、マーゴラス・レビティン定理として知られています。環境と接触する現実的な物理系は開放量子系として知られており、その進化もQSLの影響を受けます。^{[4] [5]}驚くべきことに、非マルコフダイナミクスなどの環境効果が量子プロセスを加速できることが示され、^[6]これは空洞QED実験で検証されました。^[7]

QSLは計算の限界^{[8] [9]}と複雑性を探るために使われてきました。2017年には、高温の量子発振器でQSLが研究されました。^[10] 2018年には、QSLは量子領域に限定されず、同様の境界が古典システムでも成り立つことが示されました。^{[11] [12]} 2021年には、マンデルシュタム-タムとマーゴラス-レビティンのQSL境界の両方が単一の実験で同時にテストされ^[13]、「マンデルシュタム-タムの限界が常に進化を制約する領域と、より長い時間でマーゴラス-レビティンの限界へのクロスオーバーが発生する領域の2つの異なる領域」があることが示されました。

速度制限定理は、純粋状態および混合状態に対して述べることができます。純粋状態の場合は、より単純な形になります。任意の純粋状態は、エネルギー固有状態の線形結合として表すことができます。

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{n}c_{n}|E_{n}\rangle .}$

課題は、初期状態が に直交する状態に進化するのに必要な時間間隔の下限値を提供することです。純粋状態の時間発展は、シュレーディンガー方程式によって与えられます。 ${\displaystyle t_{\perp}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi _{t}\rangle =\sum _{n}c_{n}e^{itE_{n}/\hbar }|E_{n}\rangle .}$

直交性は、

${\displaystyle \langle \psi _{0}|\psi _{t}\rangle =0}$

この条件を達成するために必要な最小の時間間隔は直交化間隔^{[2]または直交化時間[14]}と呼ばれます。${\displaystyle t=t_{\perp}}$

純粋状態の場合、マンデルシュタム・タムの定理によれば、状態が直交状態に進化するのに必要な 最小時間は以下のように制限されます。${\displaystyle t_{\perp}}$

${\displaystyle t_{\perp }\geq {\frac {\pi \hbar }{2\,\delta E}}={\frac {h}{4\,\delta E}}}$、

どこ

${\displaystyle (\delta E)^{2}=\left\langle \psi |H^{2}|\psi \right\rangle -(\left\langle \psi |H|\psi \right\rangle ) ^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{n,m}|c_{n}|^{2}|c_{m}|^{2}(E_{n}-E_{m})^{2}}$、

はシステムのエネルギーの分散であり、はハミルトニアン演算子です。量子発展は、量子システムを射影ヒルベルト空間内の与えられた曲線に沿って運ぶために使用される特定のハミルトニアンに依存しません。この曲線に沿った距離は、フビニ・スタディ計量によって測定されます。^[15]これは、初期状態と最終状態の内積の逆コサインとして理解できるため、 量子角と呼ばれることもあります。${\displaystyle H}$

マンデルシュタム-タム限界は、混合状態および時間変動ハミルトニアンに対しても成立する。この場合、フビニ-スタディ計量の代わりにビュール計量を用いる必要がある。混合状態は、古典的確率で重み付けされた純粋状態の総和として理解することができる。同様に、ビュール計量はフビニ-スタディ計量の重み付けされた総和である。時間変動ハミルトニアンおよび時間変動密度行列の場合、エネルギーの分散は次のように与えられる。 ${\displaystyle H_{t}}$ ${\displaystyle \rho_{t},}$

${\displaystyle \sigma _{H}^{2}(t)=|{\text{tr}}(\rho _{t}H_{t}^{2})|-|{\text{tr}}(\rho _{t}H_{t})|^{2}}$

マンデルシュタム-タム極限は次の形をとる。

${\displaystyle \int _{0}^{\tau }\sigma _{H}(t)dt\geq \hbar D_{B}(\rho _{0},\rho _{\tau })}$、

ここで、は開始状態と終了状態の間のビュレス距離です。ビュレス距離は測地線で、2点を結ぶ連続曲線の最短距離を与えます。これは、によってパラメータ化された曲線に沿った無限小経路長として理解されます。同様に、から への進化にかかる時間は次のように制限されます。 ${\displaystyle D_{B}}$${\displaystyle \sigma _{H}(t)}$${\displaystyle t.}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \rho '}$

${\displaystyle \tau \geq {\frac {\hbar }{{\overline {\sigma }}_{H}}}D_{B}(\rho ,\rho ')}$

どこ

${\displaystyle {\overline {\sigma }}_{H}={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\sigma _{H}(t)dt}$

はエネルギーの時間平均不確実性である。時間変動ハミルトニアンの下で発展する純粋状態の場合、ある純粋状態からそれと直交する別の純粋状態へ発展するのにかかる時間は次のように制限される^[16]${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle \tau \geq {\frac {\hbar }{{\overline {\sigma }}_{H}}}{\frac {\pi }{2}}}$

これに従うと、純粋状態の場合、密度行列が得られます。量子角 (Fubini-Study 距離) は、したがって、初期状態と最終状態が直交する場合である と結論付けられます。${\displaystyle \rho _{t}=|\psi _{t}\rangle \langle \psi _{t}|.}$${\displaystyle D_{B}(\rho _{0},\rho _{t})=\arccos |\langle \psi _{0}|\psi _{t}\rangle |}$${\displaystyle D_{B}=\arccos 0=\pi /2}$

純粋状態の場合、マーゴラスとレヴィティン^[3]は異なる限界値を得ており、

${\displaystyle \tau _{\perp }\geq {\frac {h}{4\langle E\rangle }},}$

ここで平均エネルギーです。 この形式は、ハミルトニアンが時間依存せず、基底状態エネルギーがゼロと定義されている場合に適用されます。 ${\displaystyle \langle E\rangle }$$${\displaystyle \langle E\rangle =E_{\text{avg}}=\langle \psi |H|\psi \rangle =\sum _{n}|c_{n}|^{2}E_{n} 。}$$

マーゴラス・レヴィティンの定理は、ハミルトニアンが時間とともに変化し、システムが混合状態によって記述される場合にも一般化できる。^[16]この形式では、

${\displaystyle \int _{0}^{\tau }|{\text{tr}}(\rho _{t}H_{t})|dt\geq \hbar D_{B}(\rho _{0},\rho _{\tau })}$

基底状態は常にエネルギーがゼロになるように定義されます。

これは時間変動状態に対する結果を提供する。混合状態に対する境界も提供するが、境界（混合状態に対する）は情報に乏しいほど緩い可能性がある。^[17]マーゴラス・レビティン定理は、断熱ケースを除いて、ハミルトニアンは任意の時間依存パラメータによって駆動される時間依存量子システムではまだ確立されていない。^[18]${\displaystyle H_{t}}$

元々のマーゴラス・レビチン限界に加えて、エネルギースペクトルが制限された量子システムには二重の限界が存在する。この二重の限界はネス・アルベルティ・サギ限界またはネス限界とも呼ばれ、状態の平均エネルギーと最も占有されている固有状態のエネルギーの差に依存する。制限されたシステムでは、状態が直交状態に進化するのに必要な 最小時間は、${\displaystyle \tau_{\perp}}$

${\displaystyle \tau _{\perp }\geq {\frac {h}{4(E_{\max }-\langle E\rangle )}},}$

ここで、は最も占有されている固有状態のエネルギーであり、は状態の平均エネルギーである。この境界は、元のマーゴラス・レビチン限界とマンデルシュタム・タム限界を補完し、量子進化速度に対する3つの制約を形成します。^[19]${\displaystyle E_{\max}}$${\displaystyle \langle E\rangle }$

2009年のレブ・B・レヴィティンとトマソ・トフォリによる結果では、マンデルシュタム・タム定理の厳密な境界は量子ビット状態でのみ達成されるとしている。^{[14]これは}、等価重ね合わせの2レベル状態である。

${\displaystyle \left|\psi _{q}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|E_{0}\right\rangle +e^{i\varphi }\left|E_{1}\right\rangle \right)}$

エネルギー固有状態およびに対して、状態およびはエネルギーレベルの退化と任意の位相因子を除いて一意です。この結果は、この状態が、およびという点でマーゴラス-レビチン境界も満たすという点で明確です。この結果により、組み合わされた極限が厳密であることが証明されます。 ${\displaystyle E_{0}=0}$${\displaystyle E_{1}=\pm \pi \hbar /\Delta t}$${\displaystyle \left|E_{0}\right\rangle }$${\displaystyle \left|E_{1}\right\rangle }$${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle \varphi .}$${\displaystyle E_{\text{avg}}=\delta E}$${\displaystyle t_{\perp }=\hbar \pi /2E_{\text{avg}}=\hbar \pi /2\delta E.}$

${\displaystyle t_{\perp }\geq \max \left({\frac {\pi \hbar }{2\,\delta E}}\;,\;{\frac {\pi \hbar }{2\,E_{\text{avg}}}}\right)}$

レビティンとトフォリは、平均エネルギーの最大値に対する境界も与えている。任意の純粋状態において、平均エネルギーは次のように制限される。 ${\displaystyle \left|\psi \right\rangle ,}$

${\displaystyle {\frac {E_{\text{max}}}{4}}\leq E_{\text{avg}}\leq {\frac {E_{\text{max}}}{2}}}$

ここで、はに現れる最大エネルギー固有値である（これは、複素射影空間に移植された、1/4ピンチ球面定理の変形である）。したがって、次の境界が得られる。 ${\displaystyle E_{\text{max}}}$${\displaystyle \left|\psi \right\rangle .}$

${\displaystyle {\frac {\pi \hbar }{E_{\text{max}}}}\leq t_{\perp }\leq {\frac {2\pi \hbar }{E_{\text{max}}}}}$

厳密な下限は、の量子ビット状態に対して再び達成されます 。 ${\displaystyle E_{\text{max}}t_{\perp }=\pi \hbar }$${\displaystyle \left|\psi _{q}\right\rangle }$${\displaystyle E_{\text{max}}=E_{1}}$

量子速度限界の境界は、計算を実行できる上限を定める。計算機械は量子力学に従う物理的物質から構成され、各操作が明確であるためには、システムのある状態から直交状態への遷移でなければならない。計算機械が、時間とともに変化しないハミルトニアンの下で進化する物理的システムであると仮定する。この場合、マーゴラス・レヴィチン定理によれば、単位時間当たりの単位エネルギー当たりの演算数は、

${\displaystyle {\frac {2}{\hbar \pi }}=6\times 10^{33}\mathrm {s} ^{-1}\cdot \mathrm {J} ^{-1}}$

これにより、物質が実行できる計算回数に厳密な上限が設定されます。あらゆる計算の処理速度は、 1ジュールのエネルギーあたり毎秒約6×10 ³³回を超えることはできません。これには「古典的な」コンピュータも含まれます。なぜなら、古典的なコンピュータでさえ、量子力学に従う物質でできているからです。^{[20] [21]}

この限界は単なる空想上の限界ではなく、量子耐性暗号に実際的な影響を及ぼします。この限界で動作するコンピューターを想像すると、 128 ビットの暗号化キーを破るための総当たり攻撃には、わずかなリソースしか必要ありません。256 ビットのキーを総当たり攻撃するには惑星規模のコンピューターが必要ですが、512 ビットのキーを総当たり攻撃するのは、たとえ銀河規模のコンピューターを問題に適用したとしても、宇宙の寿命内では事実上不可能です。

ベッケンシュタイン限界は、ある体積の空間内に格納できる情報量を制限します。その体積の空間内での情報の最大変化率は、量子速度限界によって与えられます。この限界の積は、ブレーマーマン・ベッケンシュタイン限界と呼ばれることもあります。これは、ホーキング放射によって飽和します。^[1]つまり、ホーキング放射は、これらの限界によって設定された最大許容速度で放射されます。

• Jordan, Stephen P. (2017). 「任意の低エネルギーでの高速量子計算」. Physical Review A. 95 ( 3): 032305. arXiv : 1701.01175 . Bibcode :2017PhRvA..95c2305J. doi :10.1103/PhysRevA.95.032305. S2CID  118953874.
• Sinitsyn, Nikolai A. (2018). 「計算速度に量子限界はあるか?」Physics Letters A . 382 (7): 477–481. arXiv : 1701.05550 . Bibcode :2018PhLA..382..477S. doi :10.1016/j.physleta.2017.12.042. S2CID  55887738.