分位点パラメータ化分布

区別する${\displaystyle x=F^{-1}(y)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}g_{i}(y)}$に関して${\displaystyle y}$収量${\displaystyle dx/dy}$この量の逆数、${\displaystyle dy/dx}$は確率密度関数（PDF）です。

$${\displaystyle f(y)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}{{dg_{i}(y)} \over {dy}}\right)^{-1}}$$

どこ${\displaystyle 0<y<1}$なお、この確率密度関数は累積確率の関数として表されます。${\displaystyle y}$それよりも${\displaystyle x}$図に示すように、これをプロットするには、${\displaystyle y\in (0,1)}$パラメトリックにプロットします。${\displaystyle x=F^{-1}(y)}$水平軸上に${\displaystyle f(y)}$縦軸上に。

の形の関数${\displaystyle F^{-1}(y)}$は実行可能な確率分布であるのは、${\displaystyle f(y)>0}$すべての人々のために${\displaystyle y\in (0,1)}$[ ^{4 ]}これは係数の集合に対する実現可能性制約を意味^する${\displaystyle {\boldsymbol {a}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$:

$$\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}{{dg_{i}(y)} \over {dy}}>0}$$すべての人々のために${\displaystyle y\in (0,1)}$

実際の応用においては、実現可能性は一般的に仮定するのではなく、検証する必要がある。

QPDの実行可能な係数のセット${\displaystyle S_{\boldsymbol {a}}=\{{\boldsymbol {a}}\in \mathbb {R} ^{n}\mid \sum _{i=1}^{n}a_{i}dg_{i}(y)/dy>0}$ すべての人々のために${\displaystyle y\in (0,1)\}}$凸である。凸最適化には凸実行可能集合が必要となるため、この性質はQPDを含む最適化アプリケーションを簡素化する。

係数${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$線形最小二乗法によってデータから決定できる。${\displaystyle m}$データポイント${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$QPDのCDFを特徴づけることを目的としたものであり、${\displaystyle m\times n}$マトリックス${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}$その要素は${\displaystyle g_{j}(y_{i})}$ならば、${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}^{T}{\boldsymbol {Y}}}$係数の列ベクトルは可逆である。${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$次のように決定できます${\displaystyle {\boldsymbol {a}}=({\boldsymbol {Y}}^{T}{\boldsymbol {Y}})^{-1}{\boldsymbol {Y}}^{T}{\boldsymbol {x}}}$、 どこ${\displaystyle m\geq n}$列ベクトル${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},\ldots ,x_{m})}$。 もし${\displaystyle m=n}$この式は、${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {Y}}^{-1}{\boldsymbol {x}}}$結果として得られる累積分布関数 (CDF) は、すべてのデータポイントを正確に通過します。線形計画法として実装される別の方法では、実現可能性制約の下で、CDF とデータ間の絶対距離の合計を最小化することによって係数を決定します。^{[ 6 ]}

QPD${\displaystyle n}$条件、${\displaystyle n\geq 2}$、 もっている${\displaystyle n-2}$形状パラメータ。したがって、QPD は、最大で 2 つの形状パラメータを持つピアソン分布よりもはるかに柔軟です。たとえば、30 の従来のソース分布 (正規分布、スチューデント t 分布、対数正規分布、ガンマ分布、ベータ分布、極値分布を含む) からの 105 個の CDF ポイントでパラメータ化された 10 項メタログ分布は、 K-S距離が 0.001 以下で、そのような各ソース分布を近似することが示されています。 ^{[ 7 ]}

QPD変換は、分位関数の一般的な性質によって支配されます。任意の分位関数に対して${\displaystyle x=Q(y)}$機能の向上${\displaystyle t(x),x=t^{-1}(Q(y))}$は分位関数である。^{[ 8 ]}例えば、正規分布の分位関数は、${\displaystyle x=\mu +\sigma \Phi ^{-1}(y)}$は、キーリンとパウリーの定義による QPD です。自然対数、${\displaystyle t(x)=\ln(x-b_{l})}$は増加関数なので、${\displaystyle x=b_{l}+e^{\mu +\sigma \Phi ^{-1}(y)}}$は、下限を持つ対数正規分布の分位関数です。${\displaystyle b_{l}}$重要なことに、この変換は、無制限の QPD を半無制限の QPD に変換します。同様に、この対数変換を無制限の金属分布^{[ 9 ]}に適用すると、半無制限の (対数) 金属分布が得られます。^{[ 10 ]}同様に、ロジット変換を適用すると、${\displaystyle t(x)=\ln((x-b_{l})/(b_{u}-x))}$、下限と上限を持つ有界（ロジット）メタログ分布^{[ 10 ]が得られます。}${\displaystyle b_{l}}$そして${\displaystyle b_{u}}$それぞれ。さらに、${\displaystyle t(x)}$である${\displaystyle F^{-1}(y)}$分散型${\displaystyle F^{-1}(y)}$キーリンとパウリーの定義を満たす任意のQPDにおいて、変換された変数は、実現可能性、凸性、およびデータへの適合性といった上記の特性を維持します。このような変換されたQPDは、元のQPDよりも形状の柔軟性が高くなります。${\displaystyle F^{-1}(y)}$これには${\displaystyle n-2}$形状パラメータ; 対数変換は${\displaystyle n-1}$形状パラメータ、そしてロジット変換は${\displaystyle n}$形状パラメータ。さらに、このような変換された QPD は、基となる変換されていない QPD と同じ実行可能な係数のセットを共有します。^{[ 11 ]}

の${\displaystyle k^{th}}$QPD のモーメントは次のとおりです。^{[ 4 ]}

$${\displaystyle E[x^{k}]=\int _{0}^{1}\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}g_{i}(y)\right)^{k}dy}$$

このようなモーメントが閉じた形で存在するかどうかは、QPD基底関数の選択に依存する。${\displaystyle g_{i}(y)}$非有界金属分布と多項式QPDは、係数の関数としてモーメントが閉形式で存在するQPDの例である。${\displaystyle a_{i}}$。

分位関数${\displaystyle x=F^{-1}(y)}$は閉じた形で表現され、キーリンとパウリーのQPDはモンテカルロシミュレーションを容易にします。一様分布のランダムサンプルを代入すると、${\displaystyle y}$ランダムサンプルを生成する${\displaystyle x}$閉じた形式で表され、CDF を逆算する必要がなくなります。${\displaystyle y=F(x)}$。