プトレマイオスの弦表

紀元2世紀にエジプトでギリシャの天文学者、幾何学者、地理学者プトレマイオスによって作成された弦表は、プトレマイオスの数学天文学に関する論文『アルマゲスト』第1巻第11章にある三角関数表である^{[ 1 ]} 。これは基本的に正弦関数の値の表に相当する。これは、天文学を含む多くの実用的な目的に十分なほど広範な最初期の三角関数表であった（ヒッパルコスによる以前の弦表は、7 + 1 / 2 ° = π / 24ラジアンの倍数である弧の弦のみを示した）^{[ 2 ] 。8世紀と9世紀以降、正弦関数やその他の三角関数}は イスラムの数学と天文学で使用され、正弦表の作成を改革した。^{[ 3 ]}後にフワーリズミーとハバシュ・アル＝ハーシブは三角関数表を作成した。  

円の弦とは、両端が円周上にある線分のことです。プトレマイオスは直径が120分の1の円を用いました。彼は、両端がn度の弧で隔てられている弦の長さを、1 / 2から180まで1/2刻みで表にまとめました。現代の表記では、 θ度の弧に対応する弦の長さは    

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {chord} (\theta )=120\sin \left({\frac {\theta ^{\circ }}{2}}\right)\\={}&60\cdot \left(2\sin \left({\frac {\pi \theta }{360}}{\text{ radians}}\right)\right).\end{aligned}}}$

θが0から180まで変化すると、 θ °の弧の弦の長さは0から120まで変化します 。小さな弧の場合、弦の長さは弧の角度（度）に対してπと3の比に等しくなります。より正確には、この比はπ / 3にいくらでも 近づけることができます。  1.047 197 55 は、θ を十分に小さくすることによって得られます。したがって、1/2 °の弧の場合、弦の長さは弧の角度（度）よりわずかに長くなります。弧が大きくなるにつれて、弦と弧の比率は小さくなります。弧が60°に達すると、弦の長さは弧の度数と完全に等しくなります。つまり、弦60° = 60 です。60° を超える弧の場合、弦は弧より短くなりますが、180° の弧に達すると弦は120 になります。    

弦の長さの小数部分は、六十進法（60進法）で表されます。たとえば、112°の弧によって張られる弦の長さが99,29,5と報告されている場合、その長さは

${\displaystyle 99+{\frac {29}{60}}+{\frac {5}{60^{2}}}=99.4847{\overline {2}},}$

最も近い1/60 2^{に四捨五入}します。[ ^{1 ]} 

弧と弦の列の後に、3番目の列には「60分の1」というラベルが付いています。θ°の弧の場合、「60分の1」列のエントリは次のようになります。 

${\displaystyle {\frac {\operatorname {chord} \left(\theta +{\tfrac {1}{2}}^{\circ }\right)-\operatorname {chord} \left(\theta ^{\circ }\right)}{30}}.}$

これは、θ° のエントリと (θ + 1/2 ) °のエントリの間で、角度が 1 分弧増加するたびに弦 ( θ °) に追加しなければならない単位の 60 分の平均値です。したがって、これは線形補間に使用されます。Glowatzki と Göttsche は、プトレマイオスが「60分の」列に見られる精度を達成するために、弦を 60 進数の 5 桁まで計算したに違いないことを示しました。 ^{[ 4 ] [ 5 ]}    

${\displaystyle {\begin{array}{|l|rrr|rrr|}\hline {\text{arc}}^{\circ }&{\text{chord}}&&&{\text{sixtieths}}&&\\\hline {}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\tfrac {1}{2}}&0&31&25&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,1&1&2&50&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,1{\tfrac {1}{2}}&1&34&15&0\quad 1&2&50\\{}\,\,\,\,\,\,\,\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\109&97&41&38&0\quad 0&36&23\\109{\tfrac {1}{2}}&97&59&49&0\quad 0&36&9\\110&98&17&54&0\quad 0&35&56\\110{\tfrac {1}{2}}&98&35&52&0\quad 0&35&42\\111&98&53&43&0\quad 0&35&29\\111{\tfrac {1}{2}}&99&11&27&0\quad 0&35&15\\112&99&29&5&0\quad 0&35&1\\112{\tfrac {1}{2}}&99&46&35&0\quad 0&34&48\\113&100&3&59&0\quad 0&34&34\\{}\,\,\,\,\,\,\,\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\179&119&59&44&0\quad 0&0&25\\179{\frac {1}{2}}&119&59&56&0\quad 0&0&9\\180&120&0&0&0\quad 0&0&0\\\hline \end{array}}}$

 アルマゲスト第1巻第10章では、弦を計算するために用いられる幾何学的定理が紹介されている。プトレマイオスは、ユークリッド原論第13 巻命題10に基づく幾何学的推論を用いて、 72°と36°の弦を求めた。この命題は、正五角形が円に内接する場合、その五角形の辺上の正方形の面積は、同じ円に内接する六角形と十角形の辺上の正方形の面積の合計に等しい、と述べている。  

彼は円に内接する四角形に関するプトレマイオスの定理を用いて、半弧の弦、2つの弧の和の弦、および2つの弧の差の弦の公式を導出した。この定理は、円に内接する四角形の場合、対角線の長さの積は、対向する2組の長さの積の和に等しいと述べている。三角関数の恒等式の導出は、 1辺が円の直径である円に内接する四角形に基づいている。

1°と1 / 2 °の弧の弦を求めるために、彼はアリスタルコスの不等式に基づく近似値を使用した。この不等式は、弧αとβについて、0 < β < α < 90°の場合、      

${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}<{\frac {\alpha }{\beta }}<{\frac {\tan \alpha }{\tan \beta }}.}$

プトレマイオスは、1°と1 / 2 °の弧の場合、近似値は整数部分の後の60進数の最初の2桁を正しく与えることを示した。

円弧の長さ（度）と弦の長さの整数部分は、次の表に示す意味を持つギリシャ語アルファベットの 21 文字と、 1 / 2を意味する記号「∠′」、空白を埋める隆起した円「○」（実質的にゼロを表す）を使用した10進法で表されました。下の表で「古語」とラベル付けされている 3 つの文字は、アルマゲストが書かれる数世紀の前からギリシャ語では使用されなくなっていましたが、数字や音符としてはまだ使用されていました。

${\displaystyle {\begin{array}{|rlr|rlr|rlr|}\hline \alpha &\mathrm {alpha} &1&\iota &\mathrm {iota} &10&\rho &\mathrm {rho} &100\\\beta &\mathrm {beta} &2&\kappa &\mathrm {kappa} &20&\sigma &\mathrm {sigma} &200\\\gamma &\mathrm {gamma} &3&\lambda &\mathrm {lambda} &30&\tau &\mathrm {tau} &300\\\delta &\mathrm {delta} &4&\mu &\mathrm {mu} &40&\upsilon &\mathrm {upsilon} &400\\\varepsilon &\mathrm {epsilon} &5&\nu &\mathrm {nu} &50&\varphi &\mathrm {phi} &500\\\mathrm {\stigma} &\mathrm {stigma\ (archaic)} &6&\xi &\mathrm {xi} &60&\chi &\mathrm {chi} &600\\\zeta &\mathrm {zeta} &7&o&\mathrm {omicron} &70&\psi &\mathrm {psi} &700\\\eta &\mathrm {eta} &8&\pi &\mathrm {pi} &80&\omega &\mathrm {omega} &800\\\theta &\mathrm {theta} &9&\mathrm {\koppa} &\mathrm {koppa\ (archaic)} &90&\mathrm {\sampi} &\mathrm {sampi\ (archaic)} &900\\\hline \end{array}}}$

したがって、例えば 143 + 1/2 ° の弧はρμγ ∠ ′と表されます。（表は180 ° までしか対応していないため、200 以上のギリシャ数字は使用されません。）

弦の長さの小数部分は高い精度が求められ、表の 2 つの列に60 進法で示されました。最初の列は0 ～ 59 の範囲で 1 / 60 の整数倍を示し、2 番目の列は同じく0 ～59 の範囲で 1 / 60 2 = 1 / 3600^の整数倍を示します。  

したがって、ハイベルク版のアルマゲスト（48～63ページに弦の表が掲載されている）では、1 /2°から7 + 1 / 2 °までの弧に対応する表の冒頭部分は次のようになっている。

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\pi \varepsilon \rho \iota \varphi \varepsilon \rho \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &\varepsilon {\overset {\text{'}}{\upsilon }}\theta \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &{\overset {\text{‘}}{\varepsilon }}\xi \eta \kappa o\sigma \tau {\tilde {\omega }}\nu \\{\begin{array}{|l|}\hline \quad \angle '\\\alpha \\\alpha \;\angle '\\\hline \beta \\\beta \;\angle '\\\gamma \\\hline \gamma \;\angle '\\\delta \\\delta \;\angle '\\\hline \varepsilon \\\varepsilon \;\angle '\\\mathrm {\stigma} \\\hline \mathrm {\stigma} \;\angle '\\\zeta \\\zeta \;\angle '\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|}\hline \circ &\lambda \alpha &\kappa \varepsilon \\\alpha &\beta &\nu \\\alpha &\lambda \delta &\iota \varepsilon \\\hline \beta &\varepsilon &\mu \\\beta &\lambda \zeta &\delta \\\gamma &\eta &\kappa \eta \\\hline \gamma &\lambda \theta &\nu \beta \\\delta &\iota \alpha &\iota \mathrm {\stigma} \\\delta &\mu \beta &\mu \\\hline \varepsilon &\iota \delta &\delta \\\varepsilon &\mu \varepsilon &\kappa \zeta \\\mathrm {\stigma} &\iota \mathrm {\stigma} &\mu \theta \\\hline \mathrm {\stigma} &\mu \eta &\iota \alpha \\\zeta &\iota \theta &\lambda \gamma \\\zeta &\nu &\nu \delta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|r|}\hline \circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\nu \\\hline \circ &\alpha &\beta &\nu \\\circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \eta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \zeta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \zeta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \mathrm {\stigma} \\\circ &\alpha &\beta &\mu \varepsilon \\\circ &\alpha &\beta &\mu \delta \\\hline \circ &\alpha &\beta &\mu \gamma \\\circ &\alpha &\beta &\mu \beta \\\circ &\alpha &\beta &\mu \alpha \\\hline \end{array}}\end{array}}}$

表の後半では、弧の整数部分と弦の長さを表す数字が10進法であることがわかります。したがって、85°の弧はπε（πは80、ε は5）と表記され、60 + 25には分解されません 。対応する弦の長さは81に小数部分を加えたものです。整数部分はπαで始まり、同様に60  +  21には分解されません。しかし、小数部分は、${\textstyle {\tfrac {4}{60}}+{\tfrac {15}{60^{2}}}}$は、 1 / 60 の列でδと書かれ、続いて1/60 ^{2 の}列でιεと書かれ、15 と書かれます。

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\pi \varepsilon \rho \iota \varphi \varepsilon \rho \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &\varepsilon {\overset {\text{'}}{\upsilon }}\theta \varepsilon \iota {\tilde {\omega }}\nu &{\overset {\text{‘}}{\varepsilon }}\xi \eta \kappa o\sigma \tau {\tilde {\omega }}\nu \\{\begin{array}{|l|}\hline \pi \delta \angle '\\\pi \varepsilon \\\pi \varepsilon \angle '\\\hline \pi \mathrm {\stigma} \\\pi \mathrm {\stigma} \angle '\\\pi \zeta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|}\hline \pi &\mu \alpha &\gamma \\\pi \alpha &\delta &\iota \varepsilon \\\pi \alpha &\kappa \zeta &\kappa \beta \\\hline \pi \alpha &\nu &\kappa \delta \\\pi \beta &\iota \gamma &\iota \theta \\\pi \beta &\lambda \mathrm {\stigma} &\theta \\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|r|r|r|r|}\hline \circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\kappa \varepsilon \\\circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\iota \delta \\\circ &\circ &\mu \mathrm {\stigma} &\gamma \\\hline \circ &\circ &\mu \varepsilon &\nu \beta \\\circ &\circ &\mu \varepsilon &\mu \\\circ &\circ &\mu \varepsilon &\kappa \theta \\\hline \end{array}}\end{array}}}$

この表は 8ページにわたって各ページに45行ずつ、合計360 行あります。

• アーリヤバタの正弦表
• 割線
• 『天文学の基礎』は、正弦関数の正確な計算アルゴリズムを解説した書籍で、1500年代後半に出版された。
• ギリシャの数学
• マダヴァの正弦表
• プトレマイオス
• コードのスケール
• ヴェルシン

• アーボー、アスガー（1997）、『数学の初期の歴史からのエピソード』、アメリカ数学協会、ISBN 978-0-88385-613-0
• クラゲット、マーシャル（2002）、『古代ギリシャ科学』、クーリエ・ドーバー出版、ISBN 978-0-8369-2150-2
• オットー・ノイゲバウアー(1975)、古代数学天文学の歴史、シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-06995-1
• オラフ・ペダーセン（1974）『アルマゲスト概説』オーデンセ大学出版局ISBN 87-7492-087-1
• サーストン、ヒュー（1996）、『初期天文学』、シュプリンガー、ISBN 978-0-387-94822-5

• JL Heiberg著『アルマゲスト』、48～63ページにコード表あり。
• グレン・エラート著『プトレマイオスの弦表：2世紀の三角法』
• インターネットアーカイブには、ギリシャ語とフランス語の『Almageste』が掲載されています。