コックスの定理

コックスの定理は、物理学者リチャード・スレルケルド・コックスにちなんで名付けられ、特定の一連の公理から確率論の法則を導出したものである。^{[1] [2]}コックスの定理によって導出された確率の法則はあらゆる命題に適用できるため、この導出はいわゆる「論理的」な確率の解釈を正当化する。論理的確率（客観的ベイズ確率とも呼ばれる）はベイズ確率の一種である。主観的解釈などのベイズ主義の他の形式には、別の正当化が与えられている。

コックス氏は、システムが以下の条件を満たすことを望んでいました。

1. 割り切れる可能性と比較可能性 –命題の妥当性は実数であり、命題に関連して私たちが持っている情報に依存します。
2. 常識 – 妥当性は、モデル内の妥当性の評価に応じて適切に変化するはずです。
3. 一貫性 – 命題の妥当性がさまざまな方法で導き出せる場合、すべての結果は等しくなければなりません。

ここで述べられている公理は、アーンボルグとショーディンから取られている。^{[3] [4] [5]} 「常識」には、論理的に同等の命題は同じ妥当性を持つという意味で、アリストテレス論理 との一貫性が含まれる。

コックスが最初に述べた公理は数学的に厳密なものではなかった（ただし、上記の非公式な説明よりは厳密である）とハルパーンが指摘している。^{[6] [7]} しかし、コックスが暗黙的または明示的に行ったさまざまな数学的仮定を追加することで、有効な証明を生み出すことは可能であると思われる。

Cox の表記法:

何らかの関連情報が与えられた場合の命題の妥当性はで表されます。${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\mid X}$

コックスの公理と関数方程式は次のとおりです。

• 何らかの関連情報 が与えられた場合、2つの命題 の連言 の妥当性は、与えられたの妥当性と与えられたの妥当性によって決まります。${\displaystyle AB}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B}$${\displaystyle AX}$

関数方程式の形で

${\displaystyle AB\mid X=g(A\mid X,B\mid AX)}$

命題論理における連言の結合的な性質のため、論理との一貫性により、関数が結合的な二項演算であることを示す関数方程式が得られます。${\displaystyle g}$

• さらに、コックスは関数が単調であると仮定しています。${\displaystyle g}$

実数に対するすべての厳密に増加する結合的二項演算は、[0, +∞]の部分区間内の数の乗算と同型であり、これは妥当性を[0, +∞]にマッピングする単調関数が存在することを意味する。 ${\displaystyle w}$

${\displaystyle w(AB\mid X)=w(A\mid X)w(B\mid AX)}$

• が確実な場合、一貫性の要件により、となり、一般方程式は次のようになる。${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle AB\mid X=B\mid X}$${\displaystyle B\mid AX=B\mid X}$

${\displaystyle w(B\mid X)=w(A\mid X)w(B\mid X)}$

これは、次の 命題に当てはまる。${\displaystyle B}$

${\displaystyle w(A\mid X)=1}$

• 与えられたものが不可能な場合、一貫性の要件により、およびとなる。一般方程式（AとBの要素を入れ替えたもの）は、次のようになる。${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle AB\mid X=A\mid X}$${\displaystyle A\mid BX=A\mid X}$

${\displaystyle w(A\mid X)=w(B\mid X)w(A\mid X)}$

これは、一般性を失うことなく解決につながる あらゆる命題に当てはまる。${\displaystyle B}$

${\displaystyle w(A\mid X)=0}$

単調性の要件により、これは尤度を区間[0, 1]にマッピングすることを意味します。${\displaystyle w}$

• 命題の妥当性は、命題の否定の妥当性を決定します。

これは次のような 関数の存在を仮定している。${\displaystyle f}$

${\displaystyle w({\text{not }}A\mid X)=f(w(A\mid X))}$

「二重否定は肯定である」ので、論理との一貫性は関数方程式を与える。

${\displaystyle f(f(x))=x,}$

つまり、この関数は反転関数、つまりそれ自身の逆関数であると言えます。${\displaystyle f}$

• さらに、コックスは関数が単調であると仮定しています。${\displaystyle f}$

上記の関数方程式と論理との一貫性は、

${\displaystyle w(AB\mid X)=w(A\mid X)f(w({\text{not }}B\mid AX))=w(A\mid X)f\left({w(A{\text{ not }}B\mid X) \over w(A\mid X)}\right)}$

は論理的に と同値なので、次も得られます。 ${\displaystyle AB}$${\displaystyle BA}$

${\displaystyle w(A\mid X)f\left({w(A{\text{ not }}B\mid X) \over w(A\mid X)}\right)=w(B\mid X)f\left({w(B{\text{ not }}A\mid X) \over w(B\mid X)}\right)}$

特に、 の場合、 およびとなり、 ${\displaystyle B={\text{ not }}(AD)}$${\displaystyle A{\text{ not }}B={\text{not }}B}$${\displaystyle B{\text{ not }}A={\text{ not }}A}$

${\displaystyle w(A{\text{ not }}B\mid X)=w({\text{not }}B\mid X)=f(w(B\mid X))}$

そして

${\displaystyle w(B{\text{ not }}A\mid X)=w({\text{not }}A\mid X)=f(w(A\mid X))}$

省略すると関数方程式が得られる。 ${\displaystyle w(A\mid X)=x}$${\displaystyle w(B\mid X)=y}$

${\displaystyle x\,f\left({f(y) \over x}\right)=y\,f\left({f(x) \over y}\right)}$

これらの公理から導かれる確率の法則は以下の通りである。^[8]コックスの公理を満たす命題の妥当性を とする。すると、妥当性を区間 [0,1] と正の数にマッピングする関数が存在し、 ${\displaystyle A\mid B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle w}$${\displaystyle m}$

1. 確実性は次のように表される${\displaystyle w(A\mid B)=1.}$
2. ${\displaystyle w^{m}(A|B)+w^{m}({\text{not }}A\mid B)=1.}$
3. ${\displaystyle w(AB\mid C)=w(A\mid C)w(B\mid AC)=w(B\mid C)w(A\mid BC).}$

公理はこれらの一般的な特性のみを意味することに注意することが重要です。または と慣例的に表記される新しい関数を に設定することで、通常の確率法則を復元できます。 すると、より馴染みのある形式で確率法則が得られます。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle \Pr }$${\displaystyle w^{m}}$

1. 特定の真実は で表され、特定の虚偽は で表されます。${\displaystyle \Pr(A\mid B)=1}$${\displaystyle \Pr(A\mid B)=0.}$
2. ${\displaystyle \Pr(A\mid B)+\Pr({\text{not }}A\mid B)=1.}$
3. ${\displaystyle \Pr(AB\mid C)=\Pr(A\mid C)\Pr(B\mid AC)=\Pr(B\mid C)\Pr(A\mid BC).}$

ルール 2 は否定のルールであり、ルール 3 は連言のルールです。連言、選言、否定を含む命題は、連言と否定だけを使用して同等に言い換えることができるため (連言標準形)、複合命題を処理できるようになりました。

このようにして導かれた法則は確率の有限加法性をもたらすが、可算加法性はもたらさない。コルモゴロフの測度論的定式化では、確率測度は可算加法であると仮定している。このやや強い条件は、特定の結果を得るために必要である。基本的な例（この仮定は計算を単純化するだけであり、計算に必須ではない）は、コインを連続して投げたときに偶数回投げた後に初めて表が出る確率は である、ということである。^[9]${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$

コックスの定理は、ベイズ確率論の使用を正当化する根拠の1つとして使われるようになりました。たとえば、ジェインズでは、この定理は第1章と第2章で詳細に議論されており、本の残りの部分の基礎となっています。 ^[8] 確率は、アリストテレス論理（すべての文は真か偽のいずれか）を不確実性の存在下での推論の領域に自然に拡張した、論理の形式体系として解釈されます。

この定理が不確実性についての推論のための代替モデルをどの程度排除するかについては議論が続いてきた。例えば、ある「直感に反する」数学的仮定を捨てれば、ハルパーンが示した例のような代替案を考案できるだろう。^[6]しかし、アーンボルグとショーディン^{[3] [4] [5]は、}ハルパーンの例を排除しつつも、場合によっては仮定を緩和できる追加の「常識的な」仮定を提案している。他のアプローチはハーディ^{[10]やデュプレとティプラー[11]}によって考案された。

Cox の定理の元の定式化は Cox (1946) で行われ、Cox (1961) では追加の結果とより詳しい議論が加えられています。Jaynes ^{[8] は、}結合関数方程式の最初の使用例としてAbel ^{[12]を引用しています。János} Aczél ^{[13] は}「結合方程式」の長い証明を提供しています (256-267 ページ)。Jaynes ^{[8] : 27 は、}微分可能性を前提とした Cox の短い証明を再現しています。Van Horn による Cox の定理ガイドは、これらすべての参考文献を読者に包括的に紹介することを目指しています。^[14]

不確定性理論の創始者である劉保定は、連言の真理値が2つの命題との真理値の2回微分可能な関数であると仮定しているコックスの定理を批判している。これは、不確定性理論で使用される関数、^{[a] が}およびに関して微分可能ではないため、不確定性理論の「不確実な測度」を最初から排除している。^[15]劉によると、「連言の真理値が個々の命題の真理値によって完全に決定されるという証拠は存在せず、ましてや2回微分可能な関数である証拠は存在しない」という。^[15] ${\displaystyle P\land Q}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle T(P\land Q)=f(T(P),T(Q))}$${\displaystyle f(x,y)=x\land y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

• 確率公理
• 確率論

• ファイン、テレンス L. (1973)。確率理論：基礎の検討。ニューヨーク：アカデミック プレス。ISBN 0-12-256450-2。
• Smith, C. Ray; Erickson, Gary (1989)。 「合理性と一貫性からベイズ確率へ」。Skilling, John (編)。最大エントロピーとベイズ法。ドルドレヒト: Kluwer。pp. 29–44。doi :10.1007/ 978-94-015-7860-8_2。ISBN 0-7923-0224-9。