横方向の測定

数学において、実ベクトル空間上の測度が与えられた集合に対して横断的であるとは、その集合のすべての平行移動に測度 0 を割り当てる一方で、あるコンパクトな集合に有限かつ正の(つまり、ゼロでない) 測度を割り当てる場合を言います。

V を、それが完備となる計量空間構造を伴う実ベクトル空間とする。ボレル測度μがVのボレル可測部分集合Sに横断的であるとは、

• 0 <  μ ( K ) < +∞を満たすVのコンパクト部分集合Kが存在する。
• μ ( v  +  S ) = 0 はすべてのv  ∈  Vに対して成り立ち、ここで

${\displaystyle v+S=\{v+s\in V|s\in S\}}$

は、 S をvで変換したものです。

最初の要件は、たとえば、自明な測度が横断測度であるとみなされないことを保証します。

例として、通常のユークリッドノルム/メトリック構造を持つユークリッド平面R ²をVとします。Eと最初の座標軸の交点の1 次元ルベーグ測度をμ ( E ) として、R ²上の測度μ を定義します。

${\displaystyle \mu (E)=\lambda ^{1}{\big (}\{x\in \mathbf {R} |(x,0)\in E\subseteq \mathbf {R} ^{2}\}{\big )}.}$

正で有限のμ測度を持つコンパクト集合Kの例は、 K  =  B ₁ (0)、つまり原点の周りの閉じた単位球で、 μ ( K ) = 2 である。ここで、集合S を第 2 の座標軸とする。 Sの任意の平行移動 ( v ₁、  v ₂ ) +  Sは、正確に 1 つの点 ( v ₁ 、 0 )で第 1 の座標軸と交わる。単一の点はルベーグ測度が 0 であるため、μ (( v ₁、  v ₂ ) +  S ) = 0 となり、μはSを横切る。

• 普及しているセットと内気なセット

• Hunt, Brian R. および Sauer, Tim および Yorke, James A. (1992)。「普及: 無限次元空間上の「ほぼすべての」並進不変量」。Bull . Amer. Math. Soc. (NS) . 27 (2): 217–238。arXiv : math/9210220 . doi :10.1090/S0273-0979-1992-00328-2。S2CID 17534021  。{{cite journal}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)