パワー変換

統計学において、べき乗変換は、べき関数を使用してデータの単調な変換を作成するために適用される関数群です。これは、分散を安定化し、データをより正規分布に近づけ、関連性の尺度（変数間のピアソン相関など）の妥当性を向上させるなど、その他のデータ安定化手順に使用されるデータ変換手法です。

べき乗変換は、多重解像度およびウェーブレット解析、^[1]、統計データ分析、医学研究、物理プロセスのモデリング、^[2]、 地球化学データ分析、^[3] 、疫学^[4]、その他多くの臨床、環境、社会研究分野を含む複数の分野で使用されています。

べき乗変換は、べき乗パラメータλの連続関数として定義され、通常は特異点（ λ  = 0 ）で連続となる区分形式で与えられる。各y _i > 0 となるデータベクトル（ y ₁ ,...,  y _n）の場合 、べき乗変換は

${\displaystyle y_{i}^{(\lambda )}={\begin{cases}{\dfrac {y_{i}^{\lambda }-1}{\lambda (\operatorname {GM} (y))^{\lambda -1}}},&{\text{if }}\lambda \neq 0\\[12pt]\operatorname {GM} (y)\ln {y_{i}},&{\text{if }}\lambda =0\end{cases}}}$

どこ

${\displaystyle \operatorname {GM} (y)=\left(\prod _{i=1}^{n}y_{i}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{y_{1}y_{2}\cdots y_{n}}}\,}$

は観測値y ₁ , ...,  y _nの幾何平均です。 の場合、 が 0 に近づくにつれて極限になります。これを確認するには、テイラー級数を使用して、 であることに注目してください。 すると、 、および 以外のすべては、十分に小さい 場合、無視できるようになります。${\displaystyle \lambda =0}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle y_{i}^{\lambda }=\exp({\lambda \ln(y_{i})})=1+\lambda \ln(y_{i})+O((\lambda \ln(y_{i}))^{2})}$${\displaystyle {\dfrac {y_{i}^{\lambda }-1}{\lambda }}=\ln(y_{i})+O(\lambda )}$${\displaystyle \ln(y_{i})}$${\displaystyle \lambda}$

 分母に幾何平均の( λ − 1) 乗を含めると、を含む方程式の科学的解釈が簡単になります。これは、 λ が変化しても測定単位が変わらないためです。 ${\displaystyle y_{i}^{(\lambda )}}$

BoxとCox（1964）は、この変換に幾何平均を導入し、まず再スケールされたべき乗変換の ヤコビアンを組み込んだ。

${\displaystyle {\frac {y^{\lambda }-1}{\lambda }}.}$

尤度とともに。このヤコビアンは次のようになります。

${\displaystyle J(\lambda ;y_{1},\ldots ,y_{n})=\prod _{i=1}^{n}|dy_{i}^{(\lambda )}/dy|=\prod _{i=1}^{n}y_{i}^{\lambda -1}=\operatorname {GM} (y)^{n(\lambda -1)}}$

これにより、正規対数尤度は最大値で次のように表すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\log({\mathcal {L}}({\hat {\mu }},{\hat {\sigma }}))&=(-n/2)(\log (2\pi {\hat {\sigma }}^{2})+1)+n(\lambda -1)\log(\オペレーター名 {GM} (y))\\[5pt]&=(-n/2)(\log(2\pi {\hat {\sigma }}^{2}/\オペレーター名 {GM} (y)^{2(\ラムダ -1)})+1).\end{aligned}}}$

ここから、を の式に吸収すると、からの残差の二乗和を最小化することが、からの偏差の正規対数尤度と変換のヤコビアンの対数 の合計を最大化することと同等であることを証明する式が生成されます。${\displaystyle \operatorname {GM} (y)^{2(\lambda -1)}}$${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}}$${\displaystyle y_{i}^{(\lambda )}}$${\displaystyle (y^{\lambda }-1)/\lambda }$

任意のλについて、 Y = 1での値は0 であり、Yに関する導関数は任意のλについて 1 です。 Y は、ある種の平均値で Y = 1になるようにスケーリングされた他の変数のバージョンである場合があります。

この変換はべき乗変換ですが、 λ = 0でパラメータλと連続するように行われます。これは、計量​​経済学を含む回帰分析でよく使用されます。

Box と Cox は、シフト パラメータを組み込んだ、より一般的な形式の変換も提案しました。

${\displaystyle \tau (y_{i};\lambda ,\alpha )={\begin{cases}{\dfrac {(y_{i}+\alpha )^{\lambda }-1}{\lambda (\operatorname {GM} (y+\alpha ))^{\lambda -1}}}&{\text{if }}\lambda \neq 0,\\\\\operatorname {GM} (y+\alpha )\ln(y_{i}+\alpha )&{\text{if }}\lambda =0,​​\end{cases}}}$

これは、すべてのiに対してy _i  + α > 0 のときに成り立ちます。 τ( Y , λ, α) が切断正規分布に従う場合、Y はBox–Cox 分布に従うと言われます。

Bickel と Doksum は、次のように 変換の範囲をすべてのyに拡張することで、切り捨て分布を使用する必要性を排除しました。

${\displaystyle \tau (y_{i};\lambda ,\alpha )={\begin{cases}{\dfrac {\operatorname {sgn} (y_{i}+\alpha )|y_{i}+\alpha |^{\lambda }-1}{\lambda (\operatorname {GM} (y+\alpha ))^{\lambda -1}}}&{\text{if }}\lambda \neq 0,\\\\\operatorname {GM} (y+\alpha )\operatorname {sgn} (y+\alpha )\ln(y_{i}+\alpha )&{\text{if }}\lambda =0,\end{cases}}}$

ここでsgn(.)は符号関数である。 が より小さい限り、この定義の変更は実用上ほとんど意味を持たない。が より小さい場合、通常はそうである。^[5]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \operatorname {min} (y_{i})}$

ビッケルとドクサムは、適切な正則性条件下ではパラメータ推定値が一貫しており、漸近的に正規性があることを証明したが、パラメータ値がノイズ分散に比べて小さい場合、標準的なクラメール・ラオ下限は分散を大幅に過小評価する可能性がある。^[5]しかし、分散を過小評価するという問題は、多くのアプリケーションでは実質的な問題ではないかもしれない。^{[6] [7]}

1パラメータボックス-コックス変換は次のように定義される。

${\displaystyle y_{i}^{(\lambda )}={\begin{cases}{\dfrac {y_{i}^{\lambda }-1}{\lambda }}&{\text{if }}\lambda \neq 0,\\\ln y_{i}&{\text{if }}\lambda =0,\end{cases}}}$

2パラメータボックス-コックス変換は

${\displaystyle y_{i}^{({\boldsymbol {\lambda }})}={\begin{cases}{\dfrac {(y_{i}+\lambda _{2})^{\lambda _{1}}-1}{\lambda _{1}}}&{\text{if }}\lambda _{1}\neq 0,\\\ln(y_{i}+\lambda _{2})&{\text{if }}\lambda _{1}=0,\end{cases}}}$

原著論文で述べられている通りである。^{[8] [9]} さらに、最初の変換は に対して成り立ち、2番目の変換は に対して成り立つ。^[8]${\displaystyle y_{i}>0}$${\displaystyle y_{i}>-\lambda _{2}}$

パラメータはプロファイル尤度関数と適合度検定を用いて推定される。 ^[10]${\displaystyle \lambda }$

ボックス-コックス変換の信頼区間は、プロファイル尤度関数に関するウィルクスの定理を用いて漸近的に構築することができ、次の制約を満たすすべての可能な値を見つけることができる： ^[11]${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \ln {\big (}L(\lambda ){\big )}\geq \ln {\big (}L({\hat {\lambda }}){\big )}-{\frac {1}{2}}{\chi ^{2}}_{1,1-\alpha }.}$

BUPA肝臓データセット^[12]には、肝臓酵素ALTとγGTに関するデータが含まれています。log(γGT)を使用してALTを予測することに関心があるとします。データのプロットは図のパネル(a)に示されています。一定ではない分散があるように見えるため、Box-Cox変換が役立つ可能性があります。

検出力パラメータの対数尤度はパネル (b) に示されています。水平参照線は最大値から χ ₁ ² /2 の距離にあり、λ のおおよその 95% 信頼区間を読み取るために使用できます。ゼロに近い値が適切であると思われるため、対数をとります。

おそらく、ログ変換にシフト パラメータを追加することで、変換を改善できます。図のパネル (c) は、対数尤度を示しています。この場合、尤度の最大値はゼロに近いため、シフト パラメータは不要であることがわかります。最後のパネルには、回帰線を重ねて変換されたデータが表示されています。

Box–Cox 変換によりモデルの適合性が大幅に改善されますが、変換では解決できない問題もいくつかあることに注意してください。現在の例では、データがかなり裾が重いため、正規性の仮定は現実的ではなく、堅牢な回帰アプローチによってより正確なモデルが得られます。

経済学者は生産関係をボックス・コックス変換の変形によって特徴付けることが多い。^[13]

生産量Qが資本ストックKと労働時間Nによって提供されるサービスに依存するという一般的な表現を考えてみましょう。

${\displaystyle \tau (Q)=\alpha \tau (K)+(1-\alpha )\tau (N).\,}$

ボックス・コックス変換を逆にして Qを解くと、

${\displaystyle Q={\big (}\alpha K^{\lambda }+(1-\alpha )N^{\lambda }{\big )}^{1/\lambda },\,}$

これは一定代替弾力性（CES）生産関数として知られています。

CES 生産関数は1 次 同次関数です。

λ = 1の場合、線形生産関数が生成されます。

${\displaystyle Q=\alpha K+(1-\alpha )N.\,}$

λ → 0のとき、有名なコブ・ダグラス生産関数が生成されます。

${\displaystyle Q=K^{\alpha }N^{1-\alpha }.\,}$

SOCRのリソースページには、Javaアプレットとチャートを使用してBox–Cox（べき乗）変換を実証する実践的なインタラクティブアクティビティ^[14]が多数含まれています。これらは、この変換がQ–Qプロット、X–Y散布図、時系列プロット、ヒストグラムに与える影響を直接示しています。

Yeo-Johnson変換^[15]では、 のゼロや負の値も許容されます。 は任意の実数でよく、この場合は恒等変換が生成されます。変換法則は次のようになります。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda =1}$

${\displaystyle y_{i}^{(\lambda )}={\begin{cases}((y_{i}+1)^{\lambda }-1)/\lambda &{\text{if }}\lambda \neq 0,y\geq 0\\[4pt]\ln(y_{i}+1)&{\text{if }}\lambda =0,y\geq 0\\[4pt]-((-y_{i}+1)^{(2-\lambda )}-1)/(2-\lambda )&{\text{if }}\lambda \neq 2,y<0\\[4pt]-\ln(-y_{i}+1)&{\text{if }}\lambda =2,y<0\end{cases}}}$

Box-Tidwell 変換は、特にロジスティック回帰において、一般化線型モデルにおける予測変数とロジット間の非線形性を評価および修正するために使用される統計手法です。この変換は、独立変数と結果の関係が非線形であり、標準モデルでは適切に捉えられない場合に役立ちます。

Box-Tidwell 変換は、従属変数に適用されるBox-Cox 変換の拡張として、1962 年にGeorge EP Boxと John W. Tidwell によって開発されました。ただし、Box-Cox 変換とは異なり、Box-Tidwell 変換は回帰モデルの独立変数に適用されます。予測変数と結果の間の線形性の仮定が破られる場合によく使用されます。

Box-Tidwell 変換の基本的な考え方は、回帰モデル内の各独立変数 Xi にべき乗変換を適用することです。

${\displaystyle X_{i}'=X_{i}^{\lambda }}$

ここで、パラメータはデータから推定されます。Box-Tidwell 変換が 1 と大幅に異なる場合、Xi とロジットの間に非線形関係があることを示しており、変換によってモデルの適合性が向上します。 ${\displaystyle \lambda }$

Box-Tidwell テストは通常​​、回帰モデルに などの項を追加し、係数の有意性をテストすることによって実行されます。有意な場合は、予測子とロジットの間に線形関係を実現するために変換を適用する必要があることを示しています。 ${\displaystyle X_{i}\log(X_{i})}$

この変換は、連続予測子の非線形性が従属変数との関係を歪める可能性があるロジスティック回帰モデルや比例ハザードモデルで役立ちます。これは、研究者が関係の機能形式を事前に推測することなく、データにより適切なモデルを適合させることができる柔軟なツールです。

ロジスティック回帰では、連続した独立変数が従属変数のロジットと線形関係を示すことが重要な前提となります。この前提に違反すると、推定値の偏りやモデルのパフォーマンスの低下につながる可能性があります。Box-Tidwell 変換は、連続予測変数がロジットとの線形性を達成するために変換を必要とするかどうかを判断して、このような違反を評価および修正するために使用される方法です。

ボックス-ティドウェル変換は、各連続変数X _iとその自然対数の間に相互作用項を導入します。 ${\displaystyle \log(X_{i})}$

${\displaystyle X_{i}\log(X_{i})}$

この項は、 X _iとロジットの関係が非線形であるかどうかをテストするためにロジスティック回帰モデルに含まれています。この相互作用項の統計的に有意な係数は、線形性の仮定に違反していることを示しており、予測子の変換が必要であることを示しています。Box-Tidwell 変換は、関係を線形化するための適切な累乗変換を提供し、それによってモデルの精度と妥当性を向上させます。逆に、有意でない結果は、線形性の仮定をサポートします。

Box-Tidwell 変換の制限の 1 つは、独立変数の正の値に対してのみ機能することです。データに負の値が含まれている場合、変数を変更せずに (定数を追加するなど) 変換を直接適用することはできません。

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