ポアンカレの再帰定理

数学と物理学において、ポアンカレ再帰定理は力学系と統計力学の両方における基礎的な結果である。この定理は、1890年にこの定理について論じたアンリ・ポアンカレにちなんで名付けられた。 ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} 1919年にコンスタンティン・カラテオドリが測度論を用いて証明を示した。^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

簡単に言うと、システムが有限の体積（または全確率測度）を持ち、その体積を時間とともに維持する場合、ほぼすべての初期状態は最終的に開始位置に限りなく近い状態に戻り、それを無限に繰り返すということを意味する。

定義とポアンカレの定式化

常微分方程式で定義される任意の力学系は、位相空間をそれ自身に写像する流れ写像f ^tを決定します。位相空間の各点は、システムの全状態、典型的には関係するすべての粒子の位置と速度を表します。流れ写像は、システムがどのように進化するかを示します。システムが状態xから始まる場合、時間t後にはシステムは状態f ^t ( x )になります。すべての時間tにおいてこの点を追跡すると、 xの軌道が得られます。位相空間内の各集合の体積が流れの下で不変である場合、システムは体積保存的であると言われます。ポアンカレの定理は次のようになります。

流れが体積を保存し、有界な軌道のみを持つ場合、各開集合に対して、この開集合と無限回交差する軌道が存在する。^{[ 5 ]}

この定理の帰結として、保存力学系は、十分長い有限時間後には、ほぼ確実に初期状態に限りなく近い状態に戻る。この結果は、例えばすべての粒子が有限体積内に束縛されているといった制約を受ける孤立した力学系に適用される。ポアンカレ再帰定理が適用される系は、保存系と呼ばれる。

カッツの補題によって推定されるポアンカレ再帰時間は、再帰が発生するまでの経過時間です。この時間は、正確な初期状態と必要な近接度によって大きく異なる場合があります。

議論、例、応用

開集合は非常に小さいと考えることができます。ここで主張されているのは、この小さい集合に戻ってくる軌道が存在するということです。（実際、後述する定理のより現代的な定式化によれば、この小さい集合から始まる軌道はほぼすべて無限回戻ってきます。）

すべての軌道が有界であるという仮定は極めて重要である。そうでなければ、軌道は「無限遠へ」行ってしまい、二度と戻ってこない可能性があるからだ。

もう一つの重要な仮定は、システムが体積を保存するという点です。これは、摩擦や空気抵抗がなく、エネルギーが投入されず、熱として失われることもない物理システムに共通する特徴です。厳密に言えば、リウヴィルの定理により、すべてのハミルトン系は体積を保存します。（位相空間の体積を保存せず、時間とともにエネルギーを失うシステムは、小さな開集合から始まり、ゆっくりとどこか別の場所で停止し、二度と元の場所に戻ることはありません。）

この定理の例として、ビリヤード台（ポケットなし）と、摩擦なくテーブル上を動き、クッションや他のボールと完全に弾性衝突するビリヤードボールのセットを考えてみましょう。これにより、エネルギーが失われることはなく、流れは位相空間の体積を維持します。テーブル上に丘や谷があっても構いません。位相空間内の点は、すべてのボールの位置と速度を指定します。ボールに一定の最大総エネルギーを課すと、システムは有界軌道を持ち、ポアンカレの定理が適用されます。定理は、すべてのボールの初期位置と速度を任意の（ただし有限の）精度で指定すると、これらの仕様に従って開始し、それらの仕様にも合致する条件に無限回戻る軌道が存在すると述べています。ただし、すべての軌道が必ずしも戻るわけではないことに注意してください。非常に微調整された軌道を見つけると、一部のボールは丘の頂上でゆっくりと静止し、二度と戻ってこない可能性があります。

ポアンカレの再帰定理は、統計力学、力学系、エルゴード理論に応用されている。統計力学においては、有限体積に閉じ込められた気体などの孤立系の長期的な挙動を予測するために用いられる。このような系は、十分な時間が経過すると、初期状態に限りなく近い状態に戻ると予想される。

力学系の研究では、この定理は保存系に適用され、測度保存変換の再帰特性についての洞察を与えます。関連する概念はエルゴード理論にも現れ、そこでは再帰が時間の経過に伴う軌跡の挙動を理解する上で基本的な役割を果たします。^{[ 6 ]}

証明のアイデアとさらなる議論

定性的な証明は、次の 2 つの前提に基づいています。^{[ 7 ]}

潜在的にアクセス可能な位相空間の総体積には、有限の上限を設定することができる。機械システムの場合、この上限は、システムが有限の物理的領域内に収まるように要求することによって与えられる（例えば、二度と戻ってこない粒子を放出することができない）。エネルギー保存則と組み合わせることで、システムは位相空間内の有限領域に固定される。
動的条件下における有限要素の位相体積は保存される。

任意の有限な開始体積を想像してください $D$ 位相空間の体積をシステムのダイナミクスに従って追跡します。（ここで「有限」とは体積が正であることを意味します。）体積は位相空間内の「位相チューブ」を通って変化し、そのサイズは一定に保たれます。位相空間は有限であるため、いくつかのステップの後、 $k_{1}$ 位相管は、ある正の体積内で自身と交差しなければならない。この交差部分を時間的に逆方向に移動させると、開始体積の少なくとも有限部分が繰り返し出現することがわかる。

次に、返されない部分の大きさを考えてみましょう。 $D_{1}$ 開始段階の体積のうち、開始段階の体積に決して戻らない部分 $D$ 前の段落の原理を用いると、次のことがわかります。 $D_{1}$ 有限であれば、その有限の部分は $D_{1}$ いくつかのステップを経て、したがって、 $D$ これは、 $D_{1}$ 返されない部分です。返されない部分は $D_{1}$ ボリュームは0です。

この定理は、この証明では保証できない再帰性の特定の側面については言及していない。

位相空間には、開始位相空間に決して戻らない、あるいは開始位相空間に有限回だけ戻った後、二度と戻らない特殊な点が存在する可能性がある。これらは極めて「まれ」であり、開始位相空間のごくわずかな部分を占めるにすぎない。
ほぼあらゆる初期位相において、システムは最終的にその初期位相に限りなく近い状態に戻ると言える。その再帰時間は、必要な近さの度合い（位相体積の小ささ）に応じて変化する。
位相ボリュームのすべての部分が同時に戻ってくる必要はありません。一部の部分は最初の通過時に開始ボリュームを「見逃し」、後で戻ってくることがあります。
位相管が可能な位相体積をすべて使い果たす前に、元の体積に完全に戻ることを妨げるものは何もない。その簡単な例が調和振動子である。アクセス可能な位相体積をすべてカバーするシステムはエルゴード的であると呼ばれる。（もちろん、これは「アクセス可能な体積」の定義に依存する。）
ある体積内の特定の位相において、再発は必ずしも周期的であるとは限らない。2回目の再発時間は、1回目の再発時間の2倍である必要はない。
この定理は周期軌道の存在、すなわち一定時間後に正確に自身に戻る位相空間点の存在を保証するものではない。

正式な声明

ポアンカレ再帰定理— $(X,{\mathcal {B}},\mu ,T)$ 測度保存力学系であること。これは次のことを意味します。

$X$ は状態空間です。
$\displaystyle {\mathcal {B}}}$ は $\sigma$ 可測部分集合の代数 $X$ 。
$\mu$ は有限測度である $X$ （意味 $0<\mu (X)<\infty$ 一般性を失うことなく、通常は次のように仮定します。 $\mu (X)=1$ それによって、確率空間となる。
$T:X\to X$ は、尺度を保存する変換です。 $\mu (T^{-1}(A))=\mu (A)$ いかなる場合でも $A\in {\mathcal {B}}$ 。

させて $A\in {\mathcal {B}}$ 正の測度を持つ部分集合である（ $\mu (A)>0$ ) 1点 $x\in A$ に関して反復的と呼ばれる $A$ ある整数が存在する場合 $n\geq 1$ そのため $T^{n}(x)\in A$ ポアンカレの再帰定理は、 $A$ 戻る $A$ より正確には、点の集合は $A$ 二度と戻らない $A$ はちょうどゼロの尺度を持つ。したがって、これらの点は $A$ 無限に何度も。

物理的パラドックス

物理学において、この定理は熱力学第二法則に反する深遠な哲学的パラドックス（ツェルメロのパラドックス）を生み出します。密閉された有限の部屋で香水瓶を開けると、熱力学によれば、気体分子は拡散し、決して自然に瓶の中に戻ることはありません。

しかし、閉じた箱の中では古典力学が位相空間の体積を保存する（リウヴィルの定理による）ため、ポアンカレの定理によれば、十分な時間を待てば分子は自発的に瓶の中に再集合する。問題は、巨視的な系における「ポアンカレ再帰時間」が途方もなく長く、現在の宇宙の年齢よりもはるかに長いということだ。

証拠

ポアンカレ再帰定理の魅力はその証明にある。それは優雅で、驚くほど簡潔であり、幾何学に適用される鳩の巣原理にほぼ完全に依拠している。

ステップ1：非返集合を定義する

させて $A$ 測定可能な集合である $\mu (A)>0$ 。させて $B$ 点のサブセットを $A$ 二度と戻らない $A$ 肯定的な反復の下で $T$ :

B=\{x\in A:T^{n}(x)\notin A{\text{ for all }}n\geq 1\}

私たちの目標は、 $\mu (B)=0$ 。

ステップ2：前方イメージを検討する

定義により、 $x\in B$ 、それから $T^{n}(x)$ できない $A$ いかなる場合でも $n\geq 1$ 。なぜなら $B$ は、 $A$ これは、 $T^{n}(x)$ 決して $B$ どちらか！

したがって、前方の画像は $B$ 変革の下で $T$ 決して交差しない $B$ :

B\cap T^{-n}(B)=\emptyset \quad {\text{for all }}n\geq 1

ステップ3：相互分離性を示す

これを拡張して、すべての前方イメージが $B$ 互いに素である。2 つの整数があると仮定する。 $k>m\geq 0$ すなわち、

T^{-k}(B)\cap T^{-m}(B)\neq \emptyset

適用する場合 $T^{m}$ 両陣営から得られるものは以下のとおりです。

T^{-(k-m)}(B)\cap B\neq \emptyset

しかし、 $k-m>0$ これは、ステップ2で観察した内容と直接矛盾する。 $B$ 未来の自分自身と交差することは決してない。したがって、集合は $B,T^{-1}(B),T^{-2}(B),T^{-3}(B),\dots$ すべて互いに排他的でなければならない。

ステップ4：有限尺度を利用する

なぜなら $T$ これは尺度を保存する変換であり、これらの互いに素な集合はすべてまったく同じ尺度を持つ必要があります。

\mu (T^{-n}(B))=\mu (B)\quad {\text{for all }}n\geq 0

さて、この無限に続く互いに素な集合の尺度を合計します。なぜなら、それらはすべて全体の空間内に含まれているからです。 $X$ それらの合計値は、 $X$ :

\mu \left(\bigcup _{n=0}^{\infty }T^{-n}(B)\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\mu (T^{-n}(B))=\sum _{n=0}^{\infty }\mu (B)\leq \mu (X)

以来 $\mu (X)<\infty$ つまり、無限個の同一の定数を合計しているということだ。 $\mu (B)$ そして結果は有限である。単一の定数の無限和が有限になる唯一の方法は、その定数がちょうどゼロである場合である。

したがって：

\mu (B)=0

これは、点の集合が $A$ 二度と戻らない $A$ 測定値はゼロです。 $\blacksquare$

拡張と一般化

長年にわたり、ポアンカレの定理はより複雑な数学的枠組みにも適用できるよう大幅に拡張されてきた。

位相的再帰: $X$ はコンパクトな距離空間であり、 $T:X\to X$ 連続マップ、点 $x$ 位相的に再帰的である場合 $\liminf _{n\to \infty }d(T^{n}(x),x)=0$ 測度論では、測度保存写像についてはほぼどこでもこれが保証されるが、位相力学では、稠密な点の集合、あるいは「残余集合」（ベール圏定理）を形成する点の集合を探す。
多重再帰（ファーステンベルクの定理）： ヒレル・ファーステンベルクは1977年にポアンカレ再帰を一般化し、任意のシステムに対して、 $\mu (A)>0$ 任意の整数 $k\geq 1$ 存在する $n\geq 1$ つまり：:: $\mu (A\cap T^{-n}A\cap T^{-2n}A\cap \dots \cap T^{-kn}A)>0$ この画期的な拡張は、セメレディの定理（正の上限密度を持つ整数の任意の部分集合には、任意の長さの等差数列が含まれるという定理）の完全なエルゴード理論に基づく証明を提供するために用いられた。
定量的再帰（バレイラ、ソーソルなど）：単に点が戻るかどうか を問うのではなく、定量的再帰はそれがどれくらいの速さで戻るかを問う。多くのカオス系では、 $B(x,r)$ 半径が $r$ その周り $x$ 最初の帰還時間 $R(x,r)$ スケールする $r^{-d}$ 、どこ $d$ これは、尺度の局所的な次元です。
無限測度空間: もし $\mu (X)=\infty$ 古典的な定理は成り立たない（例： $T(x)=x+1$ の上 $\mathbb {R}$ 無限測度への拡張には、演算子に保存的性質を課す必要がある。 $T$ （ホップ分解による保存的部分と散逸的部分への分解につながる）。

量子力学版

離散的なエネルギー固有状態を持つ時間独立量子力学系についても、同様の定理が成り立つ。 $\varepsilon >0$ そして $T_{0}>0$ 時間Tがより大きい $T_{0}$ 、したがって $||\psi (T)\rangle -|\psi (0)\rangle |<\varepsilon$ 、どこ $|\psi (t)\rangle$ は時刻tにおけるシステムの状態ベクトルを表します。^[⁸^]^[⁹^]^[¹⁰^]

証明の重要な要素は以下のとおりである。システムは時間とともに以下のように変化する。

|\psi (t)\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\exp(-iE_{n}t)|\phi _{n}\rangle

どこで $E_{n}$ はエネルギー固有値です（自然単位を使用するので、 $\hbar =1$ ）そして $|\phi _{n}\rangle$ はエネルギー固有状態である。時刻における状態ベクトルの差の二乗ノルム $T$ そして時間ゼロは、次のように表すことができます。

||\psi (T)\rangle -|\psi (0)\rangle |^{2}=2\sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]

Tとは無関係に、n = Nで総和を打ち切ることができる。

$\sum _{n=N+1}^{\infty }|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]\leq 2\sum _{n=N+1}^{\infty }|c_{n}|^{2}$

これは、 N を増やすことで任意に小さくすることができる。 $\sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}$ 初期状態の二乗ノルムであるは、 1 に収束する。

有限和

\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]

以下の構成に従って、特定の時間Tの選択に対してを任意に小さくすることができる。 $\delta >0$ そして、整数が存在するような Tを選択する。 $k_{n}$ 満たす

|E_{n}T-2\pi k_{n}|<\delta

、

すべての数字について $0\leq n\leq N$ この特定のTの選択では、

1-\cos(E_{n}T)<{\frac {\delta ^{2}}{2}}.

そのため、以下のものを用意しました。

2\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]<\delta ^{2}\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}<\delta ^{2}

。

状態ベクトル $|\psi (T)\rangle$ したがって、初期状態に任意に近づくことができる。 $|\psi (0)\rangle$ 。

参考文献

↑ポアンカレ、H. (1890)。「トロワ軍団とダイナミクの関係に関する問題」。アクタ数学。13：1～ 270。
↑ポアンカレ、ウヴレスVII、262–490 (定理 1 セクション 8)
↑カラテオドリ、C. (1919)。「ポアンカレのユーバー・デン・ヴィーダーケールザッツ」。ベルル。シッツングスベル: 580–584。
↑カラテオドリ、ゲス。数学。 Schr. IV、296–301
↑ Barreira, Luis (2006). Zambrini, Jean-Claude (編). Poincaré recurrence: Old and new (PDF) . XIVth International Congress on Mathematical Physics. World Scientific . pp. 415–422 . doi : 10.1142/9789812704016_0039 . ISBN 978-981-256-201-2。
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↑ギブス、ジョサイア・ウィラード(1902)。統計力学の基本原理。ニューヨーク州ニューヨーク：チャールズ・スクリブナーズ・サンズ。第X章。
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↑ Schulman, LS (1978). "量子再帰定理に関する注記". Phys. Rev. A . 18 (5): 2379– 2380. Bibcode : 1978PhRvA..18.2379S . doi : 10.1103/PhysRevA.18.2379 .

標準的な大学院教科書

Walters, P. (1982).エルゴード理論入門. Springer Graduate Texts in Mathematics.
カトック、A.、ハッセルブラット、B. (1995).現代力学系理論入門. ケンブリッジ大学出版局.
アーノルド、VI（1989）。古典力学の数学的方法。シュプリンガー。

二次資料および上級資料（拡張資料）

ファーステンバーグ、H. (1981).エルゴード理論と組合せ数論における再帰性. プリンストン大学出版局.
Oliveira, C., & Viana, M. (2016).エルゴード理論の基礎. Cambridge University Press.

さらに読む

Page, Don N. (1994年11月25日). 「ブラックホールおよび/または意識を持つ存在における情報損失？」. arXiv : hep-th/9411193 .

外部リンク

パディラ、トニー。「最長の時間」。Numberphile 。ブレイディ・ハラン。 2013年11月27日のオリジナルからアーカイブ済み。 2013年4月8日取得。オリジナルサイトの最新バージョン。
「アーノルドの猫マップ：ポアンカレの漸化式定理のインタラクティブな図解」

この記事は、 PlanetMathの Poincaré recurrence theorem の資料を組み込んでおり、Creative Commons Attribution-Share-Alike Licenseの下でライセンスされています。

[1] ポアンカレ、H. (1890)。「トロワ軍団とダイナミクの関係に関する問題」。アクタ数学。13：1～ 270。

[2] ポアンカレ、ウヴレスVII、262–490 (定理 1 セクション 8)

[3] カラテオドリ、C. (1919)。「ポアンカレのユーバー・デン・ヴィーダーケールザッツ」。ベルル。シッツングスベル: 580–584。

[4] カラテオドリ、ゲス。数学。 Schr. IV、296–301

[Barreira_2005-5] Barreira, Luis (2006). Zambrini, Jean-Claude (編). Poincaré recurrence: Old and new (PDF) . XIVth International Congress on Mathematical Physics. World Scientific . pp. 415–422 . doi : 10.1142/9789812704016_0039 . ISBN 978-981-256-201-2。

[6] 「ポアンカレ再帰定理」。www.math.umd.edu 。 2026年4月13日取得。

[gibbs-7] ギブス、ジョサイア・ウィラード(1902)。統計力学の基本原理。ニューヨーク州ニューヨーク：チャールズ・スクリブナーズ・サンズ。第X章。

[8] Bocchieri, P.; Loinger, A. (1957). "Quantum Recurrence Theorem". Phys. Rev. 107 (2): 337– 338. Bibcode : 1957PhRv..107..337B . doi : 10.1103/PhysRev.107.337 .

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