準正規部分群

数学において、群論の分野における準正規部分群、または可換部分群とは、部分群の積に関して他のすべての部分群と交換（入れ替え）できる群の部分群である。準正規部分群という用語は、1937 年に Øystein Oreによって導入された。

2 つのサブグループが交換可能であるとされるのは、最初のサブグループの任意の要素と 2 番目のサブグループの要素の積が、2 番目のサブグループの要素と最初のサブグループの要素の積として表される場合です。つまり、のサブグループとしてのとは、HK = KH の場合、つまり、およびの形式の任意の要素がおよびの形式で表せる場合、交換可能であるとされます。 $H$ $K$ $G$ $hk$ $h\in H$ $k\in K$ $k'h'$ $k'\in K$ $h'\in H$

正規部分群はどれも準正規群です。正規部分群は群のどの要素とも可換だからです。逆は成り立ちません。たとえば、同じ (奇数) 素数に対する別の巡回- 群による巡回 - 群の拡張は $p$ $p$ 、そのすべての部分群が準正規群であるという特性を持ちます。ただし、そのすべての部分群が正規である必要はありません。

すべての準正規部分群はモジュラー部分群、つまり部分群の格子におけるモジュラー元である。これは群のモジュラー性質に従う。すべての部分群が準正規である場合、その群は岩沢群と呼ばれる。モジュラー群と呼ばれることもあるが^[1]、後者の用語には他の意味もある。

どのようなグループでも、すべての準正規部分群は優勢です。

共役可換部分群は、そのすべての共役部分群と可換な部分群です。すべての準正規部分群は共役可換です。

有限群では

有限群のすべての準正規部分群は、非正規部分群です。これは、すべての共役可換部分群は非正規であるというやや強い主張から導かれ、さらに、すべての極大共役可換部分群は正規であるという主張から導かれます。(有限性は証明において決定的に使用されます。)

要約すると、有限群Gの部分群HがG内で可換であるためには、HがG内でモジュラーかつ非正規であることが必要である。^[1]^[2]

PTグループ

一般的に、可換性は推移的な関係ではありません。可換性が推移的なグループは、正規性が推移的なTグループと同様に、PTグループと呼ばれます。^[3]

参照

参考文献

^ ab アドルフォ・バレスター＝ボリンチス;ラモン・エステバン＝ロメロ。モハメド・アサド (2010)。有限群の積。ウォルター・デ・グルイテル。 p. 24.ISBN 978-3-11-022061-2。
^ ローランド、シュミット (1994)、群のサブグループ格子、数学における説明、vol. 14、ウォルター・デ・グルイテル、p. 201、ISBN 978-3-11-011213-9
^ アドルフォ・バレスター＝ボリンチス;ラモン・エステバン＝ロメロ。モハメド・アサド (2010)。有限群の積。ウォルター・デ・グルイテル。 p. 52.ISBN 978-3-11-022061-2。

スチュワート・E・ストーンヒューワー、「準正規部分群に関する古い、最近の、そして新しい結果」、アイルランド数学協会紀要 56 (2005)、125–133
Tuval Foguel、「共役可換部分群」、Journal of Algebra 191、235-239 (1997)

[Ballester-BolinchesEsteban-Romero2010-1] アドルフォ・バレスター＝ボリンチス;ラモン・エステバン＝ロメロ。モハメド・アサド (2010)。有限群の積。ウォルター・デ・グルイテル。 p. 24.ISBN 978-3-11-022061-2。

[2] ローランド、シュミット (1994)、群のサブグループ格子、数学における説明、vol. 14、ウォルター・デ・グルイテル、p. 201、ISBN 978-3-11-011213-9

[Ballester-BolinchesEsteban-Romero2010p1-3] アドルフォ・バレスター＝ボリンチス;ラモン・エステバン＝ロメロ。モハメド・アサド (2010)。有限群の積。ウォルター・デ・グルイテル。 p. 52.ISBN 978-3-11-022061-2。