7 次ヘプタグラムタイル

幾何学において、7 次ヘプタグラム タイル張りは、重なり合うヘプタグラムによって双曲平面をタイル張りするものです。

このタイリングは、通常の星型タイリングであり、シュレーフリ記号は{7/2,7}である。タイリングを形成するヘプタグラムは{7/2}型であり、重なり合う七芒星は双曲面を二等辺三角形に分割し、各七芒星は 14 個の二等辺三角形で構成されます。

双曲面上の七芒星の辺上にない各点は、1 つの七芒星の中心七角形に属し、他の 1 つの七芒星の点の 1 つにあります。各七芒星がその点の周りを巻く数は1 で、中心七角形の周りの巻く数は 2 です。したがって、この 2 つの数を合計すると、平面上の各点は 3 回囲まれます。つまり、タイリングの 密度は 3 です。

ユークリッド平面では、{7/2} 型の七芒星の頂点の角度は 3 π /7ですが、双曲平面では、七芒星は、タイリングの各七芒星の中心で正確に 7 つの他の七芒星が出会うために必要な、より鋭い頂点角度 2 π /7 を持つことができます。

これは、通常の7 次三角形のタイリング{3,7} と同じ頂点配置を持ちます。すべての辺は、ヘプタキス七角形タイリングの辺と一致します。このタイリングの 6 つの頂点は、交差した辺によって生じた ヘプタグラムのタイリングの偽の頂点です。

これは、ケプラー・ポアンソ多面体、小さな星型十二面体、{5/2,5}と関連しており、これは多面体であり、球面上の 密度-3の規則的な星のタイリングです。

• John H. Conway、Heidi Burgiel、Chaim Goodman-Strauss、The Symmetries of Things 2008、ISBN  978-1-56881-220-5 (第 19 章、双曲アルキメデスのテッセレーション)
• 「第 10 章: 双曲空間における正則ハニカム」。幾何学の美: 12 のエッセイ。ドーバー出版。1999 年。ISBN 0-486-40919-8LCCN  99035678 。

ウィキメディア・コモンズには、オーダー 7 の三角形タイリングに関連するメディアがあります。

• Weisstein、Eric W.「双曲型タイル張り」。MathWorld。
• Weisstein, Eric W.「ポアンカレ双曲面ディスク」。MathWorld。