倍率

フレームごとに6%ずつ段階的に拡大し、39メガピクセルの画像を作成する。最終フレームでは、約170倍の倍率で、男性の角膜に傍観者の姿が映り込んでいるのが確認できる。

拡大とは、物体の物理的な大きさではなく、見かけの大きさを拡大する過程のことです。この拡大は、光学倍率と呼ばれるサイズ比によって定量化されます。この数値が1未満の場合、それは縮小を意味し、縮小と呼ばれることもあります。

一般的に、拡大とは、より詳細な部分を見るために画像や図像を拡大したり、解像度を上げたり、顕微鏡を使用したり、印刷技術やデジタル処理を行ったりすることを指します。いずれの場合も、画像の拡大によって画像の遠近感は変わりません。

拡大の例

一部の光学機器は、小さな対象物や遠くにある対象物を拡大することで、視覚的な補助を提供する。

拡大鏡とは、正（凸）レンズを用いて、対象物を目の近くに持って見ることができるようにすることで、物を大きく見せるための道具である。
望遠鏡とは、大きな対物レンズまたは主鏡を用いて遠くの物体の像を作り出し、その後、より小さな接眼レンズでその像を拡大して観察することで、物体をより大きく見せることができる装置である。
顕微鏡とは、小さな物体を快適な距離から見ることができる、はるかに大きな像として映し出す装置です。顕微鏡の構造は望遠鏡と似ていますが、観察対象物が対物レンズのすぐ近くにある点が異なります。対物レンズは通常、接眼レンズよりもはるかに小さいです。
スライドプロジェクターとは、小さなスライドの画像をスクリーンに大きく投影する装置である。写真用引き伸ばし機も同様の仕組みだ。
ズームレンズとは、焦点距離と画角を変化させることができるカメラレンズの構成要素のシステムである。

サイズ比（光学倍率）

光学倍率とは、物体の見かけの大きさ（または画像上の大きさ）と実際の大きさの比であり、無次元数です。光学倍率は「倍率」（例えば「10倍倍率」）と呼ばれることもありますが、これは光学パワーと混同される可能性があります。

線形または横方向の拡大

スクリーンに投影された画像などの実像の場合、サイズとは線形寸法（例えば、ミリメートルやインチで測定される）を意味します。

角度倍率

接眼レンズを備えた光学機器を例にとると、接眼レンズを通して見える像が無限遠の虚像である場合、その像の線形寸法は与えられません。したがって、この場合のサイズは、像の端（定義によっては両方の端）と機器の光軸との間の角度（角サイズ）を意味する可能性があります。厳密に言えば、その角度の正接を取る必要があります（実際には、角度が数度より大きい場合にのみ違いが生じます）。したがって、角倍率は次のように与えられます^[¹^]^[²^]

$M_{A}={\frac {\tan \varepsilon }{\tan \varepsilon _{0}}}\approx {\frac {\varepsilon }{\varepsilon _{0}}}$

どこ $\textstyle \varepsilon _{0}}$ は物体が（光軸に対して）張る角度であり、 ${\textstyle \varepsilon }$ は、光学機器によって形成される像が（光軸に対して）なす角度のことです。

例えば、地球表面から見た月の円盤の平均視角は約0.52度です。したがって、10倍の双眼鏡で見ると、月は約5.2度の角度で見えることになります。

慣例として、拡大鏡や光学顕微鏡では、物体の大きさが線形寸法であり、その見かけの大きさ（像の大きさ）が角度である場合、倍率は、装置を通して見える見かけの大きさ（角度）と、物体を人間の裸眼で明瞭に視認できる最短距離に置いたときの物体の角度の大きさとの比である。目から25cm離れたところ（近点と呼ばれる）。

楽器によって

単レンズ

薄レンズの線形倍率は

$M={f \over f-d_{\mathrm {o} }}=-{\frac {f}{x_{o}}}$

どこ ${\textstyle f}$ 焦点距離は、 $d_{\mathrm {o} }}$ はレンズから物体までの距離であり、 ${\textstyle x_{0}=d_{0}-f}$ 物体の前面焦点からの距離として。符号規約は次のようになります。 $d0$ そして $d_i$ （レンズからの像距離）は、実像と実像の場合はそれぞれ正の値となり、虚像と虚像の場合はそれぞれ負の値となる。 ${\textstyle f}$ 収束レンズの場合は正の値となり、発散レンズの場合は負の値となる。

実際の画像については、 ${\textstyle M}$ は負であり、画像は反転しています。仮想画像の場合、 ${\textstyle M}$ 正の像であり、画像は正立している。

と $d_{\mathrm {i} }}$ レンズから像までの距離である ${\textstyle h_{\mathrm {i} }}$ 画像の高さと ${\textstyle h_{\mathrm {o} }}$ the height of the object, the magnification can also be written as^[1]^:646–647

$M=-{d_{\mathrm {i} } \over d_{\mathrm {o} }}={h_{\mathrm {i} } \over h_{\mathrm {o} }}$

Note again that a negative magnification implies an inverted image.

The image magnification along the optical axis direction $M_{L}$ , called longitudinal magnification, can also be defined. The Newtonian lens equation is stated as $f^{2}=x_{0}x_{i}$ , where ${\textstyle x_{0}=d_{0}-f}$ and ${\textstyle x_{i}=d_{i}-f}$ as on-axis distances of an object and the image with respect to respective focal points, respectively. $M_{L}$ is defined as

$M_{L}={\frac {dx_{i}}{dx_{0}}},$

and by using the Newtonian lens equation,

$M_{L}=-{\frac {f^{2}}{x_{o}^{2}}}=-M^{2}.$

The longitudinal magnification is always negative, means that, the object and the image move toward the same direction along the optical axis. The longitudinal magnification varies much faster than the transverse magnification, so the 3-dimensional image is distorted.

Photography

The image recorded by a photographic film or image sensor is always a real image and is usually inverted. When measuring the height of an inverted image using the cartesian sign convention (where the x-axis is the optical axis) the value for $h i$ will be negative, and as a result $M$ will also be negative. However, the traditional sign convention used in photography is "real is positive, virtual is negative".^[3] Therefore, in photography: Object height and distance are always real and positive. When the focal length is positive the image's height, distance and magnification are real and positive. Only if the focal length is negative, the image's height, distance and magnification are virtual and negative. Therefore, the photographic magnification formulae are traditionally presented as^[4]

${\begin{aligned}M&={d_{\mathrm {i} } \over d_{\mathrm {o} }}={h_{\mathrm {i} } \over h_{\mathrm {o} }}\\&={f \over d_{\mathrm {o} }-f}={d_{\mathrm {i} }-f \over f}\end{aligned}}$

Magnifying glass

The angular magnification of a magnifying glass is defined as the ratio of an angle ε that the image (made by the glass) of an object located at the near point (typically 25 cm away from a human eye) subtends on the retina of the eye to an angle ε₀ that the object (at the same location) subtends on the retina without the glass.^[2] The angular magnification is equal to the image size magnification on the retina because of (1) a part of the human eye refracting light toward the retina is considered a thin lens ^{[Note 1]}, and (2) a circular shape of the retina; the twice angle between the eye's optical axis and the edge of the image on the retina (circularly shaped) is translated to twice larger the recognized image.

For a magnified and erected image of an object, the object needs to be located within the focal length of a converging lens (see the table Images of Real Objects Formed by Thin Lenses). The angular magnification of a converging lens as a magnifying glass, depends on how the glass and the object are located, relative to the eye.

The angular magnification M_A = ε/ε₀ can be, in paraxial approximation where tan(ε) ≈ ε, expressed as (h_i/L_i)/(h_o/L_N) = (h_iL_N)/(h_oL_i) where h_o is for the object height (w.r.t the optical axis), h_i for the image height (also w.r.t the axis), L_N for the near point distance from the eye (along the optical axis), and L_i is the image distance from the eye (also along the axis).

横倍率M = h _i / h _o = - d _i / d _oを使用すると、M _A = -( d _iL _N )/( d _oL _i ) となります。薄レンズの式 1/ d _o + 1/ d _i = 1/ f (fはレンズの焦点距離)を使用すると、M _A = (1 - d _i / f )( L _N / L _i ) となります。L i = L _l - d _i ( d _i_は拡大鏡として収束レンズによって作られる虚像の場合負の値となる) なので、d _i = L _l - L _iとなり、M _Aは次のようになります^[²^]

${\displaystyle M_{\mathrm {A} }=(L_{\mathrm {N} }/L_{\mathrm {i} })(1-(L_{\mathrm {l} }-L_{\mathrm {i} })/f)。$

レンズを対象物から一定の距離に保ち、その前面焦点が観察対象物に合うようにすると、リラックスした状態または調節されていない目（無限遠に焦点を合わせた目）は、像（L _i = -∞ の位置）を角倍率で見ることができます（上記のM _Aの式では、2 番目の括弧内には 3 番目の項のみが残ります）。^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

$M_{\mathrm {A} }={25\ \mathrm {cm} \over f}.$

ここ、 ${\textstyle f}$ はレンズの焦点距離（センチメートル）です。定数25cmは近点の推定値であり、網膜上に鮮明な像を結ぶ、目に最も近い物体の位置までの距離です。 ${\textstyle f<25\ \mathrm {cm} }$ ガラスを通して見た物体は、網膜上の視角が大きくなるため、像のサイズが大きくなり、より大きく見える。 ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

レンズを眼からf (レンズの焦点距離)の距離に配置すると、同じ角度倍率が得られます( L _l = f )。^{[ 2 ]}

最大の角度倍率は、像が目から 25 cm (近点) の位置にあり、レンズが目に非常に近い場合 (ここでも、L _l ~ 0 およびL _i = L _N )に発生します^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

$M_{\mathrm {A} }={25\ \mathrm {cm} \over f}+1$

この場合、物体と像が同じ位置（近点）にあるため、角倍率は線形倍率（物体の相対的な高さの増加）と等しくなります。^{[ 1 ]}

後者の場合の作用に関する別の解釈としては、拡大鏡が目の屈折度を変化させ（近視にする） [^{注2 ]}、物体を目に近づけることで、より大きな角度倍率が得られるというものがある。

顕微鏡

顕微鏡の角倍率は^[¹^]で与えられる。

$M_{\mathrm {A} }=M_{\mathrm {o} }\times M_{\mathrm {e} }$

どこ ${\textstyle M_{\mathrm {o} }}$ 対物レンズの倍率と ${\textstyle M_{\mathrm {e} }}$ 接眼レンズの倍率。対物レンズの倍率は焦点距離によって決まります。 ${\textstyle f_{\mathrm {o} }}$ そして遠くで ${\textstyle d}$ 対物レンズの後焦点面と接眼レンズの焦点面の間（チューブ長と呼ばれる）^[¹^]

$M_{\mathrm {o} }=-{d \over f_{\mathrm {o} }}$

接眼レンズの倍率は焦点距離によって決まります。 ${\textstyle f_{\mathrm {e} }}$ そして、拡大鏡と同じ方程式で計算されます^{[ 1 ]}

$M_{\mathrm {e} }={25\ \mathrm {cm} \over f_{\mathrm {e} }}$

望遠鏡

光学望遠鏡の角倍率は^[¹^]で与えられる。

$M_{\mathrm {A} }=-{f_{\mathrm {o} } \over f_{\mathrm {e} }}$

その中で ${\textstyle f_{\mathrm {o} }}$ は屈折望遠鏡の対物レンズの焦点距離、または反射望遠鏡の主鏡の焦点距離であり、 ${\textstyle f_{\mathrm {e} }}$ は接眼レンズの焦点距離です。

望遠鏡の倍率の測定

望遠鏡の実際の角倍率を測定するのは難しいが、線形倍率はすべての対象物に対して一定であるため、線形倍率と角倍率の間の逆数関係を利用することは可能である。

望遠鏡は、角倍率を求める距離にある物体を観察できるように正しく焦点を合わせ、次に、対物レンズを物体として使用します。この物体の像は射出瞳と呼ばれます。この直径は、ラムスデンダイナメーターと呼ばれる装置を使用して測定できます。ラムスデンダイナメーターは、後焦点面にマイクロメーターの毛が付いたラムスデン接眼レンズで構成されています。これは望遠鏡の接眼レンズの前に取り付けられ、射出瞳の直径を評価するために使用されます。これは対物レンズの直径よりもはるかに小さいため、線形倍率（実際には縮小率）が得られ、角倍率は次のように決定できます。

$M_{\mathrm {A} }={1 \over M}={D_{\mathrm {目的} } \over {D_{\mathrm {ラムズデン} }}}\,.$

最大使用可能倍率

望遠鏡、顕微鏡、レンズなど、どの機器にも最大倍率が存在し、それを超えると画像は大きくなりますが、それ以上の細部は見えなくなります。これは、機器が解像できる最も細かい部分が、人間の目が識別できる最も細かい部分と同じ大きさに拡大されたときに起こります。この最大倍率を超える倍率は、「空虚倍率」と呼ばれることもあります。

良好な大気条件下で動作する高品質の望遠鏡の場合、使用可能な最大倍率は回折によって制限されます。実際には、ミリメートル単位の開口径の 2 倍、インチ単位の開口径の 50 倍とみなされます。したがって、直径60mm の望遠鏡は、最大120倍の倍率で使用可能です。

開口数が高く、油浸を使用する光学顕微鏡では、最高の解像度は200 nmは、約1200倍の倍率に相当します。油浸を使用しない場合、使用可能な最大倍率は約800倍です。詳細は、光学顕微鏡の限界を参照してください。

小型で安価な望遠鏡や顕微鏡には、実用レベルをはるかに超える倍率の接眼レンズが付属している場合がある。

光学系の最大倍率と最小倍率の比は、ズーム比として知られています。

表示画像の「拡大」

印刷物やオンラインで表示される画像の倍率は誤解を招く可能性があります。雑誌や学術誌の編集者は、ページに合わせて画像をリサイズすることが多く、図の説明に記載されている倍率は正確ではありません。コンピュータ画面に表示される画像は、画面サイズに応じてサイズが変わります。スケールバー（またはミクロンバー）とは、画像上に重ねて表示される、長さが明記されたバーのことです。画像のサイズを変更すると、スケールバーも比例してリサイズされます。スケールバーがあれば、実際の倍率を簡単に計算できます。画像のスケール（倍率）が重要または関連性がある場合は、倍率を明記するよりもスケールバーを含める方が望ましいです。

注記

↑薄レンズの場合、光学中心（この点を通る光線は、レンズに入射する方向とレンズから出る方向が平行になる性質を持つ）と絞り中心（この点を通る光線（主光線と呼ばれる）は、絞りを通過する光線束の中心光線とみなされる）は一致し、レンズの厚さは無限小とみなされます。その結果、主光線はレンズの幾何学的中心（この種のレンズでは光学中心と絞り中心の両方）をずれなく通過します。
↑位置的に非常に近い薄いレンズ（ここでは目と拡大鏡）の場合、この光学系の総光パワーは各レンズの光パワーの合計にほぼ等しくなります（こちらを参照）。

参考文献

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10ティプラー、ポール（1976）。物理学。ニューヨーク：ワース出版社、pp. 656–659。ISBN 087901041X。
1 2 3 4 5 6 7ヘクト、ユージン（2017）。「5.7.3 拡大鏡」。光学（第5版）。ピアソン。ISBN 978-1-292-09693-3。
↑ Ray, Sidney F. (2002).応用写真光学：写真、フィルム、ビデオ、電子画像、デジタル画像のためのレンズと光学システム。Focal Press. p. 40. ISBN 0-240-51540-4。
↑キングスレイク、ルドルフ (1992).写真における光学. ワシントン州ベリンガム: SPIE 光学工学出版. p. 32. ISBN 0-8194-0763-1。「レンズが薄い場合、あるいは主平面の位置を推測できる場合は、[ $1/ d i + 1/ d o = 1/ f$ および $M = d i / d o$ ] から、以下の簡単な規則を容易に構築できます。これらの規則は、特に正レンズが実像を形成する場合、すなわちすべての距離と倍率が正の値であると仮定する場合に適用されます。虚像が関係する場合は、[先に述べた]元の式に戻る方が良いでしょう。その式は [ $d o = f (1 + 1/M)$ および $d i = f (1 + M)$ ] です。」

[thin_lens_comment0-5] 薄レンズの場合、光学中心（この点を通る光線は、レンズに入射する方向とレンズから出る方向が平行になる性質を持つ）と絞り中心（この点を通る光線（主光線と呼ばれる）は、絞りを通過する光線束の中心光線とみなされる）は一致し、レンズの厚さは無限小とみなされます。その結果、主光線はレンズの幾何学的中心（この種のレンズでは光学中心と絞り中心の両方）をずれなく通過します。

[6] 位置的に非常に近い薄いレンズ（ここでは目と拡大鏡）の場合、この光学系の総光パワーは各レンズの光パワーの合計にほぼ等しくなります（こちらを参照）。

[pt-1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10ティプラー、ポール（1976）。物理学。ニューヨーク：ワース出版社、pp. 656–659。ISBN 087901041X。

[:0-2] 1 2 3 4 5 6 7ヘクト、ユージン（2017）。「5.7.3 拡大鏡」。光学（第5版）。ピアソン。ISBN 978-1-292-09693-3。

[3] Ray, Sidney F. (2002).応用写真光学：写真、フィルム、ビデオ、電子画像、デジタル画像のためのレンズと光学システム。Focal Press. p. 40. ISBN 0-240-51540-4。

[4] キングスレイク、ルドルフ (1992).写真における光学. ワシントン州ベリンガム: SPIE 光学工学出版. p. 32. ISBN 0-8194-0763-1。「レンズが薄い場合、あるいは主平面の位置を推測できる場合は、[ $1/ d i + 1/ d o = 1/ f$ および $M = d i / d o$ ] から、以下の簡単な規則を容易に構築できます。これらの規則は、特に正レンズが実像を形成する場合、すなわちすべての距離と倍率が正の値であると仮定する場合に適用されます。虚像が関係する場合は、[先に述べた]元の式に戻る方が良いでしょう。その式は [ $d o = f (1 + 1/M)$ および $d i = f (1 + M)$ ] です。」

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[Note 1]

注2 ]