光クラスター状態

光クラスター状態は、線形光量子コンピューティング（LOQC）における量子計算の普遍性を実現するために提案されているツールです。 ^[1]光子との直接エンタングルメント操作には非線形効果が必要になることが多いため、エンタングルメントされたリソース状態の確率的生成が直接的なアプローチの代替手段として提案されています。

LOQCを実装するための最も一般的なプラットフォームの1つであるシリコンフォトニックチップでは、量子情報をエンコードするための典型的な選択肢が2つありますが、他にも多くの選択肢があります。^{[2]光子は、可能な光子経路の空間モードまたは光子自体の}偏光において有用な自由度を持っています。クラスター状態が生成される方法は、実装のために選択されたエンコードによって異なります。

光子経路の空間モードに情報を保存することは、しばしばデュアルレールエンコーディングと呼ばれます。単純なケースでは、光子が2つの経路、つまり生成演算子 を持つ水平経路と生成演算子を持つ垂直経路を持つ状況を考えてみましょう。この場合、論理的な0と1の状態は次のように表されます。 ${\displaystyle a^{\dagger}}$${\displaystyle b^{\dagger}}$

${\displaystyle a^{\dagger }|0_{a},0_{b}\rangle =|1_{a},0_{b}\rangle =|0\rangle _{L}}$

そして

${\displaystyle b^{\dagger }|0_{a},0_{b}\rangle =|0_{a},1_{b}\rangle =|1\rangle _{L}}$。

単一量子ビット操作は、モードの相対的な重ね合わせの重みを操作できるビームスプリッターと、2つのモードの相対的な位相を操作できる位相シフターによって実行されます。このタイプのエンコードは、クラスター状態を生成するためのニールセンプロトコルに適しています。光子偏光によるエンコードでは、論理的な0と1は、光子の水平状態と垂直状態を介してエンコードできます。

${\displaystyle |H\rangle =|0\rangle _{L}}$

そして

${\displaystyle |V\rangle =|1\rangle _{L}}$。

このエンコーディングにより、波長板を使用して単一量子ビット操作を実行できます。このエンコーディングは、Browne-Rudolph プロトコルで使用できます。

2004 年に、ニールセンはクラスター状態を作成するためのプロトコルを提案しました^{[3]。これは}、クニル・ラフラム・ミルバーン プロトコル(KLM プロトコル)の手法を借用して、量子ビット間の制御された Z 接続を確率的に作成し、一対の状態 (正規化は無視) で実行すると、クラスター状態の基礎を形成します。KLM プロトコルでは、非常に高い確率の 2 量子ビット ゲートを得るためにエラー訂正とかなりの数のモードが必要ですが、ニールセンのプロトコルでは、ゲートあたりの成功確率が半分より大きいことだけが必要です。補助光子を使用した接続の成功確率が であることを考えると、成功確率をほぼ 1 から半分を超える値に緩和すると、リソースの面で大きな利点が得られ、また、光子回路で必要な要素の数も単純に削減されます。 ${\displaystyle |+\rangle =|0\rangle +|1\rangle }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n^{2}/(n+1)^{2}}$

ニールセンがどのようにこの改善をもたらしたかを知るには、2 次元グリッド上の頂点として量子ビットに生成される光子と、最近傍間のエッジを確率的に追加する制御 Z 操作を考えてみましょう。パーコレーション理論の結果を使用すると、エッジを追加する確率が特定のしきい値を超えている限り、ほぼ単位確率のサブグラフとして完全なグリッドが存在することが示されます。このため、ニールセンのプロトコルは、個々の接続がすべて成功することを前提としているわけではなく、光子間の接続によってグリッドが形成できる程度の接続数だけ成功することに依存しています。

光量子コンピューティングにリソース状態を利用する最初の提案の 1 つに、2003 年の Yoran-Reznik プロトコルがあります。 ^[4]このプロトコルで提案されたリソースは厳密にはクラスター状態ではありませんでしたが、光量子コンピューティングの可能性を検討している人々の注目を集め、制御された Z 操作を介して複数の個別の 1 次元のエンタングルメント光子チェーンを接続する必要がありました。このプロトコルは、量子ビット間のエンタングルメントを助けるために、空間モードの自由度と偏光の自由度の両方を利用するという点で、ややユニークです。

水平パス（ ）と垂直パス（ ）があり、パスを接続する50:50ビームスプリッタとパス上の位相シフタがあれば、次の変換を実行できる。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \pi /2}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle |H,a\rangle \rightarrow {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H,b\rangle +|V,a\rangle )}$

${\displaystyle |V,a\rangle \rightarrow {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H,a\rangle -|V,b\rangle )}$

${\displaystyle |H,b\rangle \rightarrow {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H,b\rangle -|V,a\rangle )}$

${\displaystyle |V,b\rangle \rightarrow {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H,a\rangle +|V,b\rangle )}$

ここで、 は経路 上の偏光を持つ光子を表します。このようにして、光子の経路とその偏光がエンタングルメントされます。これは、単一粒子の自由度が互いにエンタングルメントされている状態であり、ハイパーエンタングルメントと呼ばれることもあります。これをホン・オウ・マンデル効果および偏光状態の射影測定と組み合わせると、線形チェーン内の光子間の経路エンタングルメントを作成できます。 ${\displaystyle |\lambda ,k\rangle }$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle k}$

エンタングルされた光子のこれらの 1 次元チェーンは、KLM プロトコルと同様に、制御された Z 操作を介して接続される必要があります。チェーン間のこれらの制御された Z 接続は依然として確率的であり、特別なリソース状態による測定依存のテレポーテーションに依存しています。ただし、この方法では、KLM プロトコルのように計算に使用されている光子のフォック測定が含まれないため、制御された Z 操作を実装する際の確率的な性質によって生じる問題ははるかに少なくなります。実際、接続が 1/2 を超える確率で発生する限り、チェーン間に存在するエンタングルメントは、平均して有用な量子計算を実行するのに十分です。

光子の偏光に完全に焦点を当てたクラスター状態を構築する別のアプローチは、ブラウン・ルドルフ・プロトコルです。^[5]この方法は、一対の光子のパリティチェックを実行して、すでにエンタングルされた光子セットをつなぎ合わせることに依存しており、このプロトコルにはエンタングルされた光子源が必要です。ブラウンとルドルフは、タイプ I 融合とタイプ II 融合と呼ばれる 2 つの方法を提案しました。

タイプI核融合では、垂直または水平偏光の光子が、偏光ビームスプリッターで接続されたモードとに注入されます。このシステムに送られる各光子は、この方法でエンタングルメントを試みるベル対の一部です。偏光ビームスプリッターを通過すると、2つの光子は同じ偏光の場合は反対方向に移動し、反対偏光の場合は同じ方向に移動します。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle |H_{a},H_{b}\rangle \rightarrow |H_{a},H_{b}\rangle }$

または

${\displaystyle |H_{a},V_{b}\rangle \rightarrow |H_{a}V_{a},0_{b}\rangle }$

次に、これらのモードの 1 つで、基底への射影測定が実行されます。測定が成功した場合、つまり何かが検出された場合、検出された光子は破壊されますが、ベル対からの残りの光子はエンタングルメントされます。何も検出されなかった場合、関係する光子は実質的に失われ、エンタングルメントされた光子のチェーンが切断されます。これにより、すでに開発されたチェーン間の接続を試みることは、潜在的に危険になる可能性があります。 ${\displaystyle |H\rangle \pm |V\rangle }$

タイプ II 融合はタイプ I 融合と同様に機能しますが、違いは、対角偏光ビームスプリッターが使用され、光子のペアが 2 量子ビットのベル基底で測定されることです。ここでの測定が成功するには、ペアが、状態の重ね合わせ間に相対位相がないベル状態 (ではなく、例えば) にあることを測定する必要があります。これにより、すでに形成されている 2 つのクラスターが再びエンタングルメントされます。ここで失敗すると、ローカル サブグラフ上でローカル補完が実行され、既存のチェーンが半分に切断されるのではなく短くなります。このように、エンタングルメントされたリソースを組み合わせるためにより多くの量子ビットを使用する必要がありますが、2 つのチェーンを接続しようとする試みで発生する潜在的な損失は、タイプ II 融合ではタイプ I 融合ほどコストがかかりません。 ${\displaystyle |H,H\rangle +|V,V\rangle }$${\displaystyle |H,H\rangle -|V,V\rangle }$

クラスター状態が正常に生成されると、格子上の量子ビットに測定値を適用することで、リソース状態を直接使用して計算を行うことができます。これは測定ベースの量子計算(MQC) のモデルであり、回路モデルと同等です。

MQC の論理演算は、量子テレポーテーション中に発生する副産物演算子から生じます。たとえば、単一の量子ビット状態 が与えられた場合、 2 量子ビットの制御された Z 演算を介してこの量子ビットをプラス状態に接続できます。次に、 Pauli-X 基底で最初の量子ビット (元の ) を測定すると、最初の量子ビットの元の状態が、測定結果に依存する追加の回転によって 2 番目の量子ビットにテレポートされます。これは、2 量子ビット状態に作用する測定の部分内積から確認できます。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |+\rangle =|0\rangle +|1\rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle (\left\langle +\right|Z^{m}\otimes I)CZ(\left|\psi \right\rangle \otimes \left|+\right\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2}}}HZ^{m}\left|\psi \right\rangle }$。

は、測定結果をに対する Pauli-X の固有状態、またはに対する固有状態として表します。制御された Z 操作のペアによって状態に接続された2 量子ビット状態は、元の量子ビットを測定した後、テレポートされた状態に対する 2 量子ビット操作を生成します。 ${\displaystyle m=0,1}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle m=0}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle m=1}$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle CZ|+\rangle ^{\otimes 2}}$${\displaystyle |\phi \rangle }$

${\displaystyle (\langle +|Z^{m_{1}}\otimes \langle +|Z^{m_{2}}\otimes I)CZ_{1,3}CZ_{2,4}(|\phi \rangle \otimes CZ|+\rangle ^{\otimes 2})={\frac {1}{2}}CZ(HZ^{m_{1}}\otimes HZ^{m_{2}})|\phi \rangle }$。

測定結果およびについては、この基本概念は任意の数の量子ビットに拡張され、したがって計算は連鎖を下るテレポーテーションの副産物演算子によって実行されます。目的の単一量子ビット ゲートを調整することは、各量子ビットの測定基底を調整するだけであり、非パウリ測定は汎用的な量子計算に必要です。 ${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle m_{2}}$

近年、シリコンフォトニックチップの実験室環境で経路エンタングルメントされた 2 つの量子ビット状態が生成され、光クラスター状態の生成に向けて重要な一歩を踏み出しました。これを行う方法の中で、マイクロリング共振器とその他の導波管を適切に使用してフィルタリングすることで、2 光子ベル状態のオンチップ生成を実行できることが実験的に実証されています。この状態は、ローカルユニタリ操作まで 2 量子ビットクラスター状態と同等です。

これを行うには、 2 つの経路に分かれるオンチップ導波路に短いレーザーパルスを注入します。これにより、パルスは、進む可能性のある方向の重ね合わせになります。2 つの経路はマイクロリング共振器に結合され、レーザー パルスが循環して、自発的な 4 波混合が発生するまで、レーザー パルスが循環します。この混合では、レーザー パルスから 2 つの光子が取り出され、エネルギーを節約する方法で、異なる周波数を持つ信号光子とアイドラー光子と呼ばれる光子のペアに変換されます。一度に複数の光子ペアが生成されないように、この手順ではエネルギー保存則を利用し、レーザー パルスには 1 対の光子を生成するのに十分なエネルギーのみが含まれるようにします。この制限により、自発的な 4 波混合は一度に 1 つのマイクロリング共振器でのみ発生できます。つまり、レーザー パルスがたどる可能性のある経路の重ね合わせは、2 つの光子が存在する可能性のある経路の重ね合わせに変換されます。数学的には、レーザーパルスを と表し、経路を と表すと、プロセスは次のように記述できます。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle i}$${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle |\alpha \rangle \rightarrow {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\alpha _{a}\rangle +|\alpha _{b}\rangle )\rightarrow {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|1_{s,a},0_{s,b},1_{i,a},0_{i,b}\rangle +|0_{s,a},1_{s,b},0_{i,a},1_{i,b}\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle _{L}+|11\rangle _{L})}$

ここで、は経路 上に光子 が存在することを表します。 2 つの光子の状態がこのような重ね合わせ状態にある場合、それらはエンタングルメント状態にあり、これはベル不等式のテストによって検証できます。 ${\displaystyle |n_{x,y}\rangle }$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

偏光エンタングルメント光子対もオンチップで生成されている。^{[6]このセットアップには、}偏光回転子によって半分に分割されたシリコンワイヤ導波路が含まれる。このプロセスは、デュアルレールエンコーディングで説明したエンタングルメント生成と同様に、偏光回転子の両側のシリコンワイヤで発生する可能性のある自発的な4波混合の非線形プロセスを利用する。ただし、これらのワイヤの形状は、レーザーポンプ光子を信号光子とアイドラー光子に変換する際には水平偏光が優先されるように設計されています。したがって、光子対が生成されると、両方の光子は同じ偏光、つまり

${\displaystyle |\psi \rangle =|H_{s},H_{i}\rangle }$。

偏光回転子は、水平偏光が垂直偏光に切り替わるように特定の寸法で設計されます。したがって、回転子の前に生成された光子のペアは垂直偏光で導波管から出ますが、ワイヤのもう一方の端で生成された光子のペアは水平偏光のまま導波管から出ます。数学的には、全体的な正規化まで、このプロセスは次のようになります。

${\displaystyle |\alpha \rangle \rightarrow |\alpha '\rangle +|H_{s},H_{i}\rangle \rightarrow |\alpha '\rangle +|V_{s},V_{i}\rangle \rightarrow |H_{s},H_{i}\rangle +e^{i\phi }|V_{s},V_{i}\rangle }$。

回転子の両側に等しい空間があり、それぞれの側で自発的な四波混合が等しく起こり得ると仮定すると、光子の出力状態は最大限にエンタングルされます。

${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H_{s},H_{i}\rangle +e^{i\phi }|V_{s},V_{i}\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle _{L}+e^{i\phi }|11\rangle _{L})}$。

この方法で生成された状態は、Browne-Rudolph プロトコルを使用してクラスター状態を構築するために使用できる可能性があります。