マルコフオドメーター

数学において、マルコフオドメーターは、ある種の位相力学系である。H .ダイの定理によれば、すべてのエルゴードな非特異変換はマルコフオドメーターと軌道等価であると主張しているため、マルコフオドメーターはエルゴード理論、特に力学系の軌道理論において基本的な役割を果たす。^[1]

このようなシステムの基本的な例は、「非特異オドメーター」です。これは、 （ここで ）として定義される加算によって誘導される、離散空間の積空間上に定義される加法位相群です。この群は、動的システムの構造を備えることができ、その結果は、保守的な動的システムになります。 ${\displaystyle x\mapsto x+{\underline {1}}}$${\displaystyle {\underline {1}}:=(1,0,0,\dots )}$

「マルコフオドメーター」と呼ばれる一般的な形式は、ブラッテリ・ヴェルシック図を通じて構築することができ、対応する変換とともに ブラッテリ・ヴェルシックコンパクト空間を定義します。

非特異なオドメーターにはいくつかの種類が定義できる。^{[2]これらは}加算機 と呼ばれることもある。^[3] 最も単純なものはベルヌーイ過程で表される。これは、2つの記号（ここでは で示される）のすべての無限文字列の集合であり、積位相を持つ。この定義は、積空間で定義されるより一般的なオドメーターに自然に拡張される。${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$

${\displaystyle \Omega =\prod _{n\in \mathbb {N} }\left(\mathbb {Z} /k_{n}\mathbb {Z} \right)}$

それぞれが${\displaystyle (k_{n})}$${\displaystyle k_{n}\geq 2.}$

すべての の走行距離計は、二進走行距離計、フォン・ノイマン・角谷加算機、または二進加算機と呼ばれます。 ${\displaystyle k_{n}=2}$${\displaystyle n}$

すべての加算機の位相エントロピーはゼロです。[ 3 ^]位相エントロピーがゼロの区間の連続写像は、周期軌道を除いた位相不変推移集合への作用に限定すると、加算機と位相共役になります。^[3]

2つの記号の弦のすべての無限弦の集合は、円筒集合によって生成される自然な位相、積位相を持つ。積位相はボレルシグマ代数に拡張される。その代数を で表す。個々の点は で表す。${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x\in \Omega }$${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ).}$

ベルヌーイ過程には通常、測度の集合、つまり とで与えられるベルヌーイ測度が備わっており、 は とは独立しています。 の値はむしろ特殊で、 をコンパクトなアーベル群と見なすときのハール測度の特殊なケースに対応します。ベルヌーイ測度は、2 進整数上の 2 進測度と同じではないことに注意してください。正式には、 は 2 進整数の基本空間でもあることがわかります。ただし、2 進整数にはp 進計量という計量が備わっており、ここで使用されている積位相とは異なる 計量位相が誘導されます。${\displaystyle \mu_{p}(x_{n}=1)=p}$${\displaystyle \mu_{p}(x_{n}=0)=1-p}$${\displaystyle 0<p<1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p=1/2}$${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle \オメガ}$

空間には 、キャリービット付きの座標加算として定義される加算が与えられます。つまり、各座標について 、 ${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle (x+y)_{n}=x_{n}+y_{n}+\varepsilon _{n}\,{\bmod {\,}}2}$${\displaystyle \varepsilon_{0}=0}$

${\displaystyle \varepsilon _{n}={\begin{cases}0&x_{n-1}+y_{n-1}}} <2\\1&x_{n-1}+y_{n-1}=2\end{cases}}}$

帰納的に。1ずつ増加するものは、（2項）オドメーターと呼ばれます。これは、 によって与えられる変換です。ここで、です。これは、それが「転がる」ときの見た目からオドメーターと呼ばれます。 は変換 です。であり、 は-測定可能、つまり、すべての に対して であることに注意してください。${\displaystyle T:\Omega \to \Omega }$${\displaystyle T(x)=x+{\underline {1}}}$${\displaystyle {\underline {1}}:=(1,0,0,\dots )}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T\left(1,\dots ,1,0,x_{k+1},x_{k+2},\dots \right)=\left(0,\dots ,0,1,x_{k+1},x_{k+2},\dots \right)}$${\displaystyle T^{-1}(0,0,\cdots )=(1,1,\cdots )}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle T^{-1}(\sigma )\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {B}}.}$

変換は任意の に対して非特異です。 が与えられたとき、の場合にのみ が成り立つとき、測定可能な変換は非特異であることを思い出してください。この場合、 ${\displaystyle T}$${\displaystyle \mu _{p}}$${\displaystyle \tau :\Omega \to \Omega }$${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \mu (\tau ^{-1}\sigma )=0}$${\displaystyle \mu (\sigma )=0}$

${\displaystyle {\frac {d\mu _{p}\circ T}{d\mu _{p}}}=\left({\frac {1-p}{p}}\right)^{\varphi }}$

ここで。したがって はに関して特異ではない。 ${\displaystyle \varphi (x)=\min \left\{n\in \mathbb {N} \mid x_{n}=0\right\}-2}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mu _{p}}$

変換はエルゴードです。これは、任意の自然数に対して、 の軌道が集合となることからわかります。これは、非原子空間内のすべての可逆なエルゴード非特異変換が保存的であるため、が保存的であることを意味します。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle x\in \Omega }$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle T^{0},T^{1},\cdots ,T^{2^{n}-1}}$${\displaystyle \{0,1\}^{n}}$${\displaystyle T}$

の特殊なケースでは、 は測度保存力学系であることに注意してください。 ${\displaystyle p=1/2}$${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {B}},\mu _{1/2},T\right)}$

同じ構成により、離散空間のあらゆる積に対してこのようなシステムを定義することができる。一般に、次のように書くことができる。

${\displaystyle \Omega =\prod _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}$

に対して整数で表されます。積位相は、上の積ボレルシグマ代数に自然に拡張されます。上の積測度は、上の何らかの測度が与えられた場合に、慣例的に定義されます。対応する写像は次のように定義されます。 ${\displaystyle A_{n}=\mathbb {Z} /m_{n}\mathbb {Z} =\{0,1,\dots ,m_{n}-1\}}$${\displaystyle m_{n}\geq 2}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \textstyle \mu =\prod _{n\in \mathbb {N} }\mu _{n},}$${\displaystyle \mu _{n}}$${\displaystyle A_{n}}$

${\displaystyle T(x_{1},\dots ,x_{k},x_{k+1},x_{k+2},\dots )=(0,\dots ,0,x_{k}+1,x_{k+1},x_{k+2},\dots )}$

ここで はの最小の指数です。これも位相群です。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle x_{k}\neq m_{k}-1}$

この特別なケースは、空間上で定義される オルンスタインオドメーターである。

${\displaystyle \Omega =\left(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \right)\times \left(\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \right)\times \left(\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \right)\times \cdots }$

測定値は

${\displaystyle \mu _{n}(j)={\begin{cases}1/2&{\mbox{ if }}j=0\\1/2(n+1)&{\mbox{ if }}j\neq 0\\\end{cases}}}$

保守的なオドメーターと密接に関連する概念は、アーベル砂山モデルの概念です。このモデルは、上で構築された有限群の有向線形シーケンスを、頂点と辺の無向グラフに置き換えます。各頂点に、頂点の次数を持つ有限群を配置します。遷移関数はグラフラプラシアンによって定義されます。つまり、任意の頂点を 1 ずつ増やすことができます。最大のグループ要素を増分すると (0 に戻るように増分すると)、隣接する各頂点が 1 ずつ増えます。 ${\displaystyle (V,E)}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle n=deg(v)}$${\displaystyle v}$

サンドパイル モデルは、上記の保守的なオドメーターの定義とは 3 つの点で異なります。まず、一般的に、開始頂点として選択される一意の頂点はありませんが、上記では最初の頂点が開始頂点であり、遷移関数によって増分される頂点です。次に、サンドパイル モデルは一般に無向エッジを使用するため、オドメーターの折り返しはすべての方向に再分配されます。3 つ目の違いは、サンドパイル モデルは通常、無限グラフでは採用されず、代わりに、すべての増分を吸収し、決して折り返さない「シンク」と呼ばれる 1 つの特別な頂点が選択されることです。シンクは、無限グラフの無限部分を切り取ってシンクに置き換えることと同じです。または、その終了点以降のすべての変更を無視することと同じです。

を順序付けられたブラッテリ・ヴェルシック図とします。これは、形式(不連続和) の頂点の集合で構成され、 はシングルトンであり、辺の集合(不連続和) 上にあります。 ${\displaystyle B=(V,E)}$${\displaystyle \textstyle \coprod _{n\in \mathbb {N} }V^{(n)}}$${\displaystyle V^{0}}$${\displaystyle \textstyle \coprod _{n\in \mathbb {N} }E^{(n)}}$

図には、ソース射影マッピングと範囲射影マッピングが含まれています。が の場合にのみ比較可能であると仮定します。 ${\displaystyle s_{n}:E^{(n)}\to V^{(n-1)}}$${\displaystyle r_{n}:E^{(n)}\to V^{(n)}}$${\displaystyle e,e'\in E^{(n)}}$${\displaystyle r_{n}(e)=r_{n}(e')}$

このような図では、積位相を備えた積空間を見る。「ブラッテリ・ヴェルシック・コンパクト」を無限経路の部分空間として定義する。 ${\displaystyle \textstyle E:=\prod _{n\in \mathbb {N} }E^{(n)}}$

${\displaystyle X_{B}:=\left\{x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in E\mid x_{n}\in E^{(n)}{\text{ and }}r(x_{n})=s(x_{n+1})\right\}}$

それぞれが最大となる無限経路が 1 つだけ存在し、同様に無限経路が 1 つだけ存在すると仮定します。 を任意の定義に対して、 によって「Bratteli-Vershik マップ」を定義します。ここで、 はが最大ではない最初のインデックスであり、それに応じて がすべて最大となるの唯一の経路であり、が の後継であるとします。この場合、は の同相写像です。 ${\displaystyle x_{\max }=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{\text{min}}}$${\displaystyle T_{B}:X_{B}\to X_{B}}$${\displaystyle T(x_{\max })=x_{\min }}$${\displaystyle x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\neq x_{\max }}$${\displaystyle T_{B}(x_{1},\dots ,x_{k},x_{k+1},\dots )=(y_{1},\dots ,y_{k},x_{k+1},\dots )}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle (y_{1},\dots ,y_{k})}$${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{k-1}}$${\displaystyle y_{k}}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle T_{B}}$${\displaystyle X_{B}}$

が のときのみ となる確率行列のシーケンスであるとします。 のシリンダー上の「マルコフ測度」を で定義します。このシステムは「マルコフオドメーター」と呼ばれます。 ${\displaystyle P=\left(P^{(1)},P^{(2)},\dots \right)}$ ${\displaystyle P^{(n)}=\left(p_{(v,e)\in V^{n-1}\times E^{(}n)}^{(n)}\right)}$${\displaystyle p_{v,e}^{(n)}>0}$${\displaystyle v=s_{n}(e)}$${\displaystyle X_{B}}$${\displaystyle \mu _{P}([e_{1},\dots ,e_{n}])=p_{s_{1}(e_{1}),e_{1}}^{(1)}\cdots p_{s_{n}(e_{n}),e_{n}}^{(n)}}$${\displaystyle \left(X_{B},{\mathcal {B}},\mu _{P},T_{B}\right)}$

非特異オドメーターは、すべてがシングルトンであるマルコフオドメーターであることが示されます。 ${\displaystyle V^{(n)}}$

• アーベル砂山モデル

• アーロンソン、J. (1997)。無限エルゴード理論入門。数学概論とモノグラフ。第50巻。アメリカ数学会。pp. 25–32。ISBN 9781470412814。
• Dooley, Anthony H. (2003)。「マルコフ オドメーター」。Bezuglyi, Sergey、Kolyada, Sergiy (編)。動力学とエルゴード理論のトピック。国際会議および米国ウクライナ ワークショップで発表された調査論文とミニコース。ウクライナ、カツィヴェリ、2000 年 8 月 21 ～ 30 日。ロンドン数学協会講義ノート シリーズ第 310 巻。ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局。pp. 60 ～80。ISBN 0-521-53365-1.ZBL1063.37005  .​