マレーの法則

生物物理流体力学において、マレーの法則は、流体を運ぶ管状パイプのネットワークにおける分岐点の半径間の関係を表すポテンシャルである。その最も単純なバージョンは、半径の分岐が常に${\displaystyle r}$半径の2つの枝に分かれる$\displaystyle r_1}}$そして$\displaystyle r_2$すると、3つの半径は次の式に従うはずです。$$\displaystyle r^{3}=r_{1}^{3}+r_{2}^{3}{\text{.}}}$$ネットワークの流れが滑らかで漏れがない場合、マレーの法則に従うシステムは、ネットワークを通過する流れに対する抵抗を最小限に抑えます。乱流ネットワークの場合、この法則は同じ形式をとりますが、特性指数αが異なります。

マレーの法則は、動物の血管系や呼吸器系、植物の木部、昆虫の呼吸器系において観察される。原理的には、マレーの法則は生体模倣工学にも適用されるが、人間の設計においてこの法則が活用されることは稀である。

マレーの法則は、ブリンマー大学の生理学者であるセシル・D・マレーにちなんで名付けられました。彼は、効率的な輸送が人間の血管系の構造を決定する可能性があると最初に主張しました。

マレーの法則は、物質が管状パイプのネットワーク内の流体の流れによって受動的に輸送されることを前提としており、^{[ 1 ]}、ネットワークは流れと構造的完全性の両方を維持するためにエネルギーを必要とする。^{[ 2 ]}スケール間 の流体粘度の変化はマレーの法則の指数に影響を与えるが、通常は小さすぎて問題にならない。^{[ 3 ]}

立方指数が最適となる条件は少なくとも2つ知られている。

第一に、生物は自由（可変）循環量を持つ。また、維持エネルギーは管の材質に比例するのではなく、作動流体の量に比例する。後者の仮定は、血液などの代謝的に活性な生体液では正当化される。^{[ 4 ]}また、エネルギー的「コスト」が各管の断面積に比例する限り、空気などの代謝的に不活性な流体 でも正当化される。これは、既知のすべての生物学的管の場合に当てはまる。^{[ 5 ]}

2番目のケースでは、生物は一定の循環量と圧力を持ちますが、システムを通る流れに対する抵抗を最小限に抑えたいと考えています。言い換えれば、維持は無視できるほど小さく、生物は体積流量を最大化したいのです。^{[ 6 ]}

マレーの法則のほとんどの導出は定常流場を仮定しているが、同じ結果は流れの波長に比べて中程度から小さい幅の管内の流れにも適用される。^{[ 7 ]}

マレーの元の導出では、上述の最初の仮定セットが用いられています。彼女は、動粘度μの流体が半径r、長さlの円筒管内を層流で流れる場合、圧力降下Δpに伴う体積流量Qは、ハーゲン・ポアズイユの式から始めます。$${\displaystyle Q={\frac {\pi }{8\mu }}{\frac {r^{4}}{l}}\Delta p}$$そして対応する消費電力は^{[ 1 ]}$${\displaystyle P={\frac {8\mu }{\pi }}{\frac {lQ^{2}}{r^{4}}}{\text{.}}}$$当該パイプの体積はπ lr ²である。維持電力密度がλである場合、消費される総電力（流量と維持の両方から）は$${\displaystyle \sum {P}={\frac {8\mu }{\pi }}{\frac {lQ^{2}}{r^{4}}}+\pi \lambda lr^{2}{\text{.}}}$$この量を最小化するには、生物が操作できる変数を正確に特定する必要がありますが、最小値は必ず2つの項が互いに比例する場合に発生します。^{[ 8 ]}この最小の場合、比例関係によってQとr の関係が決まります。共通因数を消去して平方根を取ると、

つまり、エネルギー消費を最小限に抑えるには、パイプを流れる質量はパイプの半径の3乗に比例しなければならない。流れは漏れがないため、分岐点への総流入量は総流出量と等しくなければならない。$${\displaystyle \sum _{\text{in}}{Q}=\sum _{\text{out}}{Q}{\text{.}}}$$（1 ）を代入すると、 α = 3のマレーの法則が得られる。^{[ 9 ]}この特性指数は、べき乗則、ビンガム流体、ハーシェル・バルクリー流体などの非ニュートン流体モデルの層流にも当てはまる。^{[ 10 ]}

高レイノルズ数乱流の極限では、輸送抵抗はα = ⁠ 7 / 3 ⁠のときに最小になります^{[ 11 ] [ 12 ]}$${\displaystyle Q\propto r^{\alpha }.}$$流体の種類、チャネル壁の粗さ、ネットワーク内の流れのレイノルズ数に応じて、特性指数αはレイノルズ数の増加に伴って3から7/3に減少します。^{[ 13 ]}

ネットワークが輸送される物質が「流れに巻き込まれる」ことに依存しず、受動的に拡散することを想定している場合、輸送に対する抵抗はα = 2 のときに最小になります。つまり、$$\displaystyle \sum _{\text{in}}{r^{2}}=\sum _{\text{out}}{r^{2}}{\text{.}}}$$同じ法則は、直径が異なるものの単一の材料で構成された直流送電網にも適用される。^{[ 14 ]}

一般的に、拡散と層流の中間のネットワークは、少なくとも近似的には、2～3の特性指数を持つと予想される。^{[ 15 ] [ 16 ]}

マレーの法則は、ヒヨコ、イヌの腸と肺、ネコの腸間膜、ヒトの腸と肺の毛細血管で検証されている。 [ ^{17 ] [ 18 ]血管}壁タンパク質エラスチンを欠損するように遺伝子操作された マウスは、血管が小さく薄いが、それでもマレーの法則に従う。^{[ 19 ]}

ヒトでは、大動脈や気管などの大きな血管は、マレーの法則に従わないようで、代わりに指数が2に近いマレーの法則に従います。[ ^{18 ]しかし}、これらの血管内の流れは部分的に乱流でもあるため、 3よりも7/3に 近い指数を示すはずです。^{[ 20 ]}

昆虫は完全な循環系を持たず、代わりに血体腔を通じた受動拡散に依存している。これらのネットワークについては、マレーの法則は断面積が一定であると予測しており、これは実際に観察されている。^{[ 14 ]}

マレーの法則を示唆するのと同じ議論は、細管の分布がサイズに対して特定のべき乗則に従うべきであることを示唆している。植物の木部は、通路が構造的な支持部としても機能するシナリオを除いて、そのスケーリングを示すことが知られている。^{[ 21 ] [ 22 ]}

現在マレーの法則として認識されている最初の現象は、循環系に関するヤングの法則であり、2 つの同一の毛細血管が結合して半径が約1.26≈ ³ √ 2 倍の毛細血管を形成するという法則で、19 世紀初頭に遡ります。^{[ 23 ]} ブリンマー大学の生理学者セシル D. マレーは1926 年にこの法則の現代的で一般的な定式化を発表しましたが、^{[ 24 ] [ 23 ]}その後 50 年間、物理学者にとっては些細すぎ、生物学者にとっては複雑すぎたため、学問分野の空白地帯に放置されていました。^{[ 23 ]} この法則への関心は 1970 年代に再び高まりました。^{[ 23 ]}

α = 3の Murray の法則に従う循環系では、血管壁にかかるせん断応力はほぼ一定です。したがって、せん断応力の変動は Murray の法則からの逸脱の兆候であり、Rodbard と Zamir は、このような変動が恒常的な成長または収縮を刺激すると示唆しています。^{[ 25 ]}

マレーの法則は人工材料にはほとんど適用されない。なぜなら、人工の輸送経路は分岐を最小限に抑え、直径を最大化することで流れ抵抗を低減しようとするからである。^{[ 26 ]}

マレーの材料

微細スケールでマレーの法則に従う材料はマレー材料として知られており、良好な流動特性を持つことが期待されるが、その製造は困難である。なぜなら、通常、広範囲のスケールにわたって細孔サイズを厳密に制御する必要があるからである。 ^{[ 16 ] [ 27 ]}

Limらは、分析中の流れ抵抗を最小限に抑えるために、マレーの法則に従ってマイクロ流体「チップ上のラボ」を設計することを提案している。従来のリソグラフィーでは、深さの異なるチャネルを作製できないため、このような構造はサポートされていない。^{[ 28 ]}

長寿命リチウム電池電極を求めて、Zhengらは焼結酸化亜鉛ナノ粒子の層からマレー材料を構築した。溶解した酸化亜鉛溶媒の蒸発速度によって各層の細孔サイズが制御され、ネットワークは異なる細孔サイズのZnO層が互いに積み重なったものとなった。^{[ 16 ]}

発電所の作動流体は通常、効率的な熱伝達のために多数の細い管に流れ込むため、マレーの法則は原子炉の設計に適している可能性がある。^{[ 29 ]}