ビンガムプラスチック

材料科学において、ビンガムプラスチックは、低応力では剛体として挙動し、高応力では粘性流体として流動する粘塑性材料です。この数学的形式を提案したユージン・C・ビンガムにちなんで名付けられました。^[1]

これは、掘削工学やスラリー処理における泥流の一般的な数学モデルとして使用されています。一般的な例としては、歯磨き粉^{[2]があります。これは、チューブに一定の}圧力がかかるまで押し出されません。その後、比較的まとまりのあるプラグとして押し出されます。

図1は、例えばパイプ内の通常の粘性流体（またはニュートン流体）の挙動を赤色で示したグラフです。パイプの一端の圧力が増加すると、流体に応力が生じて流体が動く傾向があり（せん断応力）、体積流量が比例して増加します。しかし、ビンガム塑性流体（青色）の場合、応力を加えても、特定の値（降伏応力）に達するまでは流れません。この点を超えると、せん断応力の増加とともに流量が着実に増加します。これは、ビンガムが塗料の実験研究で観察結果を発表した方法とほぼ同じです。^{[3]これらの特性により、ビンガム塑性流体は、}ニュートン流体のような特徴のない表面ではなく、山や尾根のあるテクスチャのある表面を持つことができます。

図2は、現在通常表示されている方法を示しています。^[2]グラフでは、縦軸にせん断応力、横軸にせん断速度を示しています。 （体積流量はパイプのサイズに依存し、せん断速度は速度が距離とともにどのように変化するかの尺度です。流量に比例しますが、パイプのサイズには依存しません。） 以前と同様に、ニュートン流体は流れ、せん断応力の有限値に対してせん断速度を与えます。 しかし、ビンガムプラスチックは、特定の応力に達するまでせん断速度（流れがなく、したがって速度がない）を示しません。 ニュートン流体の場合、この線の傾きが粘度であり、これがその流れを記述するために必要な唯一のパラメーターです。 対照的に、ビンガムプラスチックには、降伏応力と線の傾き（塑性粘度と呼ばれる）の2つのパラメーターが必要です。

この動作の物理的な理由は、液体には粘土などの粒子やポリマーなどの大きな分子が含まれており、それらが何らかの相互作用をして弱い固体構造（以前は擬似体と呼ばれていた）を形成し、この構造を破壊するにはある程度の応力が必要になることです。構造が破壊されると、粒子は粘性力を受けて液体とともに動きます。応力が除去されると、粒子は再び結合します。

材料は、臨界値未満のせん断応力 に対して弾性固体です。臨界せん断応力(または「降伏応力」) を超えると、せん断速度∂ u /∂ y (粘度に関する記事で定義) は、適用されたせん断応力が降伏応力を超える量に正比例するよう に材料が流れます。${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \tau_{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}={\begin{cases}0,&\tau <\tau _{0}\\{\frac {\tau -\tau _{0 }}{\mu _{\infty }}},&\tau \geq \tau _{0}\end{cases}}}$

流体の流れにおいて、既存の配管網における圧力降下を計算することは一般的な問題である。^[4]摩擦係数fが分かれば、ポンプコストを評価するために圧力降下を計算したり、与えられた圧力降下に対する配管網の流量を求めたりするなど、さまざまな配管の流れの問題の処理が容易になる。非ニュートン流体の流れに関連する摩擦係数を計算するための正確な解析解を得ることは通常極めて困難であるため、明示的な近似値を使用して計算する。摩擦係数が計算されると、与えられた流れに対する圧力降下はDarcy–Weisbach 方程式によって簡単に決定できる。

${\displaystyle f={2h_{\text{f}}gD \over LV^{2}}}$

どこ：

• ${\displaystyle f}$ダルシー摩擦係数（SI単位：無次元）
• ${\displaystyle h_{\text{f}}}$摩擦損失水頭（SI単位：m）
• ${\displaystyle g}$重力加速度（SI単位：m/s²）
• ${\displaystyle D}$パイプの直径（SI単位：m）
• ${\displaystyle L}$パイプの長さ（SI単位：m）
• ${\displaystyle V}$平均流体速度（SI単位：m/s）

完全に発達した層流パイプの流れにおけるビンガムプラスチックの摩擦損失の正確な記述は、バッキンガムによって初めて発表されました。^[5]彼の表現であるバッキンガム-ライナー方程式は、次のように無次元形式で表すことができます。

${\displaystyle f_{\text{L}}={64 \over \operatorname {Re} }\left[1+{\operatorname {He} \over 6\operatorname {Re} }-{64 \over 3}\left({\operatorname {He} ^{4} \over f^{3}\operatorname {Re} ^{7}}\right)\right]}$

どこ：

• ${\displaystyle f_{\text{L}}}$層流ダルシー摩擦係数（SI単位：無次元）
• ${\displaystyle \operatorname {Re} }$レイノルズ数（SI単位系：無次元）
• ${\displaystyle \operatorname {彼} }$ヘドストローム数（SI単位系：無次元）

レイノルズ数とヘドストローム数はそれぞれ次のように定義されます。

${\displaystyle \operatorname {Re} ={\rho VD \over \mu },}$そして

${\displaystyle \operatorname {He} ={\rho D^{2}\tau _{o} \over \mu^{2}}}$

どこ：

• ${\displaystyle \rho}$流体の質量密度（SI単位：kg/m ³）
• ${\displaystyle \mu}$流体の動粘度です（SI単位：kg/ms）
• ${\displaystyle \tau_{o}}$流体の降伏点（降伏強度）です（SI単位：Pa）

ダービーとメルソンは経験的表現^[6]を開発し 、それを改良して次のように表した。^[7]

${\displaystyle f_{\text{T}}=4\times 10^{a}\operatorname {Re} ^{-0.193}}$

どこ：

• ${\displaystyle f_{\text{T}}}$乱流摩擦係数（SI単位：無次元）
• ${\displaystyle a=-1.47\left[1+0.146e^{-2.9\times {10^{-5}}\operatorname {He} }\right]}$

注: Darby と Melson の式は Fanning 摩擦係数を表すものであり、このページの他の場所にある摩擦損失方程式で使用するには 4 を掛ける必要があります。

バッキンガム・ライナー方程式はfの4次多項式方程式であるため、厳密な解析解が得られるものの、解の複雑さからほとんど使用されていません。そのため、研究者はバッキンガム・ライナー方程式の明示的な近似値の開発を試みてきました。

スワミー・アガーワル方程式は、ビンガム塑性流体の層流におけるダルシー・ワイスバッハ摩擦係数fを直接解くために使用されます。 ^{[8]これは暗黙の}バッキンガム・ライナー方程式の近似値ですが、実験データとの差異はデータの精度の範囲内です。スワミー・アガーワル方程式は次のように表されます。

${\displaystyle f_{L}={64 \over \mathrm {Re} }+{64 \over \mathrm {Re} }\left({\mathrm {彼} \over 6.2218\mathrm {Re} }\right) ^{0.958}}$

ダニッシュらは、アドミアン分解法を用いて摩擦係数fを計算するための明示的な手順を提供している。 ^[9]この方法による2つの項を含む摩擦係数は次のように与えられる。

${\displaystyle f_{L}={\frac {K_{1}+{\dfrac {4K_{2}}{\left(K_{1}+{\frac {K_{1}K_{2}}{K_{1}^{4}+3K_{2}}}\right)^{3}}}}{1+{\dfrac {3K_{2}}{\left(K_{1}+{\frac {K_{1}K_{2}}{K_{1}^{4}+3K_{2}}}\right)^{4}}}}}}$

どこ

${\displaystyle K_{1}={16 \over \mathrm {Re} }+{16\mathrm {He} \over 6\mathrm {Re} ^{2}},}$

そして

${\displaystyle K_{2}=-{16\mathrm {彼} ^{4} \over 3\mathrm {Re} ^{8}}。}$

1981年、ダービーとメルソンはチャーチル^[10]とチャーチルとウサギ^[11]のアプローチを用いて、あらゆる流れの領域で有効な単一の摩擦係数方程式を得るための表現式を開発した: ^[6]

${\displaystyle f=\left[{f_{\text{L}}}^{m}+{f_{\text{T}}}^{m}\right]^{\​​frac {1}{m}}}$

どこ：

${\displaystyle m=1.7+{40000 \over \operatorname {Re} }}$

Swamee-Aggarwal 方程式と Darby-Melson 方程式の両方を組み合わせると、あらゆる状況での Bingham 塑性流体の摩擦係数を決定するための明示的な方程式が得られます。Bingham 塑性流体の摩擦係数はパイプの粗さに影響を受けないため、相対粗さはいずれの方程式でもパラメーターではありません。

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