行列t分布

マトリックスt

表記	${\displaystyle {\rm {T}}_{n,p}(\nu ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})}$
パラメータ	${\displaystyle \mathbf {M} }$ 位置(実行可能 行列)スケール(正定値実行可能行列)スケール(正定値実行可能行列)${\displaystyle n\times p}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\オメガ }}}$ ${\displaystyle p\times p}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\シグマ }}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \nu >0}$ 自由度（実数）
サポート	${\displaystyle \mathbf {X} \in \mathbb {R} ^{n\times p}}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\Gamma _{p}\left({\frac {\nu +n+p-1}{2}}\right)}{(\pi )^{\frac {np}{2}}\Gamma _{p}\left({\frac {\nu +p-1}{2}}\right)}}|{\boldsymbol {\Omega }}|^{-{\frac {n}{2}}}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{-{\frac {p}{2}}}}$ ${\displaystyle \times \left|\mathbf {I} _{n}+{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} ){\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{\rm {T}}\right|^{-{\frac {\nu +n+p-1}{2}}}}$
ドイツ連邦共和国	解析表現なし
平均	${\displaystyle \mathbf {M} }$の場合、それ以外の場合は未定義${\displaystyle \nu >1}$
モード	${\displaystyle \mathbf {M} }$
分散	${\displaystyle \mathrm {cov} (\mathrm {vec} (\mathbf {X} ))={\frac {{\boldsymbol {\Sigma }}\otimes {\boldsymbol {\Omega }}}{\nu -2}}}$の場合、それ以外の場合は未定義${\displaystyle \nu >2}$
CF	以下を参照してください

統計学において、行列t分布（または行列変量t分布）は、多変量t分布をベクトルから行列に一般化したものである。^{[1] [2]}

行列t分布は、行列正規分布が多変量正規分布と共有するのと同じ関係を多変量t分布と共有します。行列に1行または1列しかない場合、分布は対応する（ベクトル）多変量分布と同等になります。行列t分布は、行列正規分布と逆ウィシャート分布をその共分散行列のいずれかに配置した無限混合から生じる複合分布であり、 ^[1]多変量t分布も同様の方法で生成できます。^[2]

行列正規分布に基づく多変量線形回帰モデルのベイズ分析では、行列t分布が事後予測分布となる。^[3]

行列t分布の場合、空間 の 点における確率密度関数は${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle n\times p}$

${\displaystyle f(\mathbf {X} ;\nu ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})=K\times \left|\mathbf {I} _{n}+{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} ){\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{\rm {T}}\right|^{-{\frac {\nu +n+p-1}{2}}},}$

ここで積分定数Kは次のように与えられる。

${\displaystyle K={\frac {\Gamma _{p}\left({\frac {\nu +n+p-1}{2}}\right)}{(\pi )^{\frac {np}{2}}\Gamma _{p}\left({\frac {\nu +p-1}{2}}\right)}}|{\boldsymbol {\Omega }}|^{-{\frac {n}{2}}}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{-{\frac {p}{2}}}.}$

多変量ガンマ関数は次のとおりです。 ${\displaystyle \Gamma _{p}}$

ならば、次の性質が成り立つ^[2]： ${\displaystyle \mathbf {X} \sim {\mathcal {T}}_{n\times p}(\nu ,\mathbf {M} ,\mathbf {\Sigma } ,\mathbf {\Omega } )}$

平均、または期待値は次のようになります。 ${\displaystyle \nu >1}$

${\displaystyle E[\mathbf {X} ]=\mathbf {M} }$

そして、次の2次期待値が成り立ちます。 ${\displaystyle \nu >2}$

${\displaystyle E[(\mathbf {X} -\mathbf {M} )(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}]={\frac {\mathbf {\Sigma } \operatorname {tr} (\mathbf {\Omega } )}{\nu -2}}}$

${\displaystyle E[(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )]={\frac {\mathbf {\Omega } \operatorname {tr} (\mathbf {\Sigma } )}{\nu -2}}}$

ここで はトレースを表します。 ${\displaystyle \operatorname {tr} }$

より一般的には、適切な次元の行列A、B、Cに対して、

${\displaystyle {\begin{aligned}E[(\mathbf {X} -\mathbf {M} )\mathbf {A} (\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}]&={\frac {\mathbf {\Sigma } \operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{T}\mathbf {\Omega } )}{\nu -2}}\\E[(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{T}\mathbf {B} (\mathbf {X} -\mathbf {M} )]&={\frac {\mathbf {\Omega } \operatorname {tr} (\mathbf {B} ^{T}\mathbf {\Sigma } )}{\nu -2}}\\E[(\mathbf {X} -\mathbf {M} )\mathbf {C} (\mathbf {X} -\mathbf {M} )]&={\frac {\mathbf {\Sigma } \mathbf {C} ^{T}\mathbf {\Omega } }{\nu -2}}\end{aligned}}}$

転置変換:

${\displaystyle \mathbf {X} ^{T}\sim {\mathcal {T}}_{p\times n}(\nu ,\mathbf {M} ^{T},\mathbf {\Omega } ,\mathbf {\Sigma } )}$

線形変換: A ( r行n列) がフルランク r ≤ nであり、B ( p行s列) がフルランクs ≤ pであるとすると、次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {AXB} \sim {\mathcal {T}}_{r\times s}(\nu ,\mathbf {AMB} ,\mathbf {A\Sigma A} ^{T},\mathbf {B} ^{T}\mathbf {\Omega B} )}$

特性関数とその他のさまざまな特性は、再パラメータ化された定式化から導き出すことができます (以下を参照)。

再パラメータ化された行列t

表記	${\displaystyle {\rm {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})}$
パラメータ	${\displaystyle \mathbf {M} }$ 位置(実行可能 行列)スケール(正定値実行可能行列)スケール(正定値実行可能行列)形状パラメータ${\displaystyle n\times p}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}}$ ${\displaystyle p\times p}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \alpha >(p-1)/2}$ ${\displaystyle \beta >0}$ スケールパラメータ
サポート	${\displaystyle \mathbf {X} \in \mathbb {R} ^{n\times p}}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\Gamma _{p}(\alpha +n/2)}{(2\pi /\beta )^{\frac {np}{2}}\Gamma _{p}(\alpha )}}|{\boldsymbol {\Omega }}|^{-{\frac {n}{2}}}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{-{\frac {p}{2}}}}$ ${\displaystyle \times \left|\mathbf {I} _{n}+{\frac {\beta }{2}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} ){\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{\rm {T}}\right|^{-(\alpha +n/2)}}$ ${\displaystyle \Gamma _{p}}$多変量ガンマ関数です。
ドイツ連邦共和国	解析表現なし
平均	${\displaystyle \mathbf {M} }$の場合、それ以外の場合は未定義${\displaystyle \alpha >p/2}$
分散	${\displaystyle {\frac {2({\boldsymbol {\Sigma }}\otimes {\boldsymbol {\Omega }})}{\beta (2\alpha -p-1)}}}$の場合、それ以外の場合は未定義${\displaystyle \alpha >(p+1)/2}$
CF	以下を参照してください

行列t分布の別のパラメータ化では、の代わりに2つのパラメータとを使用する。^[3]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \nu }$

この定式化は、次の標準行列t分布に帰着する。${\displaystyle \beta =2,\alpha ={\frac {\nu +p-1}{2}}.}$

この行列t分布の定式化は、行列正規分布と、その共分散行列のいずれかに配置された 逆多変量ガンマ分布の無限混合から生じる複合分布として導くことができます。

もしそうなら^{[2] [3]}${\displaystyle \mathbf {X} \sim {\rm {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})}$

${\displaystyle \mathbf {X} ^{\rm {T}}\sim {\rm {T}}_{p,n}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ^{\rm {T}},{\boldsymbol {\Omega }},{\boldsymbol {\Sigma }}).}$

上記の性質はシルベスターの行列式定理から来ています。

${\displaystyle \det \left(\mathbf {I} _{n}+{\frac {\beta }{2}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} ){\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{\rm {T}}\right)=}$

${\displaystyle \det \left(\mathbf {I} _{p}+{\frac {\beta }{2}}{\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} ^{\rm {T}}-\mathbf {M} ^{\rm {T}}){\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} ^{\rm {T}}-\mathbf {M} ^{\rm {T}})^{\rm {T}}\right).}$

およびおよびが非特異行列である場合、^{[2] [3]}${\displaystyle \mathbf {X} \sim {\rm {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})}$${\displaystyle \mathbf {A} (n\times n)}$${\displaystyle \mathbf {B} (p\times p)}$

${\displaystyle \mathbf {AXB} \sim {\rm {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {AMB} ,\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {A} ^{\rm {T}},\mathbf {B} ^{\rm {T}}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {B} ).}$

特性関数は[ ^3]

${\displaystyle \phi _{T}(\mathbf {Z} )={\frac {\exp({\rm {tr}}(i\mathbf {Z} '\mathbf {M} ))|{\boldsymbol {\Omega }}|^{\alpha }}{\Gamma _{p}(\alpha )(2\beta )^{\alpha p}}}|\mathbf {Z} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {Z} |^{\alpha }B_{\alpha }\left({\frac {1}{2\beta }}\mathbf {Z} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {Z} {\boldsymbol {\Omega }}\right),}$

どこ

${\displaystyle B_{\delta }(\mathbf {WZ} )=|\mathbf {W} |^{-\delta }\int _{\mathbf {S} >0}\exp \left({\rm {tr}}(-\mathbf {SW} -\mathbf {S^{-1}Z} )\right)|\mathbf {S} |^{-\delta -{\frac {1}{2}}(p+1)}d\mathbf {S} ,}$

ここで、は行列引数の ヘルツの2型ベッセル関数^{[説明が必要]です。}${\displaystyle B_{\delta }}$

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