多重度1定理

保型表現の数学的理論において、重複度 1 定理は、アデル簡約代数群の表現論に関する結果です。ここで言う重複度とは、特定の抽象群表現が、具体的に与えられた平方可積分関数の特定の空間で実現される回数のことです。

重複度 1 定理は、グループGの表現をサブグループHに制限することに関する結果を指すこともあります。その文脈では、ペア ( G、 H ) は強いゲルファンドペアと呼ばれます。

意味

G を数体 K上の簡約代数群とし、AをKのアーデルとする。Z をGの中心とし、 ω を Z ( K )\Z( A ) × から C × への連続ユニタリ指標とする $。$ L 2 0 ( G ( ^K) ^/ G ( A ) , ω )^を_G ( A )上の中心指標ωを $持つ$ カスプ形式の空間とする。この空間はヒルベルト空間の直和に分解される。

L_{0}^{2}(G(K)\バックスラッシュ G(\mathbf {A} ),\omega )={\widehat {\bigoplus }}_{(\pi ,V_{\pi } )}m_{\pi }V_{\pi }

ここで、和は既約な部分表現にわたっており、mπ_$は$非負の整数です。

Gのアデル点群G ( A )は、G ( A )の任意の滑らかな既約許容表現が中心特性 $ω$ のカスプ形式の空間で重複度が最大で 1 で発生する場合、つまり、そのような $π$ すべてについて m _$π$が 0 または 1 である場合に、重複度 1 の性質を満たすと言われます。

結果

一般線型群GL ( n )が重複度1の性質を持つという事実は、 n = 2 に対して Jacquet & Langlands (1970) によって証明され、n > 2に対してはWhittaker モデルの一意性を用いて Piatetski-Shapiro (1979) とShalika (1974)によって独立に証明されました。重複度1の性質はSL (2)にも当てはまりますが、n > 2 に対してはSL ( n )には当てはまりません (Blasius 1994)。

強い重複度 1 定理

Piatetski-Shapiro (1979) と Jacquet と Shalika (1981a、1981b) の強重複度 1 定理は、一般線型群の 2 つの尖点自己同型表現は、それらの局所成分が有限個以外のすべての場所で同型である場合に同型であると述べています。

参照

ガン・グロス・プラサド予想

参考文献

ブラシウス、ドン（1994）、「SL（n）の重複度について」、イスラエル数学ジャーナル、88（1）：237–251、doi：10.1007 / BF02937513、ISSN 0021-2172、MR 1303497
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Jacquet, H.; Shalika, JA (1981a)、「オイラー積と自己同型表現の分類について。I」(PDF)、American Journal of Mathematics、103 (3): 499–558、doi :10.2307/2374103、ISSN 0002-9327、JSTOR 2374103、MR 0618323 、 2021-08-06取得
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Piatetski-Shapiro, II (1979)、「多重度 1 定理」、Borel, Armand ; Casselman., W. (編)、保型形式、表現、および L 関数 (Proc. Sympos. Pure Math.、オレゴン州立大学、コーバリス、オレゴン州、1977)、第 1 部、Proc. Sympos. Pure Math.、XXXIII、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会、pp. 209–212、ISBN 978-0-8218-1435-2、MR 0546599
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