モレラの定理

数学の分野である複素解析において、ジャチント・モレラにちなんで名付けられたモレラの定理は、関数が正則であることを証明するための重要な基準を与えます。

モレラの定理は、複素平面上の開集合D上で定義され 、 D内の 任意の区分的に閉じたC ¹曲線に対して を満たす連続し た複素数値関数f は、 D上で正則でなければならないことを述べています。 $${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0}$$${\displaystyle \gamma}$

モレラの定理の仮定は、f がD上で 原始微分を持つことと同等です。

定理の逆は一般には成り立ちません。 正則関数は、追加の仮定を課さない限り、その定義域に原始微分を持つ必要はありません。 逆は、例えば定義域が単連結である場合に成り立ちます。 これはコーシーの積分定理であり、閉曲線に沿った正則関数の線積分はゼロであると述べています。

標準的な反例は関数f ( z ) = 1/ zで、これはC − {0}上で正則です。 C  − {0} 内の任意の単連結近傍 U 上で、 1/ z はL ( z ) = ln( r ) + iθで定義される原始微分を持ちます。ここで、 z = re ^iθです。 2 πの任意の整数倍を加えるまではθは曖昧であるため、 U上のθの連続的な選択は、U上の1/ zの原始微分を定義するのに十分です。 ( θ は内部に原点を含む単純な閉曲線上で連続的に定義できないという事実が、 1/ zがその全領域C − {0}上で原始微分を持たない理由の根本です 。) また、加法定数の微分は 0 であるため、原始微分に任意の定数を加えても、結果は 1/ zの原始微分になります。

ある意味では、1/ zの反例は普遍的です。定義域に原始微分を持たない解析関数ごとに、その理由は1/ z自体がC− {0}に原始微分を持たないからです 。

この定理には比較的初歩的な証明があります。fの原始微分を明示的に構築します。

一般性を失うことなく、 D は連結であると仮定できます。 D内の点z _{0 を}固定し、任意の に対して、および となる区分C ¹曲線とします。次に、関数F を次のように 定義します。${\displaystyle z\in D}$${\displaystyle \gamma :[0,1]\to D}$${\displaystyle \gamma (0)=z_{0}}$${\displaystyle \gamma (1)=z}$$${\displaystyle F(z)=\int _{\gamma }f(\zeta )\,d\zeta .}$$

関数が明確に定義されていることを確認するために、が かつとなる別の区分C ¹曲線であると仮定します。曲線(つまり、を逆に結合する曲線) はD内の閉じた区分C ¹曲線です。すると、 ${\displaystyle \tau :[0,1]\to D}$${\displaystyle \tau (0)=z_{0}}$${\displaystyle \tau (1)=z}$${\displaystyle \gamma \tau ^{-1}}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \tau}$$${\displaystyle \int _{\gamma }f(\zeta )\,d\zeta +\int _{\tau ^{-1}}f(\zeta )\,d\zeta =\oint _{\gamma \tau ^{-1}}f(\zeta )\,d\zeta =0.}$$

そして、 $${\displaystyle \int _{\gamma }f(\zeta )\,d\zeta =\int _{\tau }f(\zeta )\,d\zeta .}$$

次に、 fの連続性を使用して差分商を推定すると、F ′( z ) =  f ( z ) が得られます。 Dで別のz _{0 を}選択した場合、F は定数だけ変化します。つまり、新しい z _{0と古い z 0 の間の}任意の区分正規曲線に沿ってf を積分した結果であり、導関数は変化しません。

f は正則関数Fの導関数なので、正則です。正則関数の導関数が正則であるという事実は、正則関数が解析的である、つまり収束するべき級数で表すことができるという事実と、べき級数は項ごとに微分できるという事実を使って証明できます。これで証明は完了です。

モレラの定理は複素解析における標準的なツールです。これは、正則関数の非代数的構成を伴うほぼすべての議論で使用されます。

たとえば、f ₁、  f ₂、... が正則関数の列であり、開円板上の連続関数fに一様収束するとします。コーシーの定理により、 円板上の任意の閉曲線Cに沿った任意のn に対して、 が成り立つことがわかります。次に、一様収束は、 任意の閉曲線Cに対して が成り立つことを意味し、したがってモレラの定理により、f は正則でなければなりません。この事実は、任意の開集合Ω ⊆ Cに対して、すべての有界な解析関数u  : Ω → Cの集合A (Ω)が、上限ノルムに関してバナッハ空間であることを示すために使用できます。 $${\displaystyle \oint _{C}f_{n}(z)\,dz=0}$$$${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\oint _{C}\lim _{n\to \infty }f_{n}(z)\,dz=\lim _{n\to \infty }\oint _{C}f_{n}(z)\,dz=0}$$

モレラの定理は、フビニの定理やワイエルシュトラスのMテストと組み合わせて、リーマンゼータ関数 やガンマ関数などの和や積分で定義される関数の解析性を示すためにも使用できます。$${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$$ $${\displaystyle \Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}e^{-x}\,dx.}$$

具体的には、 適切な閉曲線Cに対して、次のように書き 、次にフビニの定理を用いて積分順序の変更を正当化することにより、 $${\displaystyle \oint _{C}\Gamma (\alpha )\,d\alpha =0}$$$${\displaystyle \oint _{C}\Gamma (\alpha )\,d\alpha =\oint _{C}\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}e^{-x}\,dx\,d\alpha }$$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\oint _{C}x^{\alpha -1}e^{-x}\,d\alpha \,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\oint _{C}x^{\alpha -1}\,d\alpha \,dx.}$$

次に、 α ↦ x ^{α −1}の解析性を使用して、上記の二重積分は 0 であると結論 付けます。同様に、ゼータ関数の場合、M テストにより、閉曲線に沿った積分と和を交換することが正当化されます。 $${\displaystyle \oint _{C}x^{\alpha -1}\,d\alpha =0,}$$

モレラの定理の仮説は、かなり弱めることができる。特に、 領域Dに含まれる すべての閉じた（実線の）三角形Tについて、積分が 0 であれば十分である。これは実際、正則性を特徴づけるものであり、つまり、上記の条件が成り立つ場合のみ、f はD上で正則である。また、正則関数の一様極限に関する前述の事実の次の一般化も意味する。つまり、 f ₁、  f ₂ 、... が、 Ω のコンパクト部分集合上で一様収束する開集合Ω ⊆ C上で定義された正則関数の列である場合、fは正則である。 $${\displaystyle \oint _{\partial T}f(z)\,dz}$$

• コーシー・リーマン方程式
• 輪郭積分法
• 残差（複素解析）
• ミッタク＝レフラーの定理

• アルフォース、ラース（1979年1月1日）、複素解析、国際純粋・応用数学シリーズ、マグロウヒル、ISBN 978-0-07-000657-7、ZBL  0395.30001。
• コンウェイ、ジョン B. (1973)、「1 つの複素変数の関数 I」、Graduate Texts in Mathematics、第 11 巻、Springer Verlag、ISBN 978-3-540-90328-4、ZBL  0277.30001。
• グリーン、ロバート E. ; クランツ、スティーブン G. (2006)、「1 複素変数関数理論」、数学大学院研究、第 40 巻、アメリカ数学会、ISBN 0-8218-3962-4
• Morera, Giacinto (1886)、「Un teorema Fondamentale nella teorica delle funzioni di una variabile complessa」、Rendiconti del Reale Instituto Lombardo di Scienze e Lettere (イタリア語)、19 (2): 304–307、JFM  18.0338.02。
• ルディン、ウォルター (1987) [1966]、実解析と複素解析(第 3 版)、マグロウヒル、pp. xiv+416、ISBN 978-0-07-054234-1、ZBL  0925.00005。

• 「モレラの定理」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック・W.「モレラの定理」。マスワールド。